河南省南阳市邓州第一高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学模拟试卷

2024-2025学年河南省南阳市邓州第一高级中学高一（下）期末数学模拟试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数，实数a，b满足，则(    ) A. 2 B. 4 C. D. 2.已知，则(    ) A. B. C. D. 7 3.如图，正方体棱长为2，点M，N分别为，CD的中点，则异面直线MN和所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 4.，是两个平面，m，n是两条直线，则(    ) A. 如果，，那么 B. 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交 C. 如果，，那么 D. 如果，n与相交，那么m，n是异面直线 5.已知直角梯形OABC上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为(    ) A. B. C. 3 D. 6 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知圆台形水杯盛有水不计厚度，杯口的半径为4，杯底的半径为3，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为r的球球被完全浸没，水恰好充满水杯，则(    ) A. B. 2 C. 3 D. 8.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为，上、下底面的面积之比为1：9，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，四面体ABCD中，等边的边长为，，，平面平面ACD，则下列选项正确的是(    ) A. 四面体ABCD的体积为 B. 直线AB与直线CD所成角的大小为 C. 直线BD与平面ACD所成角的正弦值为 D. 点A到平面BCD的距离为3 10.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，，，则(    ) A. 的外接圆半径为 B. C. D. 为锐角三角形 11.棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列结论正确的是(    ) A. 动点F的轨迹的长度为 B. 的最小值为 C. 三棱锥体积的最小值为 D. 当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设非零向量，，满足，且，若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______. 13.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为______. 14.三棱锥中，底面，则三棱锥的外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在中，点M，N满足，点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线. 用表示； 求的值. 16.本小题15分 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求角A的大小； 若D为AC的中点，且，求bc的最大值. 17.本小题15分 已知函数 求函数的单调递增区间； 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长. 18.本小题17分 如图，在直四棱柱中，底面ABCD是矩形，，E，F分别是棱AD，BC的中点. 证明：平面； 证明：平面平面 19.本小题17分 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求锐角A的大小； 在的条件下，若，且的周长为，求的面积. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查复数的四则运算，以及复数相等的条件，属于基础题． 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数相等的条件，即可求解． 【解答】 解：复数，实数a，b满足， 则， 即 ，解得， 故 故选： 2.【答案】B  【解析】解：，整理得：，解得或， 当时，不存在，舍去， ， 故选： 由条件得出，然后可求出的值，然后根据两角差的正切公式即可求出答案． 本题考查了二倍角的正余弦公式，两角差的正切公式，是基础题． 3.【答案】A  【解析】解：取AB中点E，连接、ME、NE、BN， 因为在中，EM是中位线，所以且， 因为， 所以，可得或其补角就是异面直线MN和的所成角， 由正方体的棱长为2，可得，所以， 中，，所以中， 在正方形ABCD中，E、N为对边的中点，所以， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线MN和的所成角的余弦值为 故选： 取AB中点E，连接、ME、NE、BN，可证出，或其补角就是异面直线MN和的所成角，然后运用勾股定理与正方形的性质，分别算出MN、ME、EN的长，在中运用余弦定理算出的值，即可得到异面直线MN和所成角的余弦值． 本题主要考查正方体的结构特征、异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题． 4.【答案】C  【解析】解：如果，，那么或m与n相交或m与n异面，故A错误； 如果，，m，n是异面直线，那么n与相交或，故B错误； 如果，，由平面与平面平行的定义可得，故C正确； 如果，n与相交，那么m与n相交或异面，故D错误． 故选： 由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案． 本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 5.【答案】C  【解析】解：根据斜二测画法可知， y轴上的OC，在新系中在轴上， 且， 作轴于D，则， 又，， 故选： 利用斜二测画法找到新系中各点的位置，则新梯形的底和高容易求得，进而求出面积． 本题考查了斜二测画法，属容易题． 6.【答案】D  【解析】解：因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以 故选： 由求出，利用同角的三角函数关系求出 本题考查了三角函数的求值运算问题，是基础题． 7.【答案】D  【解析】解：根据题意可得放球前水面圆的半径为，水的高度为， 所以根据题意可得， 解得 故选： 根据圆台的体积公式，球的体积公式，即可求解． 本题考查圆台的体积公式，球的体积公式的应用，属中档题． 8.【答案】A  【解析】解：设圆台的底面半径为和， 由于上、下底面的面积之比为1：9，故，整理得，圆台的侧面积为， 整理得， 圆台的截面面积为，C为周长， 故， 代入梯形的面积公式可得， 解得，故； 所以，， 故， 故 故选： 首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积． 本题考查的知识要点：圆台和球的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：对于A：因为，平面平面ACD，平面平面， 平面ACD，所以平面ABC， 又等边的边长为，，， 所以， 所以，故A正确； 对于B：因为平面ABC，平面ABC，所以， 即直线AB与直线CD所成角的大小为，故B错误； 对于C：取AC的中点E，连接BE、DE，则， 又平面平面ACD，平面平面，平面ABC， 所以平面ADC， 所以为直线BD与平面ACD所成角， 又， 在中，， 所以， 即直线BD与平面ACD所成角的正弦值为，故C正确； 对于D：因为，， 设点A到平面BCD的距离为d， 则， 解得， 即点A到平面BCD的距离为3，故D正确． 故选： 根据面面垂直的性质得到平面ABC，再由锥体的体积公式判断A；由线面垂直的性质判断B；取AC的中点E，连接BE、DE，得到平面ADC，则为直线BD与平面ACD所成角，即可判断C；利用等体积法判断 本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 10.【答案】BCD  【解析】解：因为， 所以，，即，A错误； 由正弦定理得，，B正确； 由余弦定理得，，解得负值舍去，C正确； 因为， 所以B为锐角，且C为锐角， 又， 所以，即A也为锐角，为锐角三角形，D正确． 故选： 结合正弦定理检验选项A，B，结合余弦定理检验选项C，D即可． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 11.【答案】ABD  【解析】解：对于选项A，取，的中点M，N，连接ME，MN，，AN，AM， 所以，又易证，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为E为棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又F为正方形内一个动点包括边界，且平面， 所以MN为F的轨迹，又，所以动点F的轨迹的长度为，故选项A正确； 对于选项B，又易得，所以F为MN的中点时，， 此时，所以的最小值为，故选项B正确； 对于选项C，，其中d为F到的距离， 所以d最小时，最小，显然F在点N处时，d最小， 此时，故选项C错误； 因为是直角三角形，所以外接球的球心在过NC中点K且与平面垂直的直线上， 设外接球的球心为O，由， 可得， 所以， 即， 解得， 解得，所以外接球的表面积为，故D正确． 故选： 取，的中点M，N，连接ME，MN，，AN，AM，可得MN为F的轨迹，求解可判断A； F为MN的中点时，，求解可判断B； ，可得F在点N处，体积最小，求解可判断C； 外接球的球心在过NC中点K且与平面垂直的直线上，求得外接球的表面积可判断 本题考查立体几何综合问题，属于中档题． 12.【答案】或  【解析】解：因为，即，所以， 且，即， 由，得，因为向量在上的投影向量为， 由题意得，所以，设向量与的夹角为， 因为，所以， 所以，所以，，且，所以与的夹角是或 故答案为：或 先根据向量等式推出，并得到接着由坐标求其模长，再根据投影向量条件算出然后用向量数量积公式求出与夹角．最后结合前面的结论，求出与的夹角． 本题考查了向量数量积的计算公式，投影向量的计算公式，属于中档题． 13.【答案】  【解析】解：已知，，，根据余弦定理， 将已知条件代入可得：，即， 由三角形面积公式， 将，代入可得： 故答案为： 本题可利用余弦定理求出ac的值，再代入三角形面积公式求出的面积． 本题考查了余弦定理，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：作出图形示意图如下： 设外接圆的圆心为E， 因为， 所以的外接圆的半径为， 设三棱锥的外接球的球心为O， 又底面BCD，， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为 故答案为： 设外接圆的圆心为E，由正弦定理可求得，设三棱锥的外接球的球心为O，利用勾股定理可求得OB，进而可求外接球的表面积． 本题考查三棱锥的外接球问题，属中档题． 15.【答案】；     【解析】在中，点M，N满足， 点D满足，E为AD的中点，且M，N，E三点共线． ； 由得， 因为M，N，E共线，所以，，， 所以， 结合向量的加法及减法表示即可； 由三点共线的向量形式及已知条件表示，结合及平面向量基本定理即可求解． 本题主要考查了向量的线性运算及平面向量基本定理，属于基础题． 16.【答案】；     【解析】解：因为， 可得， 即， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得， 又因为， 可得； 为AC的中点，且， 可得， 两边平方可得：， 即， 当且仅当，即，时取等号， 即， 即bc的最大值为 由二倍角公式及正弦定理，余弦定理可得的值，再由角A的范围，可得角A的大小； 由BD为中线，可得BD的向量表示，两边平方，由基本不等式可得bc的最大值． 本题考查正弦定理，余弦定理的应用，中线的向量表示，属于中档题． 17.【答案】；    【解析】因为 ， 因为正弦函数的单调递增区间为：， 令，得：， 整理得：， 所以函数的单调递增区间 由，得， 解得：，因为A为锐角，所以， 由余弦定理：，即，解得， 结合，得：，所以， 所以三角形周长为： 由三角恒等变换化简可得，再求单调递增区间即可； 由得A，再由余弦定理和条件可得，再求周长即可． 本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，余弦定理的应用，属于中档题． 18.【答案】证明过程见详解；   证明过程见详解．  【解析】证明：因为底面ABCD是矩形，，E，F分别是棱AD，BC的中点， 所以， 而平面，平面， 所以平面； 在直四棱柱中，底面ABCD，平面ABCD， 所以， 在矩形ABCD中，，E为AD的中点， 所以，即， 所以，即， 又因为，且BE，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面 由题意可证得，再由线面平行的判定定理可证得结论； 由直棱柱的性质可证得，再由矩形边的关系可得，再由线面垂直的判定定理可证得平面，再证得结论． 本题考查线面平行的判定定理的应用即面面垂直的判定定理的应用，属于中档题． 19.【答案】解：因为， 由正弦定理得， 在中，， 所以， 又，所以， 又A为锐角， 所以； 因为，所以， 又，所以， 可得， 而， 由正弦定理，令， 则， 所以的周长为， 解得， 所以，， 所以  【解析】利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式即可得解； 先求出C，再根据正弦定理，令，求出a，b，c，再根据三角形的周长求出k，再根据三角形的面积公式即可得解． 本题考查正弦定理的应用及三角形面积公式的应用，属于中档题． 第3页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$