3.2.1第2课时函数的最大值、最小值----2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦函数的最大值与最小值，通过观察y=-x²、y=x²等函数图象的最高点和最低点，引导学生从直观感知过渡到符号语言定义，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合直观想象与数学思维，借助思维导图梳理知识结构，通过单调性证明、二次函数分类讨论等典例培养逻辑推理，结合利润计算等实际问题强化数学语言表达。学生能系统掌握求最值方法，教师可通过定向训练提升教学效率。

第2课时　函数的最大值、最小值 素养目标 思维导图 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最小值(直观想象). 2.理解它们的作用和实际意义(数学抽象). 课前自主学习 问题1.观察下列两个函数的图象,回答有关问题: (1)比较两个函数的图象,它们是否都有最高点? 提示:题图①中函数y=-x2的图象有一个最高点; 题图②中函数y=-x的图象没有最高点. 　(2)通过观察图①你能发现什么? 提示:对任意x∈R,都有f(x)≤f(0). 问题2.观察下列两个函数的图象,回答有关问题. 　(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最低点? 提示:题图①中函数y=x2的图象有一个最低点. 题图②中函数y=x的图象没有最低点. 　(2)通过观察图①你能发现什么? 提示:对任意x∈R都有f(x)≥f(0). 【核心概念】 　函数最大值与最小值 项目 最大值 最小值 条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: ∀x∈D,都有f(x)≤M ∀x∈D,都有f(x)≥M ∃x0∈D,使得________ 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的________ f(x0)=M 纵坐标 纵坐标 课堂合作探究 探究点一　利用单调性求函数最值 【典例1】已知函数f(x)=. (1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明其结论. (2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值. 【思维导引】先用定义研究函数在区间上的单调性,再求最值. 【解析】(1)f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. 证明如下: 任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)==- =. 因为x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增. (2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上单调递增, 故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)==,最小值为f(2)==. 　【类题通法】求函数最值的方法 (1)观察法:对于简单的初等函数,可以依据定义域求出值域,观察得出. (2)图象法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助图象直观求出. (3)单调性法:对于较复杂的函数,可利用单调性的判断方法,先判断出函数的单调性,然后求最值. 提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不好画或画不出来时,单调性几乎成为首选方法. 【定向训练】 　(2025·东莞高一检测)已知函数f(x)=,且f(1)=10. (1)求a; (2)判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性,并用定义法证明; (3)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值. 【解析】(1)函数f(x)=,因为f(1)=10, 所以f(1)==10,则a=9. (2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,证明如下: 由(1)知,f(x)==x+, 设3≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2+=(x1-x2)(, 由3≤x1<x2,则x1x2-9>0,x1-x2<0,x1x2>0, 所以(x1-x2)()<0⇒f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在[3,+∞)上单调递增. (3)由(2)可知f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增, 所以f(x)min=f(3)=3+=6,f(x)max=f(6)=6+=,所以函数f(x)在[3,6]上的最大值为,最小值为6. 探究点二　二次函数求最值 【典例2】(规范解答) (13分)(1)求函数f(x)=-3x在区间[2,4]上的值域. (2)已知二次函数f(x)=x2-mx+m-1(m∈R).函数在区间[-1,1]上的最小值记为g(m),求g(m)的值域. 【思维导引】(1)换元法,令=t,可得函数g(t)=t-3(6-t2)=3t2+t-18,讨论其值域即可求解; (2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[-1,1]的关系,分别表示出函数的最小值,表示为分段函数形式,作出图象即可求解. 【解析】(1)函数f(x)=-3x, 设=t,则x=6-t2(t≥0),……1分 因为x∈[2,4],所以≤t≤2, ……2分 那么函数f(x)转化为g(t)=t-3(6-t2)=3t2+t-18(t≥0), ……3分 其对称轴为t=-,所以当≤t≤2时g(t)单调递增, 所以g()≤g(t)≤g(2),即-12≤g(t)≤-4, 故f(x)在[2,4]上的值域为[-12,-4]. ……6分 (2)f(x)=x2-mx+m-1,二次函数对称轴为x=,图象开口向上, …… 7分 ①若<-1,即m<-2,此时函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以最小值g(m)=f(-1)=2m; …… 8分 ②若-1≤≤1,即-2≤m≤2,此时当x=时,函数f(x)最小,最小值g(m)=f()=-+m-1; ……9分 ③若>1,即m>2,此时函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以最小值g(m)=f(1)=0. 综上g(m)=,作出分段函数的图象如图, …… 11分 所以当m<-2时,g(m)∈(-∞,-4); 当-2≤m≤2时,g(m)∈[-4,0]; 当m>2时,g(m)=0, 综上知g(m)的值域为(-∞,0]. …… 13分 　【类题通法】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型 (1)若对称轴x=-在区间[m,n]内,则最小值为f(-),最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=-距离较远的一个对应的函数值为最大值). (2)若-<m,则f(x)在[m,n]上单调递增,最大值为f(n),最小值为f(m). (3)若->n,则f(x)在[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小值为f(n). 【定向训练】 　(2025·济南高一检测)已知函数f(x)=x2-ax+3(a∈R). (1)已知A={x|f(x)>0},若2∉A,求实数a的取值范围; (2)求f(x)在[-1,3]上的最小值h(a). 【解析】(1)因为A={x|f(x)>0},2∉A, 所以f(2)≤0,所以22-2a+3≤0,解得a≥, 所以实数a的取值范围为 {a|a≥ }. (2)由f(x)=x2-ax+3(a∈R),得函数f(x)的对称轴为直线x=, 当≤-1,即a≤-2时,f(x)在区间[-1,3]上单调递增,所以h(a)=f(-1)=a+4; 当-1<<3,即-2<a<6时,f(x)在区间(-1,)上单调递减,在区间(,3)上单调递增, 所以h(a)=f()=3-; 当≥3,即a≥6时,f(x)在区间[-1,3]上单调递减,所以h(a)=f(3)=12-3a. 综上,h(a)= 探究点三　函数单调性的应用 【典例3】某果树的单株产量W(x)(单位:千克)与肥料费10x(单位:元)满足如下关系:W(x)=其他成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位:元). 已知这种水果的市场售价大约为10元/千克,且供不应求.记该果树单株获得的利润为f(x)(单位:元). (1)求f(x)的函数解析式; (2)当投入的肥料费为多少时,该果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 【思维导引】(1)由单株产量W(x)乘售价减去肥料费和其他成本投入可得出函数解析式; (2)利用二次函数的单调性求出当0≤x≤2时,f(x)的最大值,由基本不等式求出当2<x≤5时,f(x)的最大值,即可得出答案. 【解析】(1)由题意可得f(x)=10W(x)-20x-10x=10W(x)- 30x= = 故f(x)的函数解析式为 f(x)= (2)由(1)知f(x)= = 当0≤x≤2时,f(x)在[0,]上单调递减,在(,2]上单调递增,且f(0)=100<f(2)=240, 所以f(x)max=f(2)=240; 当2<x≤5时,f(x)=510-30[+(1+x)], 因为x+1+≥2=8, 当且仅当=1+x,即x=3时等号成立. 所以f(x)max=510-30×8=270. 因为240<270,所以当x=3时,f(x)max=270. 当投入的肥料费为30元时,该果树单株获得的利润最大,最大利润是270元. 　【类题通法】解实际应用问题的五个步骤 (1)审:审清题意,读懂题,找出各量之间的关系. (2)设:从实际问题中抽象出数学模型,恰当设出未知数. (3)列:根据已知条件列出正确的数量关系. (4)解:转化为求函数的最值或解方程或解不等式. (5)答:回归实际,明确答案,得出结论. 【定向训练】 1.已知函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是(　　) A.[-,1) B.(-,1) C.[-,1] D.(-,1] 【解析】选C.当x≥0时,f(x)=(x-1)2-1, 此时f(x)min=f(1)=-1,而当x<0, a=1时,f(x)=2为常函数,此时在R上满足函数f(x)有最小值为-1, 当a≠1时,函数f(x)此时为单调的一次函数,要满足在R上有最小值, 只需, 解得-≤a<1, 综上,满足题意的实数a的取值范围为[-,1]. 2.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x(单位:台)是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量x的函数f(x). (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(利润=总收益-总成本) 【解析】(1)由题知,月产量为x台, 则总成本为(20 000+100x)元, 从而f(x)= (2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000. 所以当x=300时,f(x)max=25 000; 当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减, f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000. 所以当x=300时,f(x)max=25 000. 即月产量为300台时利润最大,最大利润为25 000元. 课堂练习 1.设函数f(x)=2x-1(x<0),则f(x) (　　) A.有最大值 B.有最小值 C.既有最大值又有最小值 D.既无最大值又无最小值 【解析】选D.因为f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)<f(0)=-1,即无最大值又无最小值. √ 2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为 (　　) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.[-1,3] 【解析】选D.因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3], 所以当x=1时,函数y取得最小值,为-1, 当x=3时,函数y取得最大值,为3, 故函数的值域为[-1,3]. √ 3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 (　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 【解析】选C.依题意,当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2; 当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2. 综上,实数a的值是2或-2. √ 4.求函数f(x)=的最值. 【解析】函数y=f(x)的图象如图. 由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 谢 谢 $