精品解析：山东省烟台市牟平区2025-2026学年下学期初二数学期末试卷

2025-2026学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某彩票的中奖机会是，买1张彩票不会中奖 B. 掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不超过6 C. 从只有红球的袋子中摸出一个黄球 D. 打开微信视频号，正在播比赛 2. 下列命题：①若，则；②在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形三条角平分线交点到三个顶点距离相等；④一个角的补角大于这个角；⑤相等的角是对顶角；⑥若，则．其中是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，把一张长方形纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若在最后一个图形中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 小军同学有勤俭节约的好习惯．开学前夕，他用自己平时积攒的30元零花钱去“嘉学文具店”购买单价为3元的笔和单价为2元的本这两种学习用品（两种都要买），若30元的零花钱恰好花完，则小军同学的购买方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 6. 一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学社团做“用频率估计概率”的试验：不透明盒子中有1个蓝球、2个黄球、3个白球、和4个红球，这10个球除颜色外都相同．从盒子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率折线图如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ）． A. 蓝球 B. 黄球 C. 白球 D. 红球 9. 如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（ ） A. 52 B. 55 C. 58 D. 62 12. 2026年4月19日7点30分全球首个人形机器人半程马拉松比赛在北京亦庄举行．其中图1为比赛中机器人跑步姿态，图2为某一瞬间的平面结构图，其中，，．若，于点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 三条直线，，相交于一点，则的值是__________． 14. 高校举行大学生篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，山大队要想在前15场比赛中得分不低于33分．则该队至少要胜__________场． 15. 如图，若，请你添加一个条件：__________，使． 16. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 17. 如图，，是正方形网格上的两个格点，在余下的格点中任意取一点，构成的不是等腰三角形的概率是__________． 18. “七巧板”是祖先的卓越创造，能拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中图形之一的正方形面积为__________． 三、解答题（满分66分） 19. 完成下列各题： （1）解二元一次方程组：； （2）利用数轴求出一元一次不等式组的解集，并写出该不等式组所有的整数解． 20. 如图，在中，，．请用两种尺规作图的方法作等腰，使直角顶点在边上，只保留作图痕迹，不写作法． 21. 已知：、、是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则__________； （2）若，，求证：为直角三角形； （3）在中，若，，，求的取值范围． 22. 已知：如图，，．求证：．（并标注每一步证明的依据） 23. 南、北两家办公用品店经销同一品牌的办公专用桌椅，标价都是一张桌子1000元，一把椅子100元，南、北两店推出各自销售的优惠方案，南店：买一张桌子送两把椅子；北店：桌子和椅子全部按标价九折优惠．现某园区要购买5张桌子和把椅子． （1）分别用含的式子表示该园区在南、北两店购买桌椅所需的金额、； （2）该园区选择哪一家店购买更划算？ 24. 五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： （1）享受七折优惠的概率； （2）中奖得20元的概率； （3）中奖得现金的概率； （4）谢谢参与的概率； （5）请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和足球，使更多学生能够参与球类活动． 素材一 购买2个篮球与购买3个足球需要的费用相等； 素材二 购买4个篮球和10个足球共需1600元； 素材三 该校计划购买篮球和足球共60个，篮球和足球均需购买，且购买篮球的个数不小于购买足球个数的． （1）每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？ （2）若恰好赶上价格调整，篮球价格按原价的优惠，足球提价，请你给出最节省费用的购买方案． 26. 已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某彩票的中奖机会是，买1张彩票不会中奖 B. 掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不超过6 C. 从只有红球的袋子中摸出一个黄球 D. 打开微信视频号，正在播比赛 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．中奖机会为的彩票，买1张可能中奖也可能不中奖，属于随机事件，不符合要求； B．普通正方体骰子的点数为1到6，所有点数都不超过6，该事件一定发生，属于必然事件，符合要求； C．只有红球的袋子中不可能摸出黄球，属于不可能事件，不符合要求； D．打开微信视频号，可能播放比赛也可能播放其他内容，属于随机事件，不符合要求． 2. 下列命题：①若，则；②在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形三条角平分线交点到三个顶点距离相等；④一个角的补角大于这个角；⑤相等的角是对顶角；⑥若，则．其中是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多个初中数学基础概念与性质，只需逐个判断每个命题的真假，统计真命题个数即可得到答案． 【详解】解：逐个判断命题真假： ①若，当时，根据不等式性质，不等号方向改变，可得，故①是假命题； ②直角三角形的性质定理：角所对的直角边等于斜边的一半，故②是真命题； ③三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等，到三个顶点距离相等的是三边垂直平分线的交点，故③是假命题； ④钝角的补角是锐角，锐角小于原钝角，例如的补角为，，故④是假命题； ⑤相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行得到的同位角相等，不是对顶角，故⑤是假命题； ⑥ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，得，故⑥是真命题； 综上，真命题共有个． 3. 如图，把一张长方形纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若在最后一个图形中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质和折叠的概念进行计算即可． 【详解】解：如图所示， 根据折叠的性质可得， ， ， 根据折叠的性质可得， ， 根据折叠的性质可得， ． 4. 已知关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了可得答案． 【详解】解：由不等式，得：， ∵不等式组无解， ∴． 故选：D． 5. 小军同学有勤俭节约的好习惯．开学前夕，他用自己平时积攒的30元零花钱去“嘉学文具店”购买单价为3元的笔和单价为2元的本这两种学习用品（两种都要买），若30元的零花钱恰好花完，则小军同学的购买方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】设购买笔支，购买本本，根据总费用列出方程后，结合均为正整数（两种商品都要买）的条件，找出所有符合的正整数解即可得到方案数． 【详解】解：设购买笔支，购买本本，其中均为正整数， 根据总费用恰好为30元，可得：， 整理得：， ∵是正整数， ∴为整数， ∵3是奇数，因此必为偶数， 又∵两种商品都要买， ∴，， 由得，解得， 因此符合条件的正偶数为，共4个，对应4种购买方案． 6. 一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设与交于点，利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和求得，利用三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ， ，， ， ． 7. 如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：作直线，如图所示： 关于的不等式可变形为， ∴根据函数图象可知：． 8. 某数学社团做“用频率估计概率”的试验：不透明盒子中有1个蓝球、2个黄球、3个白球、和4个红球，这10个球除颜色外都相同．从盒子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率折线图如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ）． A. 蓝球 B. 黄球 C. 白球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】频率折线图稳定在0.3附近，先计算每种颜色球的理论概率，找到概率约等于0.3的球即为答案． 【详解】解：盒子中一共有球：个． 分别计算各类球取出的概率： 蓝球：， 黄球：， 白球：， 红球：， 由频率折线图可知，随着试验次数增加，该颜色球出现的频率稳定在0.3左右，和白球的理论概率相等，因此该种球的颜色最有可能是白球． 9. 如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：由作图知平分，， ， 在与中， ， ， ， 故选：C． 11. 如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（ ） A. 52 B. 55 C. 58 D. 62 【答案】A 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，结合图形列二元一次方程组求解，进而得出大长方形的宽，即可得解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则，解得：， 大长方形的宽为， 阴影部分面积为． 12. 2026年4月19日7点30分全球首个人形机器人半程马拉松比赛在北京亦庄举行．其中图1为比赛中机器人跑步姿态，图2为某一瞬间的平面结构图，其中，，．若，于点，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，过点作，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：， ， 过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 三条直线，，相交于一点，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的交点坐标，三条直线相交于一点，则该点同时在三条直线上，再将交点代入的方程即可求出的值． 【详解】解：联立，解得：， 直线和交于点， 三条直线相交于一点， 直线经过点， ， 解得：． 14. 高校举行大学生篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，山大队要想在前15场比赛中得分不低于33分．则该队至少要胜__________场． 【答案】 【解析】 【分析】设出该队胜的场数，根据总场数表示出负的场数，结合得分不低于分的要求列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小正整数即可得到答案． 【详解】设该队胜场，则负场， 根据题意列不等式得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 因此该队至少要胜场． 15. 如图，若，请你添加一个条件：__________，使． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据等角对等边可得，结合对顶角，若添加，可根据判定 ． 【详解】解：添加：， ， （等角对等边）， 在和中， ， 亦可添加或者等． 16. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______． 【答案】10°或100° 【解析】 【分析】分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：如图，点即为所求； 在中，，， ， 由作图可知：， ， ； 由作图可知：， ， ， ， ． 综上所述：的度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法． 17. 如图，，是正方形网格上的两个格点，在余下的格点中任意取一点，构成的不是等腰三角形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】除了点A、点B以外，共有23个点，找出能与点A，点B构成等腰三角形的点C的个数，从而得出不能与点A，点B构成等腰三角形的点C的个数，然后由概率的定义可求出答案即可． 【详解】解：如图，一共有23个符合条件的点，其中能与点A，点B构成等腰三角形的点C有9个，则不能与点A，点B构成等腰三角形的点C有个， 所以构成的不是等腰三角形的概率是． 18. “七巧板”是祖先的卓越创造，能拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中图形之一的正方形面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质求出，由图②“家”的图形可知，，，即可求出“七巧板”中图形之一的正方形面积． 【详解】解：如图，标记各点， 正方形的边长为， ，， ， ， 由图②“家”的图形可知，，， ， 正方形的面积， “七巧板”中图形之一的正方形面积为． 三、解答题（满分66分） 19. 完成下列各题： （1）解二元一次方程组：； （2）利用数轴求出一元一次不等式组的解集，并写出该不等式组所有的整数解． 【答案】（1） （2）不等式组解集为，所有整数解为 【解析】 【小问1详解】 解： 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示如下： 不等式组的解集为， 所有整数解为． 20. 如图，在中，，．请用两种尺规作图的方法作等腰，使直角顶点在边上，只保留作图痕迹，不写作法． 【答案】作法一：如图，即为所求， 作法二：如图，即为所求， 【解析】 【分析】作法一：以点C为圆心，为半径画弧，交于点P，再分别以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点Q，作射线交于点D，即为所求； 作法二：分别以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再以点C为圆心，为半径画弧，交弧于点G，画射线交于点D，即为所求； 【详解】解：作法一：由作图，， 则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形； 作法二： 由作图可知， ， ∴， ∴为等腰直角三角形； 21. 已知：、、是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则__________； （2）若，，求证：为直角三角形； （3）在中，若，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：，， ， ， ， 为直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形三边相等，可得，再代入式子结合有理数的乘方求解即可； （2）将，代入式子，得到，即可得证； （3）先根据已知条件，求出，根据三角形的边长为正数，推出，再利用三角形的三边关系，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：三角形为等边三角形， ， ； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：，， ， ， 、、是的三条边长， ，， ， ， ， 又， ， ， ， 的取值范围为． 22. 已知：如图，，．求证：．（并标注每一步证明的依据） 【答案】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴，即（等式性质）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 【解析】 【分析】由同旁内角互补，两直线平行可得，则有，可求得，即可判定，则． 【详解】略 23. 南、北两家办公用品店经销同一品牌的办公专用桌椅，标价都是一张桌子1000元，一把椅子100元，南、北两店推出各自销售的优惠方案，南店：买一张桌子送两把椅子；北店：桌子和椅子全部按标价九折优惠．现某园区要购买5张桌子和把椅子． （1）分别用含的式子表示该园区在南、北两店购买桌椅所需的金额、； （2）该园区选择哪一家店购买更划算？ 【答案】（1），； （2）当时，选择南店更划算；当时，两家店花费相同；当时，选择北店更划算． 【解析】 【分析】（1）根据两店推出的销售优惠方案分别求解即可； （2）结合（1）所得关系式列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ； 【小问2详解】 解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 则当时，选择南店更划算；当时，两家店花费相同；当时，选择北店更划算． 24. 五一黄金周期间，某购物广场抓住商机，举行有奖促销活动，每购物满100元，就会有一次转动大转盘的机会，大转盘如图1所示，求每转动一次转盘： （1）享受七折优惠的概率； （2）中奖得20元的概率； （3）中奖得现金的概率； （4）谢谢参与的概率； （5）请你在图2中重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到20元奖、谢谢参与和10元奖的概率分别为，，．（奖项内容同图1，标注要求也同图1，只作图．） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）设计方案如图， 【解析】 【分析】转盘被等分为，指针落在每个扇形区域的概率等于该区域圆心角与的比值，分别计算各扇形圆心角占的比例，可解答（1）-（4）； （5）由概率之和为1求出七折优惠的概率，再将各概率乘以得到对应圆心角，据此设计转盘． 【小问1详解】 解：转盘的圆心角总和为， 七折优惠对应的圆心角为， ． 【小问2详解】 解：20元对应的圆心角为， ． 【小问3详解】 解：中奖得现金包括获得10元或20元两种情况， 对应的圆心角之和为， ． 【小问4详解】 解：谢谢参与对应的圆心角为， ． 【小问5详解】 解：各结果概率之和为1， ， 各扇形对应的圆心角分别为： 七折优惠：， 20元：， 10元：， 谢谢参与：． 设计方案如下：将转盘分成四个扇形区域，七折优惠和20元的圆心角均为，10元的圆心角为，谢谢参与的圆心角为． 图略． 25. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和足球，使更多学生能够参与球类活动． 素材一 购买2个篮球与购买3个足球需要的费用相等； 素材二 购买4个篮球和10个足球共需1600元； 素材三 该校计划购买篮球和足球共60个，篮球和足球均需购买，且购买篮球的个数不小于购买足球个数的． （1）每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？ （2）若恰好赶上价格调整，篮球价格按原价的优惠，足球提价，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】（1）每个篮球150元，每个足球100元； （2）最节省费用的购买方案是购买篮球15个，足球45个 【解析】 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据素材一和素材二列二元一次方程组求解即可； （2）先求出调整后篮球和足球的价格，设购买篮球个，根据题意列一元一次不等式得到的取值范围，再设购买费用为，得到关于的一次函数关系式，利用一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元， 则，解得：， 答：每个篮球150元，每个足球100元； 【小问2详解】 解：篮球价格按原价的优惠，足球提价， 调整后篮球的价格为（元），足球的价格为（元）， 设购买篮球个，则购买足球个， 则， 解得：， 设购买费用为， 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值，此时， 最节省费用的购买方案是购买篮球15个，足球45个． 26. 已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． （1）当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） （2）当等于何值时，？请说明理由； （3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，大； （2）,理由见详解 （3）存在，或时 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【小问1详解】 解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的性质找到角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $