河南南阳市豫南部分高中2025-2026学年高一下学期6月期末联考数学试题

**基本信息** 高中数学期末试卷涵盖复数、三角函数、立体几何等核心知识，通过测量树高（数学眼光）、古希腊数学文化（文化传承）、立体几何证明（数学思维）等设计，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数纯虚数、三角函数求值、正方体线线垂直|单选注重基础（如复数概念），多选考查综合判断（如三角恒等变换）| |填空题|3题15分|正四棱台表面积体积、无理数构造|结合古希腊数学文化（泰特托斯构造无理数），考查空间想象与数学抽象| |解答题|5题77分|凸四边形综合、立体几何线面角|分层设计，如17题融合解三角形与三角恒等变换，18题以圆为背景考查逻辑推理，体现数学思维与应用|

数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数是纯虚数，则实数的值为（     ） A．2 B．1 C．2或1 D．0或1 2．的值为（    ） A． B． C．0 D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 5．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（   ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A．- B．- C． D． 7．如图，四边形为正方形，平面//，记三棱锥的体积分别为，则（　　） A． B． C． D． 8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 11．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 13．古希腊数学家泰特托斯（Theaetetus，公元前417—公元前369年）详细地讨论了无理数的理论，他通过如图来构造无理数，，，，则________.    14．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分13分）已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 16．（本题满分15分）（1）求值：； （2）已知都是锐角，，求的值. 17．（本题满分15分）在凸四边形中，． (1)若，，，四点共圆，，，． ①求四边形的面积； ②求的值； (2)若，，，求的值． 18．（本题满分17分）如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点. (1)证明：是直角三角形； (2)若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本题满分17分）如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： (1)正四棱锥的表面积； (2)若为的中点，求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 高一数学 第1页，共3页 高一数学 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学参考答案 1．A 【分析】由纯虚数的概念列式可得结果. 【详解】由是纯虚数，可得，解得. 2．B 【分析】利用两角和的余弦公式化简求得表达式的值. 【详解】 . 故选：B 3．D 【详解】因为，为内角，则， 则. 4．D 【分析】先求出直观图面积，根据直观图面积和原图面积之间的关系即可得答案. 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 5．C 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 6．C 【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案. 【详解】由，， 两边平方后相加得， 即,得， 所以, 故选:C. 7．D 【分析】设，利用锥体体积公式求出，作出辅助线，证明出⊥平面，由勾股定理逆定理得，求出，四个选项一一判断，得到答案. 【详解】设，， 因为平面，， ，， 连接交于点，连接，易得⊥， 又平面，平面，所以， 又，平面，则⊥平面， 又， 过点过⊥于点，易得四边形为矩形， 则，， 则，，， 显然，则， ， 则， ，，，， ，ABC错误；D正确. 故选：D 8．D 【分析】由对任意实数恒成立，两边同时平方化简整理得：对任意实数恒成立，故，解得.利用绝对值的三角不等式即可求解. 【详解】由题可知. 由，两边同时平方得，化简整理得. 因为对任意实数恒成立，所以对任意实数恒成立， 所以，所以. 所以， 当且仅当向量与方向相反时等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 9．BD 【分析】根据两角和得正弦公式计算即可判断A；将两边平方，结合二倍角得正弦公式即可判断B；结合B选项可判断得符号，进而可判断C；结合C选项求出，再根据商数关系即可判断D. 【详解】，故A错； ，平方得：， 所以，故B对； ，又因为，， 由B选项知：，所以，因此，故C错； 由C得，， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，故D对， 故选：BD. 10．BC 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系 ；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角 的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断. 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ， 解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，， 所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：， 所以， 因为 AD是的平分线， 由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：， 两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 12． / / 【分析】作出辅助线，求出四棱台的侧高和高，求出表面积和体积 【详解】如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高， 因为，，， 所以上底面面积为，下底面面积为， 棱台的侧高为， 所以侧面积为， 所以该棱台的表面积为， 又，， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：，. 13． 【分析】根据和差角公式即可求解. 【详解】由题意可知． 可得 ， 即． 故答案为：． 14．/ 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，， 由图可知，，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以， ． 故答案为：． 15．（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值. 【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值． （2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值． 【详解】解：（1）∵向量． 由， 可得：， 即， ∵x∈[0，π] ∴． （2）由 ∵x∈[0，π]， ∴ ∴当时，即x＝0时f（x）max＝3； 当，即时． 【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 16．（1）1；（2）. 【分析】（1）先进行切化弦，将变为，通分并根据辅助角公式，将其化为，由二倍角公式及诱导公式即可化简得原式的值； （2）由同角三角函数的平方关系，分别求得，再根据两角差的正弦公式求得的值. 【详解】（1） ； （2）∵是锐角，； ∵都是锐角，，所以. ，， . 17．(1)①；② (2) 【分析】（1）①由四点共圆得到，在、中分别利用余弦定理求出、，即可得到、，再由面积公式求出、即可；②利用余弦定理求出、，由二倍角公式求出，再由数量积的定义计算可得； （2）设，再在中利用正弦定理得出关于的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可. 【详解】（1）① 因为，，，四点共圆且， 所以，则， 在中由余弦定理，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 在中由余弦定理，又， 所以，解得或（舍去）， 所以， 所以， 所以； ②由①在中由余弦定理， 即，则， 所以， 在中由余弦定理， 即，则， 所以， 即，所以， 所以. （2） 设，，则，则，， 又，所以， 在中，由正弦定理可得， 即， ∴，即， ∴ ， 故， 又，解得， 又由正弦定理有， 故， 所以. 18．(1)证明见解析； (2)正弦值为 【分析】（1）证明平面即可；（2）先算出三棱锥的边长数据，在根据线面角的定义和等体积法，求出到平面的距离，与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）是的直径，则，又垂直于所在的平面，即 平面，又平面，则，又，于是平面，又平面，则，即，故是直角三角形； （2）由题可得平面，则与平面所成角为，即，，计算易得，则，由（1）知，是直角三角形，，设到平面的距离为，由线面角的定义，于是与平面所成角的正弦值为，三棱锥的体积：，又，根据，解得，于是与平面所成角的正弦值为 19．(1) (2) 如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点， 当M为SA的中点时，， 又平面平面， 所以平面； (3)在侧棱存在点，使得平面， 【分析】（1）根据正四棱锥的结构求出侧面的高，即可求解正四棱锥的表面积； （2）如图，连接交于点O，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （3）取的中点Q，过Q作的平行线交于E，得，，根据线面平行的判定定理可得平面、平面，结合面面平行的判定定理与性质即可下结论. 【详解】（1）在正四棱锥中，， 则正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的表面积为； （2）略 （3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下： 取的中点Q，由，得， 过Q作的平行线交于E，连接，， 中，有，又平面，平面， 所以平面，由，得. 又，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $