精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

2024～-2025学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的．请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化成的形式，则的值为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）． A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 4. 电是人们生产、生活的重要能源，节能环保，避开“白昼灯”、“长明灯”已成为人们的共识．某学校计划购买1000度电，若平均每天用电n度，则能使用m天．下列说法错误的是（ ）． A 若n减小一半，则m增大一倍 B. 若，则 C. 若n逐渐减小，则m随着减小 D. 若，则 5. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）． A. B. C. D. 6. 在中，对角线，长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）． A. 且 B. C. D. 7. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 对于二次根式的乘除运算，一般地有和，使乘除运算法则同时成立的条件是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）． A. 12或 B. 24或 C. 24或 D. 12或 11. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（ ） A. B. C D. 12. 宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 当时，化简的结果是______． 14. 现有一个面积为的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是______． 16. 如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式______． 17. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________． 三、解答题（满分66分） 19. 按要求计算： （1）若，求的值． （2）化简计算：． 20. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21. 若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值． 22. 在中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，在边的下方两弧交于点D，连接，，，与交于点E． （1）补全图形，并证明； （2）若，，求的长． 23. 一个不透明的口袋里有红、黄、白三种颜色的球共100个，球除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，已知从袋里随机摸出一个球，是黄球的概率为． （1）口袋里黄球有______个； （2）从中随意摸出一个球，如果摸到红球与摸到白球的可能性相同，分别求x和y的值； （3）在（2）的条件下，现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球？ 24. （1）如图1直线，试探究、、之间的数量关系． （2）如图2，直线，点A在直线l上，P是直线l上一动点，，当时，求的度数． 25. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A、B两点． （1）求直线的表达式； （2）①关于x、y的方程组的解是________； ②关于x的不等式的解集为__________； （3）若垂直于x轴直线与直线、分别交于点C、D，线段的长为3，求的面积． 26. 江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷． （1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？ （2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用． 27. 如图，． （1）求出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～-2025学年度第二学期期末质量检测 初三数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的．请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．根据二次根式的运算，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故此选项运算错误； B、，故此选项运算正确； C、，故此选项运算错误； D、，故此选项运算错误； 故选：B． 2. 把一元二次方程化成形式，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程、二次根式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用配方法把一元二次方程化成的形式，再结合题意可知，，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵一元二次方程化成的形式， ∴，， ∴． 故选：A． 3. 如图，网格中小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似图形的为（ ）． A. 甲和乙 B. 丙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形，正确理解相似图形的概念是解题的关键．根据“对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形”进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似图形． 故选：D． 4. 电是人们生产、生活重要能源，节能环保，避开“白昼灯”、“长明灯”已成为人们的共识．某学校计划购买1000度电，若平均每天用电n度，则能使用m天．下列说法错误的是（ ）． A. 若n减小一半，则m增大一倍 B. 若，则 C. 若n逐渐减小，则m随着减小 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例的应用，每天用电量与能使用天数之积为定值，可知m与n成反比例关系，由此逐项判断即可． 【详解】解：由题意知， A．若n减小一半，则m增大一倍，说法正确； B．若，则，说法正确； C．若n逐渐减小，则m逐渐增大，选项中说法错误； D．若，则，说法正确； 故选C． 5. 若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 6. 在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（ ）． A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 7. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求位似图形的位似中心，对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 故选A． 8. 已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系． 【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点， ∴， ∵， ∴，即，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 9. 对于二次根式的乘除运算，一般地有和，使乘除运算法则同时成立的条件是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式中被开方数大于等于0，分式的分母不能为0，即可求解． 【详解】解：由得，， 由中得， 综上可得，，， 故选：B． 10. 已知三边分别为a、b、c，其中，，c是一元二次方程的一个根，则的面积是（ ）． A. 12或 B. 24或 C. 24或 D. 12或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由c是一元二次方程的一个根，可得或，再分2种情况讨论：①；②，再利用等腰三角形的性质、勾股定理及其逆定理、三角形面积公式即可求解． 【详解】解： ， 解得：，， ∵c是一元二次方程的一个根， ∴或， ①当时，则， 如图，作于点， 则， ∴， ∴； ②当时， 则， ∴是直角三角形， ∴； 综上，的面积是24或； 故选：C． 11. 在同一平面直角坐标系中，函数与大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 12. 宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 当时，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 现有一个面积为的菱形，且该菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该菱形的一个内角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设菱形的两条对角线长分别为，根据菱形的面积公式得到，根据根与系数的关系得到，求解一元二次方程得到菱形的两条对角线长分别为2和，再利用菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定即可求解． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为， ∵菱形面积， ∴， ∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 解得：，， ∴菱形的两条对角线长分别为2和， 如图，菱形的对角线，， 则，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵菱形， ∴，， ∴该菱形的一个内角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理、等边三角形的性质与判定，掌握菱形的性质是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出对应点的坐标． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，且， ∴相似比为3， 又∵， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 16. 如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．先分别求得反比例函数图像分别过点A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：当反比例函数图像过点，则， 当反比例函数图像过点，则， ∴的取值范围为， ∴可以取4， ∴符合条件反比例函数的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 17. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是平行四边形，则，可证明，得到，由进一步即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，垂直于x轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点F，点D的对应点B恰好落在反比例函数的图象上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为的中点，且，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，由对称的性质知，，利用相似三角形的判定和性质求得，则，根据以及反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】解：连接， 设对称轴与x轴交于点G， ∵与关于对称轴， ∴，，， ∵点A为的中点， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、相似三角形的判定和性质、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 三、解答题（满分66分） 19. 按要求计算： （1）若，求的值． （2）化简计算：． 【答案】（1）2 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、二次根式的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）令，则，原方程变为，解出的值，即可得出答案； （2）利用二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：令， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 解得：，（舍去）， 即的值为2． 【小问2详解】 解： ． 20. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1． 【解析】 【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状； （3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可． 【详解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 21. 若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键． 根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出a的取值范围，即可求解． 【详解】， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴ ∵所有整数解的和为14， ∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，， ∴或， ∴或， ∵a为整数， ∴或． 22. 在中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，在边的下方两弧交于点D，连接，，，与交于点E． （1）补全图形，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，全等三角形的判定，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）首先求出，然后得到垂直平分，求出，勾股定理得到，进而求解即可． 【小问1详解】 如图所示， 证明：由作图知：． 在和中， ． 【小问2详解】 解：∵，， ， ∵， ∴垂直平分 ，． ， ， ∴ ． 23. 一个不透明的口袋里有红、黄、白三种颜色的球共100个，球除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，已知从袋里随机摸出一个球，是黄球的概率为． （1）口袋里黄球有______个； （2）从中随意摸出一个球，如果摸到红球与摸到白球的可能性相同，分别求x和y的值； （3）在（2）的条件下，现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球？ 【答案】（1）40 （2） （3）取走20个白球． 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷÷所有可能出现的结果数． （1）根据摸到黄球的概率为求解即可； （2）根据摸到红球与摸到白球的可能性相同，得到，然后列式求解即可； （3）设取走x个白球，则放入x个红球，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的口袋里有红、黄、白三种颜色的球共100个，从袋里随机摸出一个球，是黄球的概率为 ∴ ∴口袋里黄球有40个； 【小问2详解】 解：∵从中随意摸出一个球，如果摸到红球与摸到白球的可能性相同， ∴红球与白球的数量相等，即， ∴； 【小问3详解】 解：设取走x个白球，则放入x个红球 根据题意得， 解得 ∴取走20个白球． 24. （1）如图1直线，试探究、、之间的数量关系． （2）如图2，直线，点A在直线l上，P是直线l上一动点，，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）延长至点，则，根据平行线的性质可得，，即可得到结论； （2）过点作，根据平行线的性质可得，，即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图，延长至点，则， ，， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ， ，， ， ， 25. 如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A、B两点． （1）求直线的表达式； （2）①关于x、y的方程组的解是________； ②关于x的不等式的解集为__________； （3）若垂直于x轴的直线与直线、分别交于点C、D，线段的长为3，求的面积． 【答案】（1）； （2）①；②； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组，一次函数不等式，一次函数与几何综合，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）先根据直线求出点的坐标，再代入直线求出的值即可； （2）①根据两直线的交点坐标求解即可；②结合图象，根据直线：的图象在直线：图象的下方部分求解即可； （3）先求出点坐标，得到，再分两种情况讨论：当时，点在点上方；当时，点在点下方，分别表示出的长，求出的值，再求出的面积即可． 【小问1详解】 解：直线：与直线：相交于点， ， ， 将点代入直线：得：， 解得：， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①直线：与直线：的交点为， 关于x、y的方程组的解是； ②， ， ， 由图象可知，当时，直线：的图象在直线：图象的下方， 不等式的解集为， 不等式的解集为； 【小问3详解】 解：令，则，解得：， ， ， 垂直于x轴的直线与直线、分别交于点C、D， ，， 当时，如图，点在点上方， ，解得：， ，， ； 当时，如图，点在点下方， ，解得：， ，， ， 综上可知，的面积为或． 26. 江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷． （1）每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？ （2）大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，有几种方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用． 【答案】（1）每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷；（2）有七种方案，当大型收割机用8台时，总费用最低，最低费用为4800元． 【解析】 【详解】试题分析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用，即可得出w与m之间的函数关系式，由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，依此可找出各方案，再结合一次函数的性质即可解决最值问题． 试题解析：（1）设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得：，解得：． 答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷． （2）设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有（10﹣m）台，根据题意得：w=300×2m+200×2（10﹣m）=200m+4000． ∵2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5400元，∴，解得：5≤m≤7，∴有三种不同方案． ∵w=200m+4000中，200＞0，∴w值随m值的增大而增大，∴当m=5时，总费用取最小值，最小值为5000元． 答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低费用为5000元． 考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用；方案型；最值问题． 27. 如图，． （1）求出与的数量关系 （2）延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明． （3）在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）根据题意画出图形，根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：如图所示， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $