精品解析：河南驻马店市上蔡县2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

七年级期末试卷 数学 注意事项：本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若、、为有理数，则下列推理错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，于是沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 7. 若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： 甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（　　） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 10. 如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个解为5，且未知数的系数为2的一元一次方程________． 12. 已知一个等腰三角形的两边长，满足方程组 则此等腰三角形的周长为________． 13. 如图，已知，若点，，在同一条直线上，且，，则的度数为___________． 14. 在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________． 15. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程组： 17. 解决下列问题： （1）下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式． 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是__________________________________________________； ②以上求解过程中，从第________步开始出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：__________； 任务三：请你根据平时学习经验，就在解不等式时需要注意的事项给其他同学提两条建议； __________________________________________________________________________________________ （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 18. 下图均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，只使用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图1中，将平移，使点B与点D重合，点A的对应点为，点C的对应点为，画出． （2）在图2中，画出，使与关于点D成中心对称（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）． （3）在图3中，画出将绕点D按顺时针方向旋转90°得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）． 19. 如图，在中，是高，，． （1）画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求的度数． 20. 综合与实践 问题背景 2025年临汾市全民健身10000米挑战赛，将在3月到11月期间举办春、夏、秋、冬四个赛季，赛事吸引了广大马拉松爱好者．活动期间，丫丫所在班级开展了相关知识竞赛，需要在网上购买手办和奖牌作为奖品． 素材1 网上在没有促销活动时，买2个手办和3个奖牌，共需45元；买1个手办和1个奖牌，共需20元． 素材2 网上促销活动信息如下：方式一：非会员所有商品打9折．方式二：购买50元会员卡后，所有商品打7折． 问题解决 问题1 根据素材1，网上在没有促销活动时，手办和奖牌的销售单价各是多少元？ 问题2 丫丫和李老师计划在促销期间购买手办和奖牌共30个，其中手办个． 若按方式一购买，共需要___________元； 若按方式二购买，共需要___________元． （均用含的代数式表示，结果化到最简） 问题3 在问题2的条件下，当购买手办的数量在什么范围内时，选择方式一购买更合算？请你帮他们算一算． 21. 若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． （1）方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． （2）如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 22. 综合与实践． 问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用．例如图在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果．为了更多地了解平面密铺，七（2）班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题． 问题一： （1） “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是为”，其中体现的数学思想主要是______； A．整体思想 B．转化思想 C．方程思想 D．类比思想 （2）填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 ______ ______ ______ 问题二 （3）给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是______；（填序号） （4）用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是______； A．内角都是整十数度数 B．边数都是的整数倍 C．内角整除 D．内角整除 问题三 （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正三角形个正六边形，请探究之间满足的关系式，并说明理由； （6）图是图中的一个基本图形，若，，则______． 23. 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点C不与，重合） （1）______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是"和谐三角形"． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，过点作交于点，使，在上取点F，连结，使，，若是“和谐三角形”，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级期末试卷 数学 注意事项：本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 若、、为有理数，则下列推理错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：∵若，等式两边同时减，等式仍然成立，可得， ∴A正确，不符合题意； ∵若，等式两边同时乘，等式仍然成立，可得， ∴B正确，不符合题意； 当时，和分母为，无意义，该推理未限定， ∴C推理错误，符合题意； ∵为有理数，， ∴， 若，等式两边同时除以不为的，等式仍然成立，可得， ∴D正确，不符合题意． 3. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意； B、，未知数系数为正数，不符合题意； C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意； D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 4. 已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 5. 如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 6. 如图，在中，，于是沿射线方向平移4个单位至处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是利用平移前后图形面积相等，将阴影部分面积转化为梯形面积求解． 根据平移性质，与面积相等，故阴影部分面积等于梯形的面积；由已知条件求出梯形的上底、下底和高，再代入梯形面积公式计算． 【详解】解：由平移的性质可知，， ，，， ． ，， ， 又， ． 故选：． 7. 若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组得到其解集，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推导m的取值范围即可． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的整数解共有3个， ∴整数解为1、0、， ∴； 故选C 8. 在等式中，当时，；当时，；当时，；求a，b，c的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵等式中，当时，；当时，；当时，； ∴， 解得：． 9. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竿．每人五竿多十二，每人八竿少三竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和多少竹竿．每人5竿，多12竿；每人8竿，少3竿”．甲、乙两位同学分别给出自己的理解和做法： 甲：设牧童人数为人，根据题意可列方程； 乙：设竹竿数为竿，根据题意可列方程 则下列判断正确的是（　　） A. 甲正确，乙正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲错误，乙错误 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系是解题的关键．分别根据人数或竹竿数作为未知数，建立方程并判断是否正确． 【分析】甲：设牧童人数为人， 根据竹竿总数相等，每人5竿多12竿时总数为，每人8竿少3竿时总数为， 故方程为，正确． 乙：设竹竿数为竿， 根据人数相等，每人5竿多12竿时人数为，每人8竿少3竿时人数为， 故方程为，正确． 综上，甲、乙均正确． 故选：A． 10. 如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个解为5，且未知数的系数为2的一元一次方程________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据要求构造方程即可. 【详解】解：由题意，可构造方程为（答案不唯一）. 12. 已知一个等腰三角形的两边长，满足方程组 则此等腰三角形的周长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系解答即可． 【详解】解：解方程组， 解得：， 所以等腰三角形的两边长为2，1， 若腰长为1，底边长为2，由1＋1＝2知，这样的三角形不存在， 若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5， 所以这个等腰三角形的周长为5． 故答案为5． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，三角形三边关系，等腰三角形的性质有关知识． 13. 如图，已知，若点，，在同一条直线上，且，，则的度数为___________． 【答案】110 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 先利用全等三角形性质，得出、等信息，由判定为等腰直角三角形，求出，最后依据三角形内角和，算出． 【详解】∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中， ． 故答案为：110． 14. 在实数范围内规定新运算“”，其规则是．已知不等式的解集在数轴上如图表示，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：根据图示知，已知不等式的解集是． ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为____． 【答案】20°或60°． 【解析】 【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可． 【详解】如图所示，当∠BFD=90°时， ∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°， ∴∠BAD=30°， ∴Rt△ADF中，∠ADF=60°； 如图，当∠BDF=90°时， 同理可得∠BAD=30°． ∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°， ∴∠BFD=∠BCE=50°， ∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°， 综上所述：∠ADF的度数为20°或60°． 故答案为：20°或60°． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原方程组整理可得， 得， 解得， 把代入①可得， 解得， 所以二元一次方程组的解为． 17. 解决下列问题： （1）下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式． 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是__________________________________________________； ②以上求解过程中，从第________步开始出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：__________； 任务三：请你根据平时学习经验，就在解不等式时需要注意的事项给其他同学提两条建议； __________________________________________________________________________________________ （2）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的非正整数解． 【答案】（1）①不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向；②一；任务二：；任务三：1、去分母时，常数项也需要乘以公分母；2、不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向（答案不唯一） （2）；； 【解析】 【分析】（1）任务一：①根据不等式的性质即可得出答案； ②根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出两条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【小问1详解】 解：①以上求解过程中，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向； ②以上求解过程中，从第一步开始出现错误； 任务二： ； 任务三：1、去分母时，常数项也需要乘以公分母； 2、不等式两边同时乘或除以一个负数，不等号改变方向（答案不唯一）； 【小问2详解】 解： 解①得； 解②得； 所以不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略； 它的非正整数解为． 18. 下图均为5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点D均在格点上，只使用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图1中，将平移，使点B与点D重合，点A的对应点为，点C的对应点为，画出． （2）在图2中，画出，使与关于点D成中心对称（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）． （3）在图3中，画出将绕点D按顺时针方向旋转90°得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查图形的变换．熟练掌握平移的性质，成中心对称的性质，旋转的性质是解题的关键． （1）根据平移规则，画出即可； （2）根据成中心对称的性质，画出即可； （3）根据旋转的性质，画出即可． 【小问1详解】 解：作图如图 【小问2详解】 作图如图 【小问3详解】 作图如图 19. 如图，在中，是高，，． （1）画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形． （1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可； （2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论． 【小问1详解】 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 ∵，， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高 ∴ ∴． 20. 综合与实践 问题背景 2025年临汾市全民健身10000米挑战赛，将在3月到11月期间举办春、夏、秋、冬四个赛季，赛事吸引了广大马拉松爱好者．活动期间，丫丫所在班级开展了相关知识竞赛，需要在网上购买手办和奖牌作为奖品． 素材1 网上在没有促销活动时，买2个手办和3个奖牌，共需45元；买1个手办和1个奖牌，共需20元． 素材2 网上促销活动信息如下：方式一：非会员所有商品打9折．方式二：购买50元会员卡后，所有商品打7折． 问题解决 问题1 根据素材1，网上在没有促销活动时，手办和奖牌的销售单价各是多少元？ 问题2 丫丫和李老师计划在促销期间购买手办和奖牌共30个，其中手办个． 若按方式一购买，共需要___________元； 若按方式二购买，共需要___________元． （均用含的代数式表示，结果化到最简） 问题3 在问题2的条件下，当购买手办的数量在什么范围内时，选择方式一购买更合算？请你帮他们算一算． 【答案】问题1：手办和奖牌的销售单价分别为15元，5元； 问题2：，； 问题3：当时，选择方式一购买更合算． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的应用． 问题1：设手办和奖牌的销售单价分别为元，元，根据题意列方程组计算即可； 问题2：由题意可知购买奖牌个，则共花费元，根据两种折扣方式分别计算即可； 问题3：根据题意列不等式计算即可． 【详解】问题1：解：设手办和奖牌的销售单价分别为元，元，根据题意，得 ． 解得， 答：手办和奖牌的销售单价分别为15元，5元； 问题2：解：∵丫丫和李老师计划在促销期间购买手办和奖牌共30个，其中手办个， ∴购买奖牌个， ∴共花费元， ∴若按方式一购买，共需要元； 若按方式二购买，共需要元． 故答案为：，； 问题3：解：由题意得，． 解得，． ∴． 答：当时，选择方式一购买更合算． 21. 若两个一元一次方程的解相差3，则称解较大的方程为另一个方程的“滑行方程”．例如：方程是方程的“滑行方程”． （1）方程是否是方程的“滑行方程”？请说明理由． （2）如果关于的方程是方程的“滑行方程”，求的值． 【答案】（1）方程是方程的“滑行方程”，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，理解“滑行方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两方程的解，然后根据“滑行方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据“滑行方程”的定义确定关于的方程的解，然后代入求a即可． 【小问1详解】 解：方程是方程的“滑行方程”， 理由如下： 解方程得：； 解方程得：； ∵， ∴方程是方程的“滑行方程”； 【小问2详解】 解：解方程得：， ∵关于的方程是方程的“滑行方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得：． 22. 综合与实践． 问题背景：平面密铺不仅在数学题目中常见，它在实际生活中也有着广泛的应用．例如图在建筑装饰中，常常可以看到用不同形状和颜色的地砖进行拼接，以达到美观和实用的效果．为了更多地了解平面密铺，七（2）班的同学们就多边形的平面密铺进行了一系列的研究，并提出了一些问题． 问题一： （1） “对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，得到其内角和是为”，其中体现的数学思想主要是______； A．整体思想 B．转化思想 C．方程思想 D．类比思想 （2）填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 ______ ______ ______ 问题二 （3）给出下列正多边形：①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正八边形；用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是______；（填序号） （4）用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是______； A．内角都是整十数度数 B．边数都是的整数倍 C．内角整除 D．内角整除 问题三 （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有个正三角形个正六边形，请探究之间满足的关系式，并说明理由； （6）图是图中的一个基本图形，若，，则______． 【答案】（1）B； （2）见解析； （3）①③； （4）C； （5），理由见解析 （6）． 【解析】 【分析】（1）根据题意将多边形的内角和转化为三角形的内角和解决问题，体现的是转化思想，据此即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论； （3）求出对应多边形的每个内角的度数，再根据平面镶嵌的定义解答即可； （4）根据平面密铺的特点求解； （5）根据平面密铺的特点求解； （6）根据五边形的内角和列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵对于正边形，从一个顶点出发作对角线，它们将边形分成个三角形，且每个三角形的内角和为， ∴这个三角形的内角的总和为， ∴这个n边形的内角和为，这体现的数学思想主要是转化思想； 【小问2详解】 解：正五边形的内角和为， ∴正五边形的每个内角的度数为； 正六边形的内角和为， ∴正六边形的每个内角的度数为； 正n边形的内角和为， ∴正n边形的每个内角的度数为； 填表如下： 填表： 正多边形的边数 正多边形每个内角的度数 【小问3详解】解：由（2）可知，正三角形的每个内角的度数为，正五边形的每个内角的度数为，正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为， ∵，，，， ∴用上述正多边形中的一种能够铺满地面的是正三角形和正六边形； 【小问4详解】 解：由题意得，用同一种正多边形能进行平面密铺的条件是内角整除； 【小问5详解】 解：理由如下： 由题意得 即 【小问6详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴， ∴． 23. 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点C不与，重合） （1）______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”； （2）若，试说明：是"和谐三角形"． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，过点作交于点，使，在上取点F，连结，使，，若是“和谐三角形”，请求出的度数． 【答案】（1）不是；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（）根据，得到，求得，得到不是“和谐三角形”； （）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据是“和谐三角形”，即可求解； 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∵中不存在一个角是另外一个角的4倍， ∴不是“和谐三角形”； （）∵是的一个外角， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴是“和谐三角形”； （）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是“和谐三角形”， ∴或， 当时，， 解得：； 当时， 解得：； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的判定与性质，理解“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $