2.1 等式性质与不等式性质课时同步练习卷-2026年暑假预习高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“等式性质与不等式性质”为核心，通过基础辨析、情境应用到综合证明的三层设计，实现从概念理解到数学思维与语言表达的递进，适配暑假巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|不等式性质判断、简单应用|单选题1-5结合实际情境（如工厂加工），培养抽象能力与模型意识| |中档|取值范围、充分条件、命题辨析|多选题9-11及填空题12-14，强化推理能力与运算能力| |提升|综合证明、实际问题解决|解答题17-19（如货厢安排），发展应用意识与创新意识|

2.1 等式性质与不等式性质课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 10．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，有下列结论：①；②；③.其中正确的是______.（填序号） 13．（25-26高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围为_____. 14．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知实数x，y满足，则的取值范围是_____． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 17．（25-26高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 18．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 19．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 等式性质与不等式性质课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果. 【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 2．（2026高二下·福建·学业考试）已知，则不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 3．（2026·青海西宁·二模）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质以及特殊值求解. 【详解】选项A： 因为，，所以，错误. 选项B：. ，取，则，错误. 选项C： . 因为，，故，即，C正确. 选项D：取，满足，则左边，右边，，D错误. 4．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 5．（25-26高二下·上海奉贤·期末）以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 6．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 7．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知，使成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，由不等式的性质，可得成立，即充分性成立； 反之：若，则成立，即必要性成立， 所以是的充要条件，所以A不符合题意； 对于B，若，当时，可得；当时，可得，即充分性不成立； 反之：若，当时，可得；当时，可得，即必要性不成立； 所以是的既不充分也不必要条件，所以B不符合题意； 对于C，例如：当时，满足，此时，所以C不符合题意； 对于D，若，则，所以，可得，所以充分性成立； 反之：若，当时，可得，即必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，所以D符合题意. 8．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物吨，乙种货物吨．现计划用、两种型号的货箱共节运送这批货物．已知吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，吨甲种货物和吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列哪些方案满足（    ） A．货箱节，货箱节 B．货箱节，货箱节 C．货箱节，货箱节 D．货箱节，货箱节 【答案】ABD 【分析】设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：设安排种型号的车厢节，种型号的车厢节， 则，则，解得， ，解得，所以，， 则或或，共种方案． 故选：ABD． 10．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. 11．（25-26高一上·湖南娄底·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】利用不等式的性质可判断AB，利用赋值法可判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，所以，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，可得， 此时，故D错误. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，有下列结论：①；②；③.其中正确的是______.（填序号） 【答案】①③ 【分析】根据不等式的性质合理推导可判断①③；举反例可判断②. 【详解】若，则，所以，所以，①正确； 取，满足，但，所以②错误； 因为，所以，且，所以，③正确. 故答案为：①③ 13．（25-26高一上·河南·期中）已知，，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，将目标式表示为，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】依题意，，由，得， 由，得，两式相加得：， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知实数x，y满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由不等式的性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·福建漳州·期中）已知、、. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】根据不等式的性质，可得答案. 【详解】（1）∵，且、，∴，∴ （2）∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵、，∴，由（1）知， ∴，∴. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 17．（25-26高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 18．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 19．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）（1）若，，，试证：； （2）设、均为正实数，试比较和的大小； （3）实数，满足，，求的取值范围； 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）根据不等式性质判断即可得证； （2）根据作差法进行比较，先对代数式作差得出；再分类讨论即可得出结果. （3）求出，再利用不等式的性质得解. 【详解】（1）因为，， 所以，即，所以， 因为，所以； （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时． 综上可得：当时，； 当时，； 当时，； （3）设， 所以， 所以. 由， 由， 所以，即． 2 / 9 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $