精品解析：河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末摸底数学试题

河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末摸底数学试题 一、单选题 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，所以的虚部为 2. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】这组数据按从小到大排序为3，5，6，7，7，9， 由可知第30百分位数是第2个数据，即为. 3. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数. 【详解】由直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，得众数是最高矩形下底边的中点横坐标， 因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值； 直线左右两边矩形面积相等， 而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则 ； 又数据分布图为右拖尾，因此平均数大于中位数，即， 所以. 4. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（ ） A. 140 B. 105 C. 70 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】先计算北卷录取人数占总录取人数的比例，再结合总录取人数求解北卷录取人数即可. 【详解】由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为， 因此北卷录取人数占总录取人数的比例为， 已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为. 5. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 6. 在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图可得：. 7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， 所以，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题. 8. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的平方和关系及三角形面积公式得到，根据向量的线性运算得到，结合向量的模的计算及基本不等式求解即可. 【详解】在中，，所以. 又，所以. 又， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 二、多选题 9. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】CD 【解析】 【详解】对于A，若A与B互斥，则，故错误； 对于B，若，则，故错误； 对于C，若A与B相互独立，则与也相互独立， 所以，故正确； 对于D，，可得， 所以，则A与B相互独立，故正确. 10. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 11. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 所以圆锥的高. 对于A：圆锥侧面积，A正确. 对于B：圆锥体积，B错误. 对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，C正确. 对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得. 所以内切球的体积为，D正确. 三、填空题 12. 已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原直观图求解. 【详解】由题可知，则， 从而，所以， 还原直观图可得原平面图形为平行四边形，如图所示， 则， 所以， 所以原平面图形的周长为. 故答案为：. 13. 《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【解析】 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 14. 如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】取中点，连接，即可得到为异面直线与所成角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接， 又因为，，、分别为、的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成角（或补角）， 又因为异面直线与所成角的大小为，所以或， 在中，由余弦定理得， 当，有，解得； 当，有，解得； 因此的长为或. 四、解答题 15. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． （1）求事件“为实数”的概率； （2）求事件“”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. 【小问1详解】 若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. 【小问2详解】 由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 16. 如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）当时，直线平面. 【解析】 【分析】（1）先证明，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）过点作交于点，连接，证得，，由面面平行的判定定理证得平面平面，再由面面平行的性质定理证明即可. 【小问1详解】 由三棱柱的性质可得：， 平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 当时，直线平面，证明如下： 过点作交于点，连接，所以， 因为是的中点，所以为的中点，是的中点， 所以在中，，平面，平面， 所以平面，同理平面，， 平面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面. 即当时，直线平面. 17. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】（1） （2） （3）95克 【解析】 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【小问1详解】 频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. 【小问2详解】 各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. 【小问3详解】 由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 18. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据两角和的正弦展开公式和正弦定理化简原式并求解即可； （2）（ⅰ）根据周长和余弦定理建立关于 的方程并求解，再结合面积公式求解 ； （ⅱ）通过向量运算建立和 的方程，进而根据正弦定进行边角转化，再利用三角函数求解范围. 【小问1详解】 ，即 ， 由正弦定理可得 ， 又 ， 所以 ， 因为，所以 ， 所以 ，即， 又，所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 的周长为，所以， 由余弦定理可得，即 ， 即 ，得， 所以 的面积为， 则， 所以． （ⅱ）因为，所以E是 的中点，所以， 则， 又 ，所以 ， 由正弦定理可得 ， 所以 ，， 所以 ． 因为 为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以，则 的取值范围是． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. （2）证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南许昌市襄城县部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末摸底数学试题 一、单选题 1. 设，则z的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据3，5，6，7，7，9的第30百分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，，，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系可能正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（ ） A. 140 B. 105 C. 70 D. 30 5. 已知向量，不共线，且则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 8. 三角形中，角所对的边分别为，已知，，点满足，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题 9. 已知事件A，B满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若A与B互斥，则 B. 若，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立 10. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 11. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为 三、填空题 12. 已知一个水平放置的平面图形由斜二测画法得到的直观图是边长为2的菱形，且，则原平面图形的周长为__________. 13. 《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 14. 如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 四、解答题 15. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． （1）求事件“为实数”的概率； （2）求事件“”的概率． 16. 如图，在三棱柱中，P是上一动点，（），是上一点，是的中点. （1）求证：直线平面； （2）若是的中点.试探究为何值时，直线平面？并给出你的证明. 17. 台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这批蜜桔的平均质量； （3）若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 18. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求C． （2）． （ⅰ）若 的周长为，角C的平分线交 于点D，求 的长； （ⅱ）若 为锐角三角形，，求 的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求二面角所成角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $