2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第2课时）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的实际应用，通过刹车距离、利润最大化等生活情境导入，衔接二次函数与方程知识，构建“实际问题→数学建模→求解验证”的学习支架。 其亮点是结合数学建模思想与数形结合，通过互动探究（情境分析、建模步骤）和体系构建（步骤、类型、关键词转化），培养数学抽象与逻辑推理（数学眼光、思维），典例与举一反三助学生掌握应用，教师可提升教学效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 (第2课时） 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 学 习 目 标 1 2 3 能够将实际问题抽象为一元二次不等式模型 掌握利用一元二次不等式解决实际应用问题的基本步骤 能准确求解与一元二次不等式相关的最值、范围等实际问题 经历”实际问题→数学建模→求解验证”的完整过程 体会数形结合思想在解决实际问题中的应用 培养数学抽象与逻辑推理能力，感受数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣 新课引入 刹车距离问题（交通安全） 某汽车以速度 v（km/h）行驶时，刹车距离 s（m）与速度的关系近似为 s=0.005+0.05v。若前方有障碍物距离汽车 20m，要求刹车距离不超过 20m，求汽车行驶速度的范围。 这是大家熟悉的交通安全情境，包含着”不等关系”的实际需求。 新课引入 利润最大化问题（经济生活） 某商品每件成本 50 元，售价为 100 元时每天可售出 50 件。若售价每降低 1 元，则每天可多售出 5 件。要使每天利润不低于 2250 元，售价应定在多少范围内？ 此情境贴近经济生活，体现数学的商业价值，后续建模我们会建模解决。 互动探究 互动环节 1：情境分析 某汽车以速度 v（km/h）行驶时，刹车距离 s（m）与速度的关系近似为 s=0.005+0.05v。若前方有障碍物距离汽车 20m，要求刹车距离不超过 20m，求汽车行驶速度的范围。 提问： “不超过”在数学上如何表示？ 变量是什么？已知量和未知量分别是什么？ 小组讨论,尝试列出不等式：： 0.005+0.05v≤20 互动探究 互动环节 2：建模探究 建模步骤： 实际问题 → 设未知数 → 找不等关系 → 列不等式 → 求解 → 验证 → 作答 完成利润问题的不等式建立：： 某商品每件成本 50 元，售价为 100 元时每天可售出 50 件。若售价每降低 1 元，则每天可多售出 5 件。要使每天利润不低于 2250 元，售价应定在多少范围内？ 设降价 x 元， 则售价为 (100-x) 元， 销量为 (50+5x) 件， 利润 = (售价-成本) × 销量 不等式：(100-x-50)(50+5x)≥2250 互动探究 互动环节 3：易错辨析 常见错误： 忽略实际意义 解集未与实际问题结合 未检验端点值 分组找错、纠错： （如速度 v>0，降价 x≥0） 强化”数学解→实际解”的转化意识。 构建体系 一元二次不等式的应用 1. 解一元二次不等式应用题的一般步骤 步骤 内容 注意事项 审题 理解题意，明确已知与未知 注意关键词：“至少”、“至多”、“不超过”、“不低于” 建模 设未知数，建立不等式 找准不等关系，注意单位统一 求解 解一元二次不等式 结合二次函数图像分析 检验 验证解是否符合实际意义 定义域限制、整数要求等 作答 回归实际问题给出答案 用实际语言表述，带单位 构建体系 一元二次不等式的应用 2. 常见应用类型 类型 特征 方法 类型一：范围问题 求某个量的取值范围 直接列不等式求解 类型二：最值问题 求最大利润、最小成本等 建立目标函数，结合不等式求最值 类型三：恒成立问题 某条件对所有情况都成立 转化为 或最值问题 构建体系 一元二次不等式的应用 3.关键转化 关键词 数学符号 大于、超过、高于   小于、不足、低于   至少、不少于、不低于 至多、不超过、不多于 构建体系 一元二次不等式的应用 4.一元二次不等式恒成立 一元二次不等式a+bx+c>0对任意实数x恒成立的条件是a>0,Δ<0。 一元二次不等式a+bx+c≥0对任意实数x恒成立的条件是a>0,Δ≤0。 一元二次不等式a+bx+c<0对任意实数x恒成立的条件是a<0,Δ<0。 一元二次不等式a+bx+c≤0对任意实数x恒成立的条件是a<0,Δ≤0。 注：如果没强调是一元二次不等式，需要分析a=0; 如果是不等式能成立，则以上规则不能用，可结合图象得结论，或者，把命题否定，转化为恒成立，求出范围后，再改过来； 如果不等式在某区间上恒成立，则可求最值，再实现恒成立。 典例分析 题型1 应用题 例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满，该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间，每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ 设每间客房日租金提高x个10元， 即每间客房日租金提高到(80+10x)元， 则客房出租数减少x(x∈N)间， 此时客房的租金总收入为(80+10x)(20-x)元。 又因为每天客房的租金总收入不低于1800元， 所以(80+10x)(20-x)≥1800 化简，得 -12x+20≤0 解得 2≤x≤10 由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即80+10x≤130，所以x≤5。 因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元，30元，40元，50元。 例2：为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500。 (1)设袁阳每月获得的利润为w（单位：元），写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系。 依题意可知每件的销售利润为x-10元， 每月的销售量为-10x+500件， 所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为：w=(x-10)(-10x+500) (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元，如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 由每月获得的利润不小于3000元，得 (x-10)(-10x+500)≥3000 化简，得 -60x+800≤0 解得 20≤x≤40 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25， 20≤x≤25 例3：某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元。若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个。为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 列不等式 设这批削笔器的销售价格定为x(x≥15)元/个 由题意得x[30-(x-5)×2]>400，即-30x+200<0， 解不等式 因为方程-30x+200=0的两个实数根为=10，=20， 所以-30x+200<0的解集为{x∣10<x<20} 调整范围 又因为x≥15，15≤x<20 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间（包括15元但不包括20元），才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入。 典例分析 题型2 恒成立 例4：若∀x∈R，a-3x+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.a≤ B.-<a≤ C.a≥ D.a≤-或a≥ 当a=0时 原不等式化为-3x≥0，即x≤0，不符合题意； 当a>0时 由二次函数的性质可知，要使∀x∈R，a-3x+a≥0恒成立，只需满足 解得a≥； 当a<0时 由二次函数的图象及性质可知，不符合题意。 综上所述，a的取值范围是a≥。 4. 求解：，即 例5：若不等式 +𝒂𝒙+𝟑≥𝟎 对所有实数 𝒙 恒成立，求实数 𝒂 的取值范围。 分析： 二次函数 𝒇(𝒙)=+𝒂𝒙+𝟑 开口向上 恒成立条件： 图像在 𝒙 轴上方或与 𝒙 轴相切，即 𝜟≤𝟎 计算： 答案：𝒂∈ 举一反三 1：某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少5/2 t万立方米。为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是( B )。 A.{t∣1≤t≤3} B.{t∣3≤t≤5} C.{t∣2≤t≤4} D.{t∣4≤t≤6} 解答：由题意，可得(20- t)×2400×t/100≥900，整理得-8t+15≤0，解得3≤t≤5，故t的取值范围是{t∣3≤t≤5}。 举一反三 2：近年来，盲盒产品的大热带动我国潮玩经济的快速增长。某盲盒产品生产及销售公司今年年初用98万元购进一批盲盒生产线后，预计每年有50万元的总收入。已知生产此盲盒x（x为正整数）年所需的各种费用总计为(2x^2+10x)万元。 (1) 该公司第几年首次盈利？（总收入超过总支出，今年为第一年） (2) 该公司年平均利润的最大值是多少？ 解答：设利润为y万元，则 y=50x-(98+2+10x)=-2+40x-98(x∈), 由-2+40x-98>0，整理得-20x+49<0， 解得10-， 因为x∈，所以x∈{x∈∣3≤x≤17}，所以该公司第3年首次盈利。 由(1)得x∈{x∈∣3≤x≤17}， 年平均利润=-2(x+)+40≤-2×240=12， 当且仅当x=，即x=7时，等号成立， 所以该公司年平均利润的最大值为12万元。 举一反三 3：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担。政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(0<x<10)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。 (1) 写出税收y（单位：万元）关于x的函数关系式； (2) 要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。 解答：依题意，降低税率后的税率为(10-x)%， 农产品的收购量为a(1+2x%)万担， 收购总金额为200a(1+2x%)万元， 则税收y=200a(1+2x%)(10-x)%=1/50 a(100+2x)⋅(10-x) (0<x<10)。 原计划税收为200a⋅10%=20a（万元）。 依题意，得1/50 a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%， 化简得+40x-84≤0， 解得-42≤x≤2。 又∵0<x<10，∴0<x≤2， ∴x的取值范围是0<x≤2。 举一反三 3：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担。政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(0<x<10)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。 (1) 写出税收y（单位：万元）关于x的函数关系式； (2) 要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围。 解答：依题意，降低税率后的税率为(10-x)%， 农产品的收购量为a(1+2x%)万担， 收购总金额为200a(1+2x%)万元， 则税收y=200a(1+2x%)(10-x)%=1/50 a(100+2x)⋅(10-x) (0<x<10)。 原计划税收为200a⋅10%=20a（万元）。 依题意，得1/50 a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%， 化简得+40x-84≤0， 解得-42≤x≤2。 又∵0<x<10，∴0<x≤2， ∴x的取值范围是0<x≤2。 举一反三 解答：设售价为每件x元，利润为y，则y=(x-8)[100-10(x-10)](x>10)， 依题意得(x-8)[100-10(x-10)]>320，即-28x+192<0，解得12<x<16， 所以每件售价应为12元到16元。 4:某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润。已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天的利润在320元以上，每件售价应为( )。 A.12元　　B.16元　　C.12元到16元　　D.10元到14元 5.某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件。为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是多少元。（结果用区间表示） 解答：设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40+x)元， 故每天出售衬衫的净收入为y=(40+x-30)(40-x。 由题可知，-+625≥525，整理得(x-25)(x-5)≤0，解得5≤x≤25， ∴45≤40+x≤65， ∴ 每件衬衫的售价的取值范围是[45,65]元。 举一反三 解答：步骤1：分离参数a 原不等式整理： +xy≥3x+3y-3a 移项解出3a： 3a≥--xy+3x+3y 即 a≥ 6:若对任意的 x,y∈R，不等式 +xy≥3(x+y-a) 恒成立，则实数 a 的取值范围为（） A. a≤-1 B. a≤1 C. a≥-1 D. a≥1 步骤2：求二元函数 f(x,y)=-的最大值视其为关于x的一元二次函数： f(x)=--(y-3)x-+3y 二次项系数-1<0，顶点处取最大值，顶点横坐标： x 将 x代入f(x,y) ：,这是关于y的开口向下二次函数，最大值在顶点： 代入得最大值 =3，=1,故 a≥1。 学海拾贝 知识网络 一元二次不等式的应用 ├── 解题步骤：审→设→列→解→验→答 ├── 常见类型 │ ├── 范围问题（直接建模） │ ├── 最值问题（目标函数+不等式） │ └── 恒成立问题（Δ法/最值法） ├── 关键注意 │ ├── 准确理解关键词（至少、至多...） │ ├── 检验实际意义（定义域、整数性） │ └── 数形结合（借助抛物线图像） └── 核心思想 ├── 数学建模思想 ├── 数形结合思想 └── 分类讨论思想 学海拾贝 易错点提醒 易错点 正确做法 忽略实际背景的限制条件 解出数学解后，必须结合实际意义取舍 混淆”恒成立”与”有解” 恒成立：；有解： 利润问题中变量设错 明确设的是”售价”还是”降价”、“产量”还是”销量” 单位不统一 审题时注意统一单位后再列式 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $