3.4 函数的应用（一）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.4 函数的应用(一) 拿到新函数以后应从哪些方面入手研究？ 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 对称性 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 对称性 渐近线 定义域 (-,0)∪(0,+) 值域 (-,-2]∪[2,+). 当且仅当,即时取到端点值 单调性 - ),( , ),( 最值 在(0,+)上有最小值为=, 在(-,0)有最大值为= . 奇偶性 奇函数 对称性 关于原点对称 渐近线 直线y=ax , x=0 概念探究 5 练习 练习1 若函数,则下列结论正确的是（ ） A.函数的最小值为4 B.函数在（0,2）上单调递减，在上单调递增 C.函数的最大值为4 D.函数在（0,2）上单调递增，在上单调递减 练习2 已知x＞0，则函数=的最小值为 . 练习3 已知x＞1，则函数=x+的值域为 . 6 类型一 对勾函数的应用 例1 10辆货车从A站匀速驶往相距2000千米的B站,其时速都是vkm / h，为安全起见，要求:每辆车时速不得超过100km /h，每辆货车间隔千米（k为常数，货车长度忽略不计）.将第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间t(单位:小时）表示为v的函数f(v). （1）求t=f(v)，并写出v的取值范围. （2）若k =，请问当v取何值时，t有最小值?并求出最小值. 7 例1 10辆货车从A站匀速驶往相距2000千米的B站,其时速都是vkm / h，为安全起见，要求:每辆车时速不得超过100km /h，每辆货车间隔千米（k为常数，货车长度忽略不计）.将第一辆货车由A站出发到最后一辆货车到达B站所需时间t(单位:小时）表示为v的函数f(v). (1）求t=f(v)，并写出v的取值范围. (2）若k =，请问当v取何值时，t有最小值?并求出最小值. 类型一 对勾函数的应用 8 练习 为了在冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某栋房屋要建造能使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的建造成本是6万元．该栋房屋每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x（单位：cm)满足关系：C(x)（0≤x≤10）. 若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元.设f(x)为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和. (1)求 C(x)和f(x) 的表达式; (2）当隔热层修建多厚时，总费用f(x)最小？并求出最小值. 9 思考 定义域 值域 单调性 最值 奇偶性 对称性 渐近线 请同学们 课下思考并完成表格 类型二 分段函数的应用 例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位:千米/时)是车流密度x(单位:辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明:当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1）当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式; (2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时）f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/时). 练习 由市场行情可知，从2月1日起的300天内，黄瓜市场售价P(单位:元/千克）与上市时间(第t天）的关系可用如图1所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本Q(单位:元/千克）与上市时间的关系可用如图2所示的抛物线表示. (1）写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P=f(t)及图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q= g(t); (2)若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大? 图1 图2 13 类型三 幂函数的应用 例3 某家庭进行理财投资，根据长期收益率对市场预测:投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．设投资额为x万元. (1）分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式; (2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问:怎么分配资金能使投资获得最大收益?最大收益是多少万元? 14 练习 为保障城市蔬菜供应,某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验,发现种西红柿的年收入f(x)、种黄瓜的年收入g(x)与大棚投入x分别满足f(x)= ,g(x)= .设甲大棚的投入为a,每年两个大棚的总收入为F(a)(投入与收入的单位均为万元) (1）求F(8)的值; (2）试问:如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收入F(a)最大?并求最大年总收入. $$