专题03 基本不等式求最值9大题型（高效培优期末专项训练）高一数学上学期人教B版2019

专题03 基本不等式求最值9大题型 考点01直接法求最值 考点02配凑法求最值 考点03“1”的代换 考点04双换元法求最值 考点05条件等式有和有积求最值 考点06多次基本不等式求最值 考点07消元法求最值 考点08恒成立问题 考点09实际应用 考点01直接法求最值 1．已知，且，则的（    ） A．最大值为-2 B．最大值为2 C．最小值为-2 D．最小值为2 【答案】A 【详解】由题意，，，且 ， 根据基本不等式，有： 当且仅当 时等号成立， 所以， 当且仅当 时等号成立，所以的最大值为； 由于 ，且 ，则 ，因此 的取值范围是 ， 当 时，，故没有最小值. 故选： A. 2．的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对任意的，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 3．已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 4．已知且，则的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．8 【答案】A 【详解】且， ， 当且仅当时取等． 故选：A． 5．下列各式中最小值等于2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A项，当时，得，则不合题意，故A项错误； 对于B项，，等号成立时，，但，故等号取不到， 故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，因为，所以，等号成立时，，故D项正确． 故选：D 6．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 考点02配凑法求最值 7．当时，的最小值是 ． 【答案】3 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值等于3． 故答案为： 8．已知，则的最小值为 ，此时 ． 【答案】 【详解】因，则，等号成立时， 故当时，有最小值. 故答案为：； 9．已知，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 10．若，则函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【详解】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 11．函数在上的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 12．已知实数，满足，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 考点03“1”的代换 13．已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值25． 故选：B. 14．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：A 15．已知，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】B 【详解】依题意，，故， 因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3. 故选：B. 16．若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．9 【答案】A 【详解】得，又，解得，故， 故， 其中 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 17．若，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．16 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当时，取最小值9. 故选：B. 18．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 考点04双换元法求最值 19．已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， ， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为1． （2），， ，，当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． （3）， ， ， ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 的最小值为． 20．若，且，则的最小值为 . 【答案】31 【详解】因为得， 所以 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 21．已知 且，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】因为， 所以， 化简得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为12. 故答案为：12. 22．已知，,若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 考点05条件等式有和有积求最值 23．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 24．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】由，，得， 又，即， 令，上式为，解得或（舍去）， ，即，当且仅当时，等号成立， 所以得最小值为1. 故选：A. 25．（多选）若正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：，令，则有， 整理得，解得或（舍去），即，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B：由A可知，故，故B正确； 对于C：由可得， 故， 当且仅当，即，时，等号成立，故C正确； 对于D：，令，则有，解得（舍去）或， 即，，当且仅当时，等号成立， 因此，故D正确. 故选：BCD. 26．已知实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 27．若正数，满足，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，有， 即 所以 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为； （2）当时，有，则， 因为， 所以， 即，解得或（舍）， 当，即时，等号成立， 所以， 所以的最小值为 考点06多次基本不等式求最值 28．已知，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 6 3 【详解】. 因为，所以， 故，当且仅当即时，两个不等式等号同时成立， 所以所求最小值为6，此时. 故答案为：. 29．已知，，且． (1)求的最小值； (2)是否存在实数，使得的值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以． 因为，当且仅当时取等号． 所以的最小值为． （2）因为，，又由（1）知， 所以， 当且仅当时取等号． 因为当且仅当时取等号时，， 所以 又，所以不存在实数，使得的值为． 30．且 (1)求证. (2)是否存在a，b使得？ 【答案】(1)见解析； (2)不存在． 【分析】 【详解】（1）由题，因为，，所以，解得，仅当时取得等号 所以， 仅当取得等号. （2） 仅当取得等号，又仅当取得等号， 所以，仅当取得等号，与题目条件矛盾 所以不存在a，b使得． 31．已知，，且，则的最小值为（    ）. A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当，即，，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 考点07消元法求最值 32．已知，若，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3， 故答案为：3. 33．已知，且，则的最小值是 ，此时 【答案】 5 【详解】解法一：因为，，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时等号成立，此时. 解法二：由，得，因为，所以， 故， 当且仅当，即，时等号成立，此时. 故答案为：；. 34．若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 35．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，当时，等式不成立， 所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 36．已知，且，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【详解】由，可得，时该等式不成立， 所以，又因为，所以， 所以，即，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 37．已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 考点08恒成立问题 38．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 39．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 40．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 41．已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 42．（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 43．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以，则， 因为， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值是4． 因为恒成立，所以，所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 44．若命题“存在正数a，b，使得”是假命题，则实数k的最大值为 . 【答案】/0.5 【详解】因为“存在正数a，b，使得”是假命题， 所以“对任意正数a，b，”为真命题， 即恒成立， 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 考点09实际应用 45．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 【答案】BD 【详解】解：小明上山和下山所用时间之和为，故A错误，B正确； 对于C，D，小刚上山和下山所用时间之和为，因为， 所以，， 所以， 所以小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少，故C错误，D正确． 故选：BD． 46．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时， ， 【答案】 10 8 【详解】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 47．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 48．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 【答案】(1)玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入 (2)该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和 【分析】 【详解】（1）设玩具的单价为元，则年销售量为万个， 令，解得， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以玩具的单价不少于2.5元且不超过元时，才使年销售总收入不低于原收入. （2）由题意可知：，且，可得， 原题意即为存在，有解， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以该玩具的年销售量至少达到5万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和. 49．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 50．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【答案】(1)9平方米. (2)当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 【分析】 【详解】（1），且， ， 即， 解得或（舍）， ，当且仅当时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米. （2）由题知， 总造价为 当即时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 基本不等式求最值9大题型 考点01直接法求最值 考点02配凑法求最值 考点03“1”的代换 考点04双换元法求最值 考点05条件等式有和有积求最值 考点06多次基本不等式求最值 考点07消元法求最值 考点08恒成立问题 考点09实际应用 考点01直接法求最值 1．已知，且，则的（    ） A．最大值为-2 B．最大值为2 C．最小值为-2 D．最小值为2 2．的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知且，则的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．8 5．下列各式中最小值等于2的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考点02配凑法求最值 7．当时，的最小值是 ． 8．已知，则的最小值为 ，此时 ． 9．已知，则的最小值为 . 10．若，则函数的最小值为 ，此时 . 11．函数在上的最大值为 ． 12．已知实数，满足，，则的最小值为 . 考点03“1”的代换 13．已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 14．已知，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 15．已知，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．9 16．若，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．9 17．若，，且，则的最小值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．16 18．已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 考点04双换元法求最值 19．已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值； (3)求的最小值． 20．若，且，则的最小值为 . 21．已知 且，则的最小值为 . 22．已知，,若，则的最小值为 . 考点05条件等式有和有积求最值 23．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 24．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．5 C． D． 25．（多选）若正实数满足，则（   ） A． B． C． D． 26．已知实数，满足，则的最大值为 ． 27．若正数，满足，. (1)当时，求的最小值； (2)当时，求的最小值. 考点06多次基本不等式求最值 28．已知，则的最小值为 ，此时 . 29．已知，，且． (1)求的最小值； (2)是否存在实数，使得的值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 30．且 (1)求证. (2)是否存在a，b使得？ 31．已知，，且，则的最小值为（    ）. A．22 B．23 C．24 D．25 考点07消元法求最值 32．已知，若，则的最小值为 ． 33．已知，且，则的最小值是 ，此时 34．若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 35．已知实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 36．已知，且，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．8 D．9 37．已知，且，则的最小值为 . 考点08恒成立问题 38．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 39．若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 40．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 41．已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（多选）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 43．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 44．若命题“存在正数a，b，使得”是假命题，则实数k的最大值为 . 考点09实际应用 45．（多选）位于山东省中部的泰山，为五岳之一，素有“五岳之首”“天下第一山”之称．小明和小刚相约登泰山，若小明上山的速率为，下山（原路返回）的速率为（），小刚上山和下山的速率都是，设上山路程为L，若两人途中休息时间忽略不计，则（    ） A．小明上山和下山所用时间之和为 B．小明上山和下山所用时间之和为 C．小明上山和下山所用时间之和比小刚上山和下山所用时间之和少 D．小刚上山和下山所用时间之和比小明上山和下山所用时间之和少 46．如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时， ， 47．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 48．某网店推出一款“光饼精灵”文创玩具，该玩具原来每个售价2.5元，年销售8万个． (1)据市场调查，该玩具的单价每提高0.1元，年销售量将相应减少2000个．如何定价才使年销售总收入不低于原收入？ (2)为提升产品吸引力，网店计划对该产品进行升级，并提高每个玩具的售价到元．与此同时，升级需要再投入万元作为技术支持和固定宣传费用．那么该玩具的年销售量至少达到多少万个时，才能使升级后的年销售收入不低于原收入与再投入之和？ 49．某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 50．某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米，背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计.设展房正面长为米，侧面长为米. (1)若满足，则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $