2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----2.3二次函数与一元二次方程、不等式

**基本信息** 聚焦二次函数与不等式核心知识，通过基础巩固、综合应用、拔高拓展三层设计，实现从概念理解到实际建模的递进，适配新高一暑假预习成果检测需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|集合运算、解不等式|单选题1-2题考集合交集与简单不等式，夯实概念理解| |综合|恒成立、根的分布|多选题9-10题结合充分条件与解集分析，培养逻辑推理| |拔高|实际应用、参数讨论|解答题18-19题通过利润模型与含参不等式，发展数学建模与创新意识|

2026-2027学年新高一暑假预习成果检测----2.3二次函数与一元二次方程、不等式 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 3．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 5．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 6．设，若关于x的不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 7．不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．，不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．“不等式在上恒成立”的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 11．（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．不等式的解集是_______． 13．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是__________. 14．已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为__________. 四、解答题 15．解下列不等式： (1)； (2) (3) 16．已知，. (1)若，，有且只有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 18．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元． ①求出与之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？ 19．已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2027年新高一暑假预习成果检测----2.3二次函数与一元二次方程、不等式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B D B B B CD AD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】求出集合，利用交集的定义得解. 【详解】，或， ，. 故选：B. 2．B 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 3．C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 4．B 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 5．D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 6．B 【分析】根据题意整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，可得， 且，则，可得， 令，则， 可得， 因为，故，因此， 当且仅当，即，时，等号成立， 可得，所以实数k的最大值为9. 故选：B. 7．B 【分析】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【详解】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，AC选项错误， 对称轴为，D选项错误. 所以B选项正确. 故选：B 8．B 【分析】先由不等式恒成立可得，，再用基本不等式计算可得. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，的最小值为. 故选：B. 9．CD 【分析】利用不等式恒成立求出的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得， 选项中满足是集合真子集的是CD. 所以所求充分不必要条件是CD. 故选：CD 10．AD 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 11．BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 12．或， 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】因为，所以，即，即， 所以，解得或， 故原不等式的解集为或， 故答案为：或 13． 【分析】由题意，得不等式对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，得不等式对于恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14． 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 15．(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解. （3）化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分析命题，为真时的取值范围，由题意可得命题，为一真一假，由此分类讨论，求出实数的取值范围即可得到答案； （2）是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解不等式可得答案. 【详解】（1）对于，解得：， 当时，则， 若，，有且只有一个为真命题，则真假，或假真； 当真假时，即，无解； 当假真时，，解得：或， 综上，实数的取值范围为 （2）因为是的充分不必要条件，则是的真子集； 则或，解得：或， 综上，实数的取值范围为 17．(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 18．(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元 (2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大 【分析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，根据用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元， 所以 两边同乘得：， 解得：， 经检验：为该分式方程的解，且符合题意． 所以甲种灯笼元，乙种灯笼元； （2）①由题意， 故与的函数解析式为 ②由①知，函数开口向下 函数在对称轴处有最大值． 因为销售部门规定其销售单价不高于每对元 所以， 所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大． 19．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $