第三周 第2天 等式性质与不等式性质 暑假自学配套同步分层练习-2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（第三周第2天，等式性质与不等式性质），以青铜局、黄金局、王者局三级分层设计，通过基础巩固、能力提升到挑战拓展的路径，覆盖不等式性质从概念辨析到综合应用，适配暑假预习需求，培养数学抽象、推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|不等式性质基础辨析与简单应用|以选择填空为主，如命题真假判断（第10题），夯实概念理解| |黄金局|性质综合应用与推理证明|含多选与证明题（第14题），如多变量范围求解，培养推理能力| |王者局|跨知识综合与复杂问题解决|侧重开放探究（第16题），如二次函数参数范围，发展创新意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 2天 等式性质与不等式性质 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A.若a>b，c>d，则a+b>c+d B.若a>-b，则c-a<c+b C.若a>b，c<d，则 D.若a3>b3，则-a>-b 2.如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A. B. C.a2<b2 D.|a|>|b| 3.若-1<α<β<1，则α-β的取值范围为(　　) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.0<α-β<1 4.已知a+b>0，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是(　　) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 5.(多选)若m≥1，则下列选项中正确的是(　　) A.1-m≤0 B.m3≥1 C.m2≤m D.>0 6.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 7.若a，b都是实数，则“>0”是“a2-b2>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(5分)设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　　　. 9.(5分)若-2≤x≤1，0≤y≤1，则xy的取值范围为　　　　. 10.(10分)判断下列命题的真假，并说明理由. (1)若则ad>bc；(3分) (2)若a<b<0，则；(3分) (3)设a，b为正实数，若a-<b-则a<b.(4分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 12.(多选)已知-5≤a-b≤4，2≤2a+b≤8，则(　　) A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24 13.(5分)某高校在9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例　　　　　　(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 　　　　　　　　　　　　　　　　. 14.(11分)(1)设0<x<1，0<y<1，求证：x(1-y)+y(1-x)<1；(5分) (2)设0<x<1，0<y<1，0<z<1，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.(6分) 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知a<b<c且a+2b+3c=0，则的取值范围是　　　　　　　. 16.(12分)已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当x=-1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x=1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4， 求当x=-2时，y的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第三周 第 2天 等式性质与不等式性质 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A.若a>b，c>d，则a+b>c+d B.若a>-b，则c-a<c+b C.若a>b，c<d，则 D.若a3>b3，则-a>-b 答案　B 解析　选项A，取a=1，b=0，c=2，d=1， 则a+b<c+d，A不成立； 选项B，因为a>-b，所以-a<b， 所以c-a<c+b，则B成立； 选项C，当a>b>0，c<0<d时，C不成立； 选项D，当a=1，b=0时，D不成立. 2.如果a<0，b>0，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A. B. C.a2<b2 D.|a|>|b| 答案　A 解析　∵a<0，b>0， ∴<0>0，∴. 3.若-1<α<β<1，则α-β的取值范围为(　　) A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 C.-1<α-β<0 D.0<α-β<1 答案　A 解析　因为-1<α<β<1， 所以所以-2<α-β<0. 4.已知a+b>0，b<0，那么a，b，-a，-b的大小关系是(　　) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 答案　C 解析　∵a+b>0，b<0， ∴a>-b>0，0>b>-a， ∴a>-b>b>-a. 5.(多选)若m≥1，则下列选项中正确的是(　　) A.1-m≤0 B.m3≥1 C.m2≤m D.>0 答案　AB 解析　因为m≥1，所以-m≤-1，1-m≤0， 故A正确； 由不等式的性质可得m3≥1，故B正确； 当m=2时，m2>m，故C错误； 当m=1时=0，故D错误. 6.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 答案　B 解析　方法一　∵x<a<0，∴x2>a2. ∵x2-ax=x(x-a)>0，∴x2>ax. 又ax-a2=a(x-a)>0，∴ax>a2. ∴x2>ax>a2. 方法二　∵x<a<0， ∴x·x>a·x>0，a·x>a·a>0， ∴x2>ax>a2. 7.若a，b都是实数，则“>0”是“a2-b2>0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵>0，∴≥0， ∴()2>()2≥0，∴a>b≥0，∴a2-b2>0， ∴“>0”是“a2-b2>0”的充分条件， 又∵a2-b2>0，不妨取a=-2，b=1， 无法推出>0，故A正确. 8.(5分)设a，b，c是任意实数，能够说明“若c<b<a且ac<0，则ab<ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为　　　　. 答案　1，0，-1(答案不唯一) 解析　若c<b<a且ac<0， 则a>0，c<0， 则取a=1，b=0，c=-1， 则满足条件ac<0，但ab<ac不成立. 9.(5分)若-2≤x≤1，0≤y≤1，则xy的取值范围为　　　　. 答案　-2≤xy≤1 解析　当0<x≤1，0<y≤1时，0<xy≤1； 当-2≤x<0，0<y≤1时，0<-x≤2，所以0<-xy≤2，即-2≤xy<0； 当x=0或y=0时，xy=0， 综上所述，-2≤xy≤1. 10.(10分)判断下列命题的真假，并说明理由. (1)若则ad>bc；(3分) (2)若a<b<0，则；(3分) (3)设a，b为正实数，若a-<b-则a<b.(4分) 解　(1)因为所以>0，即>0， 所以 即ad>bc且cd>0，或ad<bc且cd<0，故(1)为假命题. (2)由a<b<0得a<a-b<0，所以故(2)为真命题. (3)因为a-<b-且a>0，b>0，所以a2b-b<ab2-a⇒a2b-ab2-b+a<0⇒ab(a-b)+(a-b)<0⇒(a-b)(ab+1)<0，所以a-b<0，即a<b，故(3)为真命题. 黄金局 提能力·融会贯通 11.已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 答案　C 解析　因为x>y>z，x+y+z=0， 所以3x>x+y+z=0，3z<x+y+z=0， 所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz. 12.(多选)已知-5≤a-b≤4，2≤2a+b≤8，则(　　) A.-1≤a≤4 B.0≤b≤4 C.-28≤2a-5b≤14 D.ab的最大值为24 答案　AC 解析　由题意可得-3≤3a≤12，即-1≤a≤4，故A正确； 由-5≤a-b≤4，可得-8≤2b-2a≤10，又2≤2a+b≤8，则-6≤3b≤18，即-2≤b≤6，故B错误； 设2a-5b=x(a-b)+y(2a+b)， 则解得 因为-20≤4(a-b)≤16，-8≤-(2a+b)≤-2，所以-28≤2a-5b≤14，故C正确； 由-1≤a≤4，以及-2≤b≤6，若ab的最大值为24，则a=4，b=6，此时2a+b=14>8，故D错误. 13.(5分)某高校在9月初共有m名在校学生，其中有n(m>n)名大一新生，在9月底，又补录了b名学生，则新生占学生的比例　　　　　　(选填“变大”“变小”或“不变”)，其理论论据用数学形式表达为 　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案　变大　若m>n>0，b>0，则 解析　由题意补录了b名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大. 由于补录后新生人数变为n+b，在校生人数增加为m+b， 故所对应的不等式模型是 即若m>n>0，b>0，则. 14.(11分)(1)设0<x<1，0<y<1，求证：x(1-y)+y(1-x)<1；(5分) (2)设0<x<1，0<y<1，0<z<1，求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.(6分) 证明　(1)方法一　∵0<x<1，0<y<1，∴0<xy<1，0<1-y<1， ∴0<x(1-y)<1-y， ∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1. 方法二　∵0<x<1，0<y<1， ∴0<xy<1，0<1-x<1，0<1-y<1， ∴0<x(1-y)<1-y，0<y(1-x)<y， ∴x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1. 方法三　∵x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1， ∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y)， ∵0<x<1，0<y<1， ∴0<xy<1，0<1-x<1，0<1-y<1，0<(1-x)(1-y)<1， ∴x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y)<1， 即x(1-y)+y(1-x)<1. (2)方法一　∵x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)+xyz+(1-x)(1-y)(1-z)=1， ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)， ∵0<x<1，0<y<1，0<z<1， ∴0<xyz<1，0<1-x<1，0<1-y<1，0<1-z<1，0<(1-x)(1-y)(1-z)<1， ∴1-xyz-(1-x)(1-y)(1-z)<1， ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 方法二　∵0<x<1，0<y<1，0<z<1， ∴0<1-x<1，0<1-y<1，0<1-z<1， ∵x(1-y)=x(1-y)(1-z)+xz(1-y)， y(1-z)=y(1-z)(1-x)+yx(1-z)， z(1-x)=z(1-x)(1-y)+zy(1-x)， ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) =x(1-y)(1-z)+xz(1-y)+yx(1-z)+y(1-z)(1-x)+z(1-x)(1-y)+zy(1-x) =x[(1-y)(1-z)+z(1-y)+y(1-z)]+(1-x)[y(1-z)+z(1-y)+zy] =x[1-y+y(1-z)]+(1-x)[y+z(1-y)]<x(1-y+y)+(1-x)[y+(1-y)]=x+1-x=1， ∴x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知a<b<c且a+2b+3c=0，则的取值范围是　　　　　　　. 答案　-<1 解析　因为a<b<c，a+2b+3c=0， 则c=-且6a<a+2b+3c<6c， 即6a<0<6c，所以a<0，c>0， 由b<c得b<- 则5b<-a，即>-1，即>- 又a<b，则<1， 因此的取值范围是-<1. 16.(12分)已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件： (1)该函数图象过原点； (2)当x=-1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2； (3)当x=1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4， 求当x=-2时，y的取值范围. 解　∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点，∴c=0，∴y=ax2+bx. 又∵当x=-1时，1≤a-b≤2. ① 当x=1时，3≤a+b≤4， ② ∴当x=-2时，y=4a-2b. 设存在实数m，n， 使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b)， 而4a-2b=(m+n)a+(m-n)b， ∴ 解得 ∴4a-2b=(a+b)+3(a-b). 由①②可知3≤a+b≤4，3≤3(a-b)≤6， ∴3+3≤4a-2b≤4+6. 即6≤4a-2b≤10， 故当x=-2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $