专题1.3 集合的基本运算（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第一册

专题1.3 集合的基本运算 教学目标 1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义． 2．会求给定子集的补集． 3．能使用图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．树立数形结合的思想，体会类比的作用． 教学重难点 重点：全集与补集的概念． 难点：理解全集与补集的概念、符号之间的区别与联系． 知识点01 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练】已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 知识点02 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 知识点03 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点04德摩根律 (1) (2) 知识点05容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 题型01交集的概念及运算 【典例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知全集，集合，. (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围. 【变式1】已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【变式2】（多选）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【变式4】已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 题型03 并集的概念及运算 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型04 根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】集合，. (1)若只有一个整数，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围. 【变式1】设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【变式3】设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4】已知集合，. (1)若，求集合； (2)若且，求实数a的取值范围. 题型05 补集的概念及运算 【典例1】已知全集或，集合，则 ． 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． ,． 题型06 根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【变式1】设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【变式2】设全集，且，若，则 . 【变式3】已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【变式4】已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. ,． 题型07 交集、并集、补集的混合运算 【典例1】设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【变式4】设全集，，，则集合为（   ） A． B． C． D． 题型08 根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】设集合，. （1）若，且，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. . 【变式1】已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知或，，若，则m的取值范围是 . 【变式3】已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式4】设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0} （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围. 题型09 容斥原理 【典例1】为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【变式1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，参加三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【变式2】高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【变式3】为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【变式4】1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 2．集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 7．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 8．已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 10．已知集合和，满足，，则实数 ． 11．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 12．已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 13．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 14．集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算 教学目标 1．理解在给定集合中一个子集的补集的含义． 2．会求给定子集的补集． 3．能使用图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4．树立数形结合的思想，体会类比的作用． 教学重难点 重点：全集与补集的概念． 难点：理解全集与补集的概念、符号之间的区别与联系． 知识点01 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 【即学即练】已知集合， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由交集的概念进行求解． 【详解】根据题意，, 则. 故选：A 知识点02 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 【即学即练】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合M，再根据并集概念计算. 【详解】解：由 ， 所以 故选： D 知识点03 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由补集定义可知. 知识点04德摩根律 (1) (2) 知识点05容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 题型01交集的概念及运算 【典例1】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合，再由交集运算即可； 【详解】或， 所以， 故选：D 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以． 故选：C． 【变式2】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以． 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合A，B，根据交集概念求解即可. 【详解】，即，解得， 集合，又， 所以. 故选：A 【变式4】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合A，B的元素，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】由得或，， 由，则，所以， 故选A． 题型02 根据交集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知全集，集合，. (1)求，； (2)若集合，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据交集，补集，并集的定义计算即可； （2）由题意得集合间的包含关系，然后分和两种情况分类讨论即可. 【详解】（1）由已知易得或， ， . （2）由得， ①当时，，解得； ②当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【变式1】已知集合，，若，，则集合的个数为（   ） A．2 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由题意知，再列举出所有符合条件的集合即可. 【详解】由题意知，则集合为，，，共4个. 故选：B． 【变式2】（多选）已知集合，．若，则实数的值可能为（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】ACD 【分析】分别讨论，，，即可求解. 【详解】由题意得集合． 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合； 若，则，即，故，符合． 综上，或3或4． 故选：ACD 【变式3】已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先计算，再计算； （2）由得，再分类讨论. 【详解】（1）当时，，则或， 则或. （2）若，则, 当时，，即； 当时，，得， 则实数m的取值范围为. 【变式4】已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的补集及交集运算即可求解； （2）结合集合的交集运算即可求解． 【详解】（1）当时，，，则或， 故； （2）若， 当时，，即， 当时，，解得， 综上，t的范围为或 题型03 并集的概念及运算 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，则. 故选：C. 【变式1】已知集合，，，则中的元素个数至少为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项. 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 【变式2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的定义，即可求解. 【详解】由已知集合，， 则. 故选：B、 【变式3】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合的不等式，然后求这两个集合的并集. 【详解】集合的不等式为：，可求解为. 所以集合. 从而集合的并集为：. 故选：B. 【变式4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：C. 题型04 根据并集的运算结果求集合或参数 【典例1】集合，. (1)若只有一个整数，求实数的取值范围； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知满足即可，因此； （2）利用并集的结果可得，对是否为空集进行分类讨论，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）只有一个整数，又包含不止一个整数， ，且， ， 可得实数的取值范围是. （2）由，可得. ①若，此时，解得 ②若，此时需满足，此时不等式无解. 综上可知. 【变式1】设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 【变式2】已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可. 【详解】，∴． ∴当时，；当时，；当时，， ∴m的值为0，1，，∴m的值为． 故答案为：. 【变式3】设集合，非空集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】（1）求出集合，由，得，由此即可求解. （2），从而，当为单元素集时，，当为双元素集时，，由此列式即可求解. 【详解】（1），即，解得或， 所以， 又，， 则， 即，解得或， 当时，，即，符合， 当时，， ，解得，，符合， 故或. （2），则， ①当为单元素集时，，化简得， 即，解得或， 当时，由（1）知，符合题意； 当时，， ，解得， 所以，不符合题意，舍去. ②当为双元素集时，， 所以，无解， 综上：实数的取值范围为. 【变式4】已知集合，. (1)若，求集合； (2)若且，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的运算可得； （2）由得，再根据分类，可得. 【详解】（1）或， 当，，所以 （2）当时，，满足题意； 当时，， 由得，所以，得，故， 综上 题型05 补集的概念及运算 【典例1】已知全集或，集合，则 ． 【答案】或或 【分析】利用补集的运算进行求解. 【详解】由全集或，集合， 则或或， 故答案为：或或. 【变式1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集定义计算求解. 【详解】因为集合，，故. 故选：B. 【变式2】已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义求解即可． 【详解】因为集，集合， 所以或． 故选：D. 【变式3】已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的补集运算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以， 故选：B 【变式4】已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式后，根据补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D ,． 题型06 根据补集的运算结果求集合或参数 【典例1】已知集合，． (1)当时，求； (2)若存在集合，使得，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集概念求出答案； （2）根据补集的概念求出，结合，从而得到，得到答案. 【详解】（1）当时，，所以． （2）因为集合，所以， 又，所以，解得． 【变式1】设全集，集合．若，则的值分别为（    ） A．3，2 B．4，3 C．3，2或5，3 D．5，2或5，3 【答案】D 【分析】根据集合关系得到，且，再得到，且，，，，分类讨论得到的值. 【详解】因为，所以，且． 由题意得，，且，，，． 若，则，不满足，不符合题意； 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，，符合题意． 故选：D． 【变式2】设全集，且，若，则 . 【答案】4 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 【变式3】已知全集. (1)若中有四个元素，求和q的值； (2)若，求实数q的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据全集及条件可判断方程有相等实根即可得解； （2）转化为方程无实根，利用判别式求解即可. 【详解】（1）因为中有四个元素，所以A为单元素集合， 则方程有两个相等的实数解. 又由根与系数的关系知，这两个相等解的积为4， 所以只有，从而，所以. 所以. （2）由知，即方程无解， 所以，解得， 故实数q的取值范围是. 【变式4】已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． ,． 题型07 交集、并集、补集的混合运算 【典例1】设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解. 【详解】由题意得，阴影部分可表示为， 因为或，， 则或， 且，所以. 故选：B. 【变式1】已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】依题意得，，，所以． 故选：C. 【变式2】已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先化简，然后结合交集、补集合的概念即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式3】若全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交并补集的运算结果，结合选项依次验证即可判断. 【详解】A：若，则，所以， 与矛盾，故A错误； B：若，则，所以， 与矛盾，故B错误； C：若，则， 由，得，所以， 与矛盾，故C错误； D：若，则， 由，得， 所以，故D正确. 故选：D 【变式4】设全集，，，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用韦恩图可求集合. 【详解】由题设可得如下韦恩图： 而，故， 故， 故选：B. 题型08 根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【典例1】设集合，. （1）若，且，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）求出集合、，利用可求得实数的值； （2）分、、三种情况讨论，求出集合，由可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1），， ，且， 所以，，解得； （2）①当时，，则或， 又，所以，解得，所以； ②当时，，则，满足，所以； ③当时，，则或， 又∵，所以，解得，所以. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用并集的结果求参数，同时也考查了利用补集和并集的混合运算求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 【变式1】已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 【变式2】已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 【变式3】已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 【变式4】设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0} （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围. 【答案】（1）或；（2）且且 【解析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件；（2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围. 【详解】（1）， 由可知，， 即，解得：或， 当时，，此时，满足， 当时，，此时，满足. 所以实数的值是或； （2）U=R，A∩(B)=A，，则 ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，此时只需，， 将2代入方程得或，将1代入方程得，得， 综上可知，的取值范围是且且 【点睛】易错点睛：1.当集合的元素是方程的实数根时，根据集合的运算结果求参数时，注意回代检验，否则会造成增根情况，当集合是区间形式表示时，注意端点值的开闭； 2.当集合的运算结果转化为集合的包含关系时，注意讨论空集情况，容易忽略这一点. 题型09 容斥原理 【典例1】为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ． 【答案】17 【分析】根据集合中元素个数求法以及容斥原理计算可得结果. 【详解】设集合，集合， 集合， 设三项活动都参加的人数为， 则， 则由题意可得， 即， 解得． 故答案为：17 【变式1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，参加三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】A 【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 【变式2】高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（    ） A．16人 B．18人 C．20人 D．24人 【答案】A 【分析】根据集合的容斥原理即可求解. 【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为； 集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为； 则， 则. 故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人. 故选：A. 【变式3】为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用venn图，结合集合的运算求解. 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 【变式4】1学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加趣味益智类比赛．有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人，同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则只参加趣味益智类一项比赛的人数为 ；同时参加田径和球类比赛的人数为 【答案】 9 3 【分析】因为参加趣味益智类比赛的人数已知，因为没有人同时参加三项比赛，所以从中减去“同时参加趣味益智类比赛和田径比赛”和“同时参加趣味益智类比赛和球类比赛”的人数，就是只参加趣味益智类一项比赛的人数，设同时参加田径和球类比赛的人数为，列出方程计算即可． 【详解】因为参加趣味益智类比赛的总人数为15， 且：同时参加趣味益智类比赛和田径比赛的有3人； 同时参加趣味益智类比赛和球类比赛的有3人． 又因为没有人同时参加三项比赛， 所以只参加趣味益智类一项比赛的人数为：人． 设同时参加田径和球类比赛的人数为，由题意得： ， 解得：， 故同时参加田径和球类比赛的人数为， 故答案为：9；3． 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求并集，再求补集即可. 【详解】，，则， 又，则. 故选：B. 2．集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 4．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果. 【详解】对于A，由，则， 所以，故A正确； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C,由，则， 由，，则， 所以，，则， 所以，故C错误； 对于D，当时，结合选项B知，，故D错误. 故选：A. 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再结合补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为或， 所以，故. 故选：D. 6．对于集合，，定义且，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设定义求出和，再求出即可． 【详解】对于集合，，定义且，， 设，， 则，， 所以. 故选：C． 7．“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（    ） A．51 B．50 C．49 D．48 【答案】B 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 8．已知集合若，则a的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】由题得，因为，所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得1或， 综上的取值构成的集合为. 故选：D. 9．（多选）设，，若，则实数a的值可以是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABC 【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的. 【详解】∵， 又∵，∴ 所以当时，此时；当时，此时； 当时，此时；时，此时不存在； 综上可得：实数a的值可以是， 故选：ABC. 10．已知集合和，满足，，则实数 ． 【答案】 【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得 11．设集合，，全集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】解：（1）解法1  易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是． 解法2  由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是． （2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是． （3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是． 12．已知集合，非空集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）根据并集，补集和交集的概念进行求解； （2）求出，根据并集结果得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2），则，解得， 或，， 要想，需满足，解得， 综上，的取值范围是. 13．已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 14．集合． (1)若，求实数的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得，从而解出的值，分别代入集合检验是否满足，从而确定的值； （2）由得，从而求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以，解得或． 当时，，，不合题意； 当时，，满足题设． 所以，实数的值为1． （2）集合， 集合， 因为，所以，从而，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$