第二章一元二次函数、方程和不等式训练卷（基础版）-2026年暑假预习高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学人教A版第二章基础版训练卷，以“基础巩固-综合应用”为梯度，覆盖不等式性质、解法及应用，通过分层题型培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|单一知识点（不等式性质、解法）|单选1-6直接考查概念，填空12-13强化运算| |中档应用|知识交汇（基本不等式应用、参数问题）|多选9-11辨析易错点，解答16结合条件求最值| |综合提升|复杂情境（实际应用、证明推理）|解答17-19设置研发投入问题与证明，发展模型意识与推理能力|

高一数学人教A版第二章一元二次函数、方程和不等式训练卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质推理判断即可. 【详解】对于A，由，，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，得，而，则，C正确； 对于D，由，得，而，则，D错误. 故选：C. 2．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】整理可得，结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，列出符合题意的不等式组，求得不等式组的解集，即可得到答案. 【详解】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 4．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据“1”的变换，转化为，展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 5．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解. 【详解】由可得，显然，则有， 由，可得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为9. 故选：B. 6．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到不等式，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有实根， 所以，解得， 即的取值范围是. 故选：B 7．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：一元二次方程的两个根为， 因为，则， 所以不等式的解集是. 8．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知实数，，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对ACD选项由不等式的乘法、乘方性质可得，对B选项由不等式的加法性质可得. 【详解】对A选项，因为，由不等式的乘法性质得，得，即，故A正确； 对B选项，因为，由不等式的可加性得，故B正确； 对C选项，因为，所以，由不等式的乘方性质得，即，故C错误； 对D选项，因为，由不等式的乘法性质得，故D正确. 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 【答案】BD 【分析】根据题意，利用不等式的性质，作差比较法，以及基本不等式，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则，所以A不正确； 对于B，由 因为，可得，所以， 可得，所以，所以B正确； 对于C，若，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以C错误； 对于D，若且， 由，即，可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，所以D正确. 11．（25-26高一上·安徽宣城·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可判定A错误；令，可得判定B正确；把不等式转化为可得，可判定C正确；把不等式转化为，可判定D错误. 【详解】对于A，由不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A不正确； 对于B，由A知：是方程的两个实数根，可得，所以B正确； 对于C，由且，则不等式，即为， 可得，解得，所以不等式的解集为，所以C正确； 对于D，由且，不等式，即为， 可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 13．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 14．（25-26高二下·广东深圳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 16．（25-26高一上·甘肃·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 【答案】(1)64 (2)18 【分析】（1）由可得，进而利用基本不等式求解； （2）由，可得，进而利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】（1）因为，，由可得. 根据基本不等式有：. 因此，令（）， 则不等式变为，即，因式分解得. 因为，所以，即，进而. 当且仅当且时取等号，解得，. 所以的最小值为. （2）由，两边同时除以（，，故），得. 再根据基本不等式有：， 当且仅当且时取等号，解得，. 的最小值为. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期末）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)75人 (2)存在，7 【分析】（1）由题意列不等式，求解即可； （2）由技术人员的年人均投入始终不减少得，调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入得，综合得，根据的范围由不等式恒成立求得值. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元， 则， 解得， 又， 所以调整后的技术人员的人数最多75人; （2）假设存在实数满足条件. 由技术人员年人均投入不减少得, 解得. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 , 两边同除以得, 整理得, 故有, 因为, 当且仅当时等号成立, 所以, 又因为, 所以当时,取得最大值7, 所以, ，即存在这样的m满足条件，其值为7. 18．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由不等式（当且仅当时等号成立）及不等式性质可得； （2）直接根据充分必要条件的充分性和必要性分别证明即可. 【详解】证明：因为（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）.又实数均大于0， 所以，，，再由不等式性质得， ,当且仅当时等号成立. 所以(当且仅当时等号成立) （2）充分性：因为， 所以，代入方程，得，即. 所以方程有一个根为1. 必要性：因为方程有一个根为1，所以满足方程， 所以，即. 故关于的方程有一个根为1的充要条件是. 19．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 【答案】（1）①；②或；③或 （2）7 （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法求解； （2）根据均值定理求和的最小值； （3）含参一元二次不等式讨论的范围解不等式. 【详解】（1）①，所以， 则解得， 得到此不等式的解集为； ②，则， 得到的解为， 所以的解集为或； ③，则或， 所以或， 所以的解集为或． （2）因为，由题． 当且仅当，即时取等号； 所以的最小值为7． （3）原不等式可化为， 方程的两根为． 当时，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，不等式的解集为． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版第二章一元二次函数、方程和不等式训练卷（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南迪庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 5．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 6．（25-26高一上·西藏昌都·期中）关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·全国·专题练习）若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高二下·浙江丽水·期末）已知实数，，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·湖南衡阳·期末）已知，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则． B．设，，则． C．若，则的最小值为． D．若，则的最大值为2． 11．（25-26高一上·安徽宣城·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 13．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 14．（25-26高二下·广东深圳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 16．（25-26高一上·甘肃·阶段检测）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值. 17．（25-26高一上·浙江杭州·期末）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？ (2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 18．（25-26高一上·山西太原·阶段检测）（1）已知实数均大于0，证明：. （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 19．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）（1）求下列不等式的解集． ①；②；③ （2）若 ，求的最小值． （3）解关于 的不等式： 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $