专题1.1.3 集合的基本运算（高效培优讲义）（9大题型）高一数学人教B版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理交集、并集、补集的概念与运算规则，结合德摩根律和容斥原理，通过概念定义、性质归纳、图形语言（韦恩图、数轴）构建学习支架，衔接从基础运算到混合运算及含参数问题的逻辑脉络。 该资料以“数学眼光”引导数形结合，借助韦恩图、数轴直观分析集合关系，以“数学思维”设计分层题型（基础运算、参数问题等），强化逻辑推理，以“数学语言”规范符号使用，即学即练巩固表达。课中助力教师分层教学，课后通过变式训练和综合练习帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

专题1.1.3 集合的基本运算 教学目标 1．理解交集、并集、全集与补集的概念，掌握交、并、补运算的符号表示与运算规则，能独立完成常规集合的运算求解。 2．能借助韦恩图、数轴分析集合运算问题，体会数形结合思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。 3．感受集合语言的简洁性与严谨性，养成规范使用数学符号的习惯，初步建立用集合视角分析实际问题的意识。 教学重难点 1.重点 交集、并集、补集的概念与基本运算；利用韦恩图、数轴辅助解决集合运算问题。 2.难点 集合交、并、补的混合运算；含参数的集合运算问题。 知识点01 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，即， 又， 所以. 知识点02 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据并集的定义，. 知识点03 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 知识点04 德摩根律 (1) (2) 【即学即练】设M，N为全集的两个非空子集，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，且 M，N为全集的两个非空子集，可得韦恩图，如图： 则. 知识点05 容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【即学即练】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【解析】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 题型 01: 交集的概念及运算 【典例1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，所以 【变式1-1】（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 因为，所以. 【变式1-2】（2026·高一·湖南岳阳·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合， 集合，故． 【变式1-3】（2026·高一·陕西西安·期末）若集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得. 题型 02: 根据交集运算结果求集合或参数 【典例2】（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 【变式2-1】（2026·高三·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. 【变式2-2】（2026·高一·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， . 【变式2-3】（2026·高一·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 题型 03: 并集的概念及运算 【典例3】（2026·高一·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，，所以. 【变式3-1】（2026·高一·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据并集的定义,，，可得. 【变式3-2】（第03讲集合的基本运算（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 所以． 【变式3-3】（第03讲集合的基本运算（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合， 则. 题型 04: 根据并集运算结果求集合或参数 【典例4】（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 【变式4-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. 【变式4-2】（2026·高一·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【解析】因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 【变式4-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 题型 05: 补集的概念及运算 【典例5】（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为全集，则集合为. 【变式5-1】（2026·高二·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，所以， 则. 【变式5-2】（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，则不属于的实数满足，即. 【变式5-3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由全集，集合， 则 . 题型 06: 根据补集运算结果求集合或参数 【典例6】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【答案】/ 【解析】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 【变式6-1】（2026·高二·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则______． 【答案】4 【解析】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 【变式6-2】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知全集，且，，，则集合       ． 【答案】 【解析】全集， ，则，， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】已知全集，，求实数的值. 【解析】因为补集有性质：，且. 所以， 所以，有两种情况： 情况一：且 由，可得或，即或. 由，移项得，解得或. 所以，当同时满足这两个方程， 此时，，，成立； 所以， 情况二：且 由，解得，代入得，不成立，故无解； 综上，实数的值为 题型 07: 交并补混合运算 【典例7】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【解析】（1）因为， 由交集的定义得，如图：     ， 又由并集的定义得，如图：   ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： . 【变式7-1】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【解析】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 【变式7-2】（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【解析】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 【变式7-3】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【解析】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 题型 08: 根据交并补混合运算结果求参数 【典例8】（2026·高一·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 【变式8-1】（2026·高二·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【解析】（1）因为，所以， 又，所以或， 所以，． （2）由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 【变式8-2】（2026·高一·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【解析】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式8-3】（2026·高一·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 题型 09: 容斥原理 【典例9】（2026·高一·云南大理·阶段检测）三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}. (1)解释集合运算. (2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？ 【解析】（1）表示同时参加数学竞赛和物理竞赛的同学； 表示参加数学竞赛或物理竞赛的同学； 表示不参加数学竞赛和物理竞赛的同学. （2）设两项竞赛都参加的同学有人，则， 解得，故参加两项竞赛的同学共6人. 【变式9-1】（2026·高三·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 【变式9-2】（2026·高一·湖北孝感·开学考试）某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人.求参加竞赛的学生总人数. 【解析】依题意，用分别表示参加数学竞赛、物理竞赛、化学竞赛的学生形成的集合， 则， ，， 因此 ， 所以参加竞赛的学生总人数为280. 【变式9-3】（2026·高一·广东深圳·期末）立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了名市民，结果显示：使用支付宝的有人，使用微信支付的有人，两种都使用的有人． (1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？ (2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 【解析】（1）因为“使用支付宝”的有人，“两种支付方式都使用”的有人， 所以“只使用支付宝不使用微信支付”的有（人）. （2）同理，“只使用微信支付不使用支付宝”的有（人）， 所以，“至少使用一种移动支付方式”的有（人）， 故“两种移动支付方式都不使用”有（人）. 1．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可得,又因， 则. 2．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 根据，所以. 3．（2026·高一·海南省直辖县级单位·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 则. 5．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，所以， 由得，所以， 所以. 6．（2026·高一·甘肃庆阳·期末）已知集合，，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】交集，说明B包含2，且不包含A中的0、1； 并集，A已包含0、1、2，因此3、4必须来自B，且元素属于； 综上，集合. 故选：C 1．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 2．（2026·高一·四川成都·期中）集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 【答案】A 【解析】，故A正确； ，故B错误； 集合可以表示为，其中， 即集合可描述为形式，故C错误； 集合A有6个元素，子集总数为，故D错误． 3．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 4．（2026·高一·全国·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，； 当时，， 要使，则或，即或， 所以实数的值组成的集合为. 故选：C 5．（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以，所以且， 所以且，所以，即实数的取值范围为. 故选：A 6．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 7．某社区需要招募志愿者进行连续天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有人，后两天都参加的有人，则这三天参加的人数最少为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合， 设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为， 根据题意可作维恩图如图: 依题意必有均为自然数， 所以, 故这三天参加的志愿者总人数为: 当时，总人数最少，最少人数为. 故选：B. 8．（多选题）（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【解析】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 9．（多选题）（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】，， ，故A正确， 又，， ，故B错误． ，，故C正确， ， ，故D错误． 故选：AC． 10．（多选题）（2026·高一·贵州毕节·阶段检测）设集合或，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A，若，则，则，故正确； 对于B，若，可得，故正确； 对于C，若，则，解得，故错误； 对于D，若，则，不等式无解，则若，故错误， 故选:AB 11．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【解析】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 12．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 【答案】1 【解析】因为，所以，即中的所有元素都属于， 因为，，，所以， 即，得出或， 当时，，则，，满足， 当时，，则集合中的元素不满足互异性， 综上，. 13．集合或.若，求的取值范围； 【解析】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 14．（2026·高一·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当，，或， 或， ，所以； （2）当，，得， 当时，若，则，解得：， 综上可知的取值范围为. 15．已知集合，， (1)若，求； (2)若，求m的取值范围． 【解析】（1）当时，，则； （2）由，得， ①当时，，符合题意； ②当时，则有，解得， 且，故， 由①②，得. 16．（2026·高一·福建宁德·期中）已知集合. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值集合. 【解析】（1）当时，， 则，. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由， 可得，故； 当时，，由， 可得，故. 综上，实数的取值集合为. 若选②或③，均可得出，解析同上. 17．（2026·高一·黑龙江大庆·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 所以或. （2）由，得， 当，即时，，符合题意，因此； 当时，，解得， 所以的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.3 集合的基本运算 教学目标 1．理解交集、并集、全集与补集的概念，掌握交、并、补运算的符号表示与运算规则，能独立完成常规集合的运算求解。 2．能借助韦恩图、数轴分析集合运算问题，体会数形结合思想，提升数学抽象与逻辑推理能力。 3．感受集合语言的简洁性与严谨性，养成规范使用数学符号的习惯，初步建立用集合视角分析实际问题的意识。 教学重难点 1.重点 交集、并集、补集的概念与基本运算；利用韦恩图、数轴辅助解决集合运算问题。 2.难点 集合交、并、补的混合运算；含参数的集合运算问题。 知识点01 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点03 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 知识点04 德摩根律 (1) (2) 【即学即练】设M，N为全集的两个非空子集，若，则（   ） A． B． C． D． 知识点05 容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 【即学即练】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 题型 01: 交集的概念及运算 【典例1】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高一·福建福州·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·湖南岳阳·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高一·陕西西安·期末）若集合，，则＝（    ） A． B． C． D． 题型 02: 根据交集运算结果求集合或参数 【典例2】（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2-1】（2026·高三·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·广东广州·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·天津和平·期中）设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 03: 并集的概念及运算 【典例3】（2026·高一·广东广州·期末）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高一·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（第03讲集合的基本运算（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（第03讲集合的基本运算（培优讲义）新高一数学人教A版）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 题型 04: 根据并集运算结果求集合或参数 【典例4】（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·高一·北京西城·期中）已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【变式4-3】（2026·高三·安徽合肥·阶段检测）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型 05: 补集的概念及运算 【典例5】（2026·高二·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高二·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·北京丰台·三模）已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式5-3】（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）已知全集 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 题型 06: 根据补集运算结果求集合或参数 【典例6】（2026·高一·广东东莞·阶段检测）已知，，且，则的值等于___________. 【变式6-1】（2026·高二·浙江温州·期末）设全集，集合，若，则______． 【变式6-2】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知全集，且，，，则集合       ． 【变式6-3】已知全集，，求实数的值. 题型 07: 交并补混合运算 【典例7】（2026·高一·福建厦门·阶段检测）已知全集，，求： (1)； (2). 【变式7-1】（2026·高一·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【变式7-2】（2026·高一·四川巴中·阶段检测）已知集合， (1)求； (2)求. 【变式7-3】（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 题型 08: 根据交并补混合运算结果求参数 【典例8】（2026·高一·天津·期末）设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式8-1】（2026·高二·江西南昌·期中）设集合，， (1)若，求，； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【变式8-2】（2026·高一·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【变式8-3】（2026·高一·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 题型 09: 容斥原理 【典例9】（2026·高一·云南大理·阶段检测）三零二班共50名学生，30位同学准备参加数学和物理竞赛，现在已经完成报名，设是参加数学竞赛的同学是参加物理竞赛的同学是三零二班的同学}. (1)解释集合运算. (2)设参加数学竞赛的有15人，参加物理竞赛的有21人，问：两项竞赛都参加的有多少人？ 【变式9-1】（2026·高三·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【变式9-2】（2026·高一·湖北孝感·开学考试）某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人.求参加竞赛的学生总人数. 【变式9-3】（2026·高一·广东深圳·期末）立德中学高一年级某学生社团开展了“使用移动支付平台——支付宝与微信支付的对比分析”的课题研究．随机调查了名市民，结果显示：使用支付宝的有人，使用微信支付的有人，两种都使用的有人． (1)只使用支付宝不使用微信支付的有多少人？ (2)两种移动支付方式都不使用的有多少人？（要有合理的说明过程） 1．已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·海南省直辖县级单位·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·甘肃庆阳·期末）已知集合，，，则集合（   ） A． B． C． D． 1．（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·四川成都·期中）集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 3．（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·全国·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·云南玉溪·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．某社区需要招募志愿者进行连续天的志愿工作，第一天有人参加，第二天有人参加，第三天有人参加，其中，前两天都参加的有人，后两天都参加的有人，则这三天参加的人数最少为（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 9．（多选题）（专题01集合的四类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2026·高一必修第一册）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 10．（多选题）（2026·高一·贵州毕节·阶段检测）设集合或，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 12．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）已知集合，且，则_______． 13．集合或.若，求的取值范围； 14．（2026·高一·福建莆田·期中）已知集合，或，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 15．已知集合，， (1)若，求； (2)若，求m的取值范围． 16．（2026·高一·福建宁德·期中）已知集合. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的取值集合. 17．（2026·高一·黑龙江大庆·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $