2.2 基本不等式课时同步练习卷-2026年暑假预习高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础应用到综合拓展，强化基本不等式的运算推理与实际建模，适配不同认知水平学生的巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一条件下的最值计算|直接应用公式，如单选1-4题、填空12-13题，夯实概念理解| |综合层|多变量条件与恒成立问题|结合参数讨论，如单选5-8题、多选9-11题，提升推理能力| |拓展层|实际问题建模与证明|融入生活情境（如奥体中心建造），如解答题18题，发展应用意识与创新思维|

2.2 基本不等式课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，求得，进而得到答案. 【详解】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知得，代入目标式并应用基本不等式求最小值即可. 【详解】由，则，，，故， 所以， 当且仅当，此时取等号. 5．（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 6．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【详解】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 7．（25-26高一上·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 【答案】C 【分析】由题意求出的表达式，利用基本不等式求出取得最大值时，进而代入，结合二次函数性质求解即可. 【详解】由条件正实数，，满足， 可得，所以， 当，即时，等号成立，此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值9，所以的最大值为9， 故选：C. 8．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·广西来宾·开学考试）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】应用基本不等式求A、C、D中目标式的最值，由“1”的代换及基本不等式求C中目标式的最值，注意取值条件即可. 【详解】对于A，当时，则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，函数的最大值为，错误. 对于B，因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确. 对于C，若均为正数，且， 由基本不等式得，得，即，得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确. 对于D，若均为正数，且，则，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确. 故选：BCD 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】由题得，利用换元法结合基本不等式即可判断ACD，利用二次函数即可判断B. 【详解】由，可得， 对于A，令，，则，且，可得， 则， 当且仅当，即，，即，时，等号成立，所以A错误； 对于B，由，可得，则， 当且仅当时，取得最小值，所以B正确； 对于C，由，当且仅当时， 即，，即，时，等号成立，所以C正确； 对于D，由，可得，当且仅当时， 即，时，等号成立，所以的最小值为，所以D错误． 11．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列各说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．的最小值为2 C．的解集是 D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【分析】根据充要条件的定义判断A，根据对勾函数的性质判断B，解一元二次不等式判断C、D. 【详解】对于A：，均表示同正同负， “”是“”的充要条件，故A正确； 对于B：设，则，令，， 因为在上单调递增， 故函数最小值为，所以的最小值为，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：对于不等式，因为， 所以的解集是，故C正确； 对于D：不等式，即，解得或， 所以不等式的解集是或，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·黑龙江双鸭山·阶段检测）已知，且，则的最小值是_________ 【答案】 【分析】将条件等式化成，利用常值代换法和基本不等式即可求得所求式的最小值. 【详解】由可得，，因, 则 ，当且仅当时等式成立， 即时，的最小值是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】对已知等式进行变形，得到，将其代入，化简得到，最后利用基本不等式求出最小值，并验证等号成立条件即可. 【详解】因为，，且， 所以，则， 整理得， 又，，所以， 所以. 因此， 当且仅当，即时取等号. 此时，满足题意. 故答案为： 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. （3）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）由，，且，可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值. （3）解：由，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以在时的最小值为. 16．（25-26高二上·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）16；（3） 【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【详解】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或，所以. 17．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)， (3) 【分析】（1）将代入解析式直接计算即可求解； （2）设地面长为，则，从而有，然后利用基本不等式求解最小值即可； （3）由题意时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 所以，解得， 所以的值为18. （2）设地面长为，， 所以墙面面积为， 所以， 因为，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 19．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三上·安徽马鞍山·阶段检测）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知，，且，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 5．（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆渝中·期中）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．1 B． C．9 D．4 8．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·广西来宾·开学考试）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 10．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为 C．的最小值为14 D．的最小值为 11．（25-26高一上·江苏淮安·期中）下列各说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．的最小值为2 C．的解集是 D．不等式的解集是或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高二下·黑龙江双鸭山·阶段检测）已知，且，则的最小值是_________ 13．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，且，则的最小值为________. 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知，则的最大值为___________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，，且，求的最小值； (3)求在时的最小值. 16．（25-26高二上·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 17．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 19．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $