第17讲 用一次函数解决问题13大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第17讲 用一次函数解决问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 分配方案问题 题型2 最大利润问题 题型3 行程问题 题型4 梯度计价问题 题型5 分段函数问题 题型6 其他问题 题型7 一次函数中的旋转问题（45°） 题型8 一次函数中的最值问题 题型9 一次函数中的翻折问题 题型10 一次函数中的存在性问题 题型11 一次函数与几何图形的边界问题 题型12 一次函数与线段交点问题 题型13 一次函数的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数的实际应用 1. 能从生活实际情境中提取关键信息，建立一次函数数学模型 2. 熟练运用一次函数解析式规范解答各类实际应用问题 3. 借助一次函数图象分析问题，精准获取有效解题数据信息 4. 熟练掌握一次函数应用题解题步骤与科学规范解题思路 5. 体会数学函数建模思想，全面提升解决实际问题的能力 学习重点：准确找准实际问题中的变量对应关系，建立一次函数模型并正确求解。 学习难点：结合具体实际情境确定自变量取值范围，结合结果分析实际数学意义。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数的应用 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 即时即练 1．某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 2．某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 3．已知甲、乙、丙地在同一条直线上，且丙地在甲、乙两地之间，客车由甲地驶向丙地，货车由乙地经过丙地去甲地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的．设货车行驶的时间为小时，客车离丙地的距离为千米，货车离丙地的距离为千米．图中线段表示与之间的函数关系，折线表示与之间的函数关系． (1)货车的速度为　　　；甲、乙两地间的距离为　　　． (2)求与的函数表达式． (3)线段与线段相交于点，直接写出点的坐标并解释点的实际意义． 知识点02 一次函数图象的应用 一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 即时即练 4．如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 5．如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型1 分配方案问题 1．为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． (1)请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； (2)某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 2．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 3．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 4．某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 题型2 最大利润问题 5．某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． (1)从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； (2)在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 6．为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元． (1)求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用． 7．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 8．蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示： 价格品种 品种 品种 进价（元盒） 标价（元盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 题型3 行程问题 9．小丽和小明两人从甲地出发，沿同一路线匀速慢跑前往乙地．小明在小丽后出发，慢跑1200米时遇到小丽，小明开始休息，休息了8分钟，再按原速继续慢跑，最后两人同时到达乙地．两人离开甲地的路程y（米）与小丽慢跑的时间x（分）的函数关系如图所示． (1)小丽慢跑的速度为 米/分，C点的坐标为（ ，1200）； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)小明比小丽晚出发 分钟． 10．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A地路程s（米）之间的函数图象． (1)a＝ ，乐乐去A地的速度为 米/分钟； (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式； (3)请直接写出乐乐从A返回后，到达C地之前，两人距B地的距离相等时t的值 ． 11．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； (2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 12．甲骑摩托车从地匀速驶往地，乙开汽车沿同一条公路从地匀速驶往地，两人同时出发（摩托车的速度小于汽车的速度），各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)、两地之间的路程为_____千米，摩托车的速度是_____千米/小时，点的坐标为_____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)请直接写出甲行驶_____小时，两人相距180千米． 题型4 梯度计价问题 13．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 14．为了保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计居民用水实行“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 2.5元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ (1)A户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为元．求户居民本月用水量． 15．某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥9月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ (2)设某外卖小哥10月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． (3)若某外卖小哥11月份的工资总额为5650元，那么他11月份外卖送餐多少单？ 16．如图，某社区设立了一台便民自助打印机，已知每张纸的打印售价为0.5元，为吸引顾客，该社区打印店推出两种优惠方案： 方案一：顾客需先支付15元的办卡费，打印的纸按原价的4折收费． 方案二：顾客不需要支付办卡费，打印的纸数量在20张以内（包含20张）时按原价收费，超过20张后，超过部分按原价的5折收费． 设某顾客打印纸的数量为x张，按方案一所需总费用为元，按方案二所需总费用为元． (1)当打印纸的数量超过20张时，分别求出和关于x的函数表达式． (2)当打印多少张纸时，两种方案的总费用相同？ (3)直接写出当x在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更合算． 题型5 分段函数问题 17．某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)甲的工作效率是______件；图中的值为______； (2)求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； (3)当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 18．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为，货车的路程为，小轿车的路程为，图中的线段与折线分别表示、与x之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距________km，________； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 19．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校，李华从学校出发，匀速骑行到达书店：在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆：在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校：回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学校的时间 1 4 离开学校的距离 2 (2)填空： 李华在陈列馆参观学习的时间为________h； 李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为_________； (3)解答： 求返校途中减速后的函数表达式； 当李华离学校的距离为时，求他离学校多长时间． 20．综合与实践 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点D运动，连接，设点P的运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，的长为______，的长为______． (2)当点P不与点A，D重合时，设的面积为y，求出y与t之间的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (3)当时，直接写出t的值． 题型6 其他问题 21．春假期间，小明一家外出旅游．妈妈为小明准备了A、B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如表． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ (2)根据青少年健康饮食要求午餐的蛋白质摄入量不低于，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 22．绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 23．综合与实践：杆秤中的数学 背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？ 素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．    素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．    素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格． 小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示： 25 50 75 100 3 4 (1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________； (2)求y关于x的函数表达式； (3)求此杆秤的每小格的长度． 24．如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． (1)点B的坐标的实际意义是 ； (2)求线段的函数表达式； (3)设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 题型7 一次函数中的旋转问题（45°） 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标是__________． 27．建立模型： （1）如图1，已知在中，，顶点C在直线l上，操作：过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 模型应用： （2）如图2，在直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由． 28．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于． (1)求证：； (2)模型应用：已知直线：与轴交于点．将直线绕着点逆时针旋转至，如图2，求的函数解析式． 题型8 一次函数中的最值问题 29．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，点为直线上的一动点，当值最小时点的坐标为______．    30．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式： (2)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上取一点，且．    (1)求点的坐标． (2)为上的一点，且横坐标为，在轴上找一点，使得的值最小，求出此时点的坐标． 32．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 题型9 一次函数中的翻折问题 33．如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 34．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，是轴上的动点（不与点重合），若将沿直线翻折，点恰好落在轴上，则点的坐标为________________ 36．如图1，一次函数y＝x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． (1)求点A，B的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点落在直线AB上时，求点P的坐标． 题型10 一次函数中的存在性问题 37．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式： (2)当时，的取值范围是___________； (3)若一次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上（不包括坐标原点），且是等腰三角形．直接写出所有点的坐标． 38．直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； (2)若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 40．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数图象交于点． (1)求m和n的值； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点C，使得是等腰三角形？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型11 一次函数与几何图形的边界问题 41．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 42．在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 43．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比它的横坐标大，则称该点为“优加点”． (1)点，，这三个点中，是优加点的是________； (2)已知点，是否存在这样的实数，使得点是“优加点”，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由； (3)如图，已知直线与x轴交于点，与轴交于点，在的内部（不包含边界）存在“优加点”，请求出满足条件的“优加点”横坐标的取值范围． 44．已知关于x的一次函数（k为常数，）． (1)不论k为何值，该函数图像都经过一个定点，这个定点的坐标为___________； (2)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值， (3)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，结合图像，直接写出k的取值范围． 题型12 一次函数与线段交点问题 45．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 46．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，在某动画程序中，用信号枪沿直线发射信号，当信号与线段相交时，线段消失，能够使线段消失的k的取值范围是________． 47．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，若直线与线段没有交点，则的值可能是___．（只需写一个） 48．如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则a的范围为________． 题型13 一次函数的新定义问题 49．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 50．定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“逆旋点”．请根据以上定义，完成下列填空： （1）若点M在直线上，点P与原点O重合，且点M关于点P的“逆旋点”N刚好在坐标轴上，则点N的坐标为_________________； （2）如图，已知点A的坐标为，点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“逆旋点”，连接，，则的最小值是_______． 51．定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则为点到坐标原点的“折线距离”．若点在直线上，且点到坐标原点的“折线距离”，则点的坐标为______． 52．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”． (1)在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值； (3)若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围． 1．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 2．我国新能源汽车产业高质量发展，充电技术不断提升．李老板购买了一辆新能源汽车，它的充电过程会经历两个不同阶段，电量与充电时间的函数关系如图所示，若李老板的新能源汽车电量从0充至，则整个充电过程需要的时间为（     ） A． B． C． D． 3．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 4．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．重庆某中学食堂的收费标准见下表（素菜和米饭不计费）： 荤菜/（份） … 餐费/（元） … 观察表中数据可知，餐费（元）与荤菜（份）之间的关系式为______． 6．“漏壶”是我国古代的一种计时仪器．在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中．实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据下列表格中的数据可知，与之间的函数表达式为_________． 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器中液面的高度 5 8 11 14 17 7．控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度（/天）是该营养素用量（）的一次函数（），部分数据如下表所示： 营养素用量（） 0.2 0.4 0.6 幼苗的生长速度（/天） 1.2 1.6 2.0 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为________/天． 8．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 9．为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买，两种跳绳．经市场调查，种跳绳每根10元，种跳绳每根15元．若学校准备购买，两种跳绳共120根，且购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的2倍． (1)设购买种跳绳为根，实际付款总金额为元，请求出与之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最低，并求出最低费用． 10．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 11．某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示． 温度 声音传播速度 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系（是常数，）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式； (2)物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播米刚好用了秒，求此时实验室的温度； (3)物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 12．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 13．分宜夏布是新余市国家级非物质文化遗产，近年来夏布文创产品广受游客和市民喜爱．渝水区某文创店铺引进简装夏布茶席和精装夏布刺绣挂画两款本土非遗产品销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 简装夏布茶席 精装夏布刺绣挂画 进货价/（元/件） 80 90 销售价/（元/件） 100 120 (1)该店铺第一次用4300元购进两款夏布文创产品共50件，分别求简装夏布茶席和精装夏布刺绣挂画的件数． (2)第一批文创产品全部售完后，店铺计划再次购进这两款夏布文创产品共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．该店铺应如何设计进货方案，第二批文创产品全部售完后才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 14．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙波尔图站组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，点燃了国内消费市场的热情，某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需8万元，若购进2辆A型机车，3辆B型机车，共需13万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为万元，一辆B型机车的售价为万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 15．随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的关系如图所示． (1)分别求甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式； (2)请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由． 16． 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，．    素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： (1)根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 17．如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面上继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图（2）中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）若时，求解下面问题． (1)求的值； (2)写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式． 18．某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．甲平均每小时扫描160件快递入库．乙平均每小时送件快递出库．某天仓库里原有160件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙休息1小时后按原速度工作，当天仓库里的快递数量（件）与时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)点的坐标是__________，的值是__________； (2)求段的函数表达式； (3)仓库里的快递数量不少于件称作仓库“半饱和”，已知该天“半饱和”状态持续的时间不超过5小时，直接写出的最小值． 19．某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 (1)求a，b的值． (2)“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． (3)“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 20．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为5，求点的坐标； ②连接，如图2，若，直接写出点的坐标__________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 用一次函数解决问题 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 分配方案问题 题型2 最大利润问题 题型3 行程问题 题型4 梯度计价问题 题型5 分段函数问题 题型6 其他问题 题型7 一次函数中的旋转问题（45°） 题型8 一次函数中的最值问题 题型9 一次函数中的翻折问题 题型10 一次函数中的存在性问题 题型11 一次函数与几何图形的边界问题 题型12 一次函数与线段交点问题 题型13 一次函数的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数的实际应用 1. 能从生活实际情境中提取关键信息，建立一次函数数学模型 2. 熟练运用一次函数解析式规范解答各类实际应用问题 3. 借助一次函数图象分析问题，精准获取有效解题数据信息 4. 熟练掌握一次函数应用题解题步骤与科学规范解题思路 5. 体会数学函数建模思想，全面提升解决实际问题的能力 学习重点：准确找准实际问题中的变量对应关系，建立一次函数模型并正确求解。 学习难点：结合具体实际情境确定自变量取值范围，结合结果分析实际数学意义。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数的应用 一次函数的应用 应用一次函数解决实际问题时，首先，要判断问题中的两个变量之间是否是一次函数关系；其次，当确定是一次函数关系时，可先求出一次函数表达式，再应用一次函数的相关知识去解决与其相关的实际问题. 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： （1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； （2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； （3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数表达式的常用方法 （1）根据基本的量之间存在的关系列函数表达式； （2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 即时即练 1．某服装经销商计划购进型、型两种型号的童装．若购进1件型童装和1件型童装需用50元，若购进2件型童装和3件型童装需用120元． (1)求每件型童装和每件型童装的进价各多少元； (2)该经销商计划用不超过2500元的成本，购进型童装和型童装共100件．若型童装的定价为260元；型童装的定价为220元，且全部以定价售完该批童装．该经销商获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元 (2)该经销商获得最大利润是21500元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每件型童装的进价是元，每件型童装的进价是元，根据购进1件型童装和1件型童装需用50元，购进2件型童装和3件型童装需用120元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进件型童装，则购进件型童装，根据进货总价不超过2500元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设售完该批童装该经销商获得的总利润为元，利用总利润=每件型童装的销售利润购进型童装的数量+每件型童装的销售利润购进型童装的数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）设每件型童装的进价元，每件型童装的进价元， 根据题意得：， 解得：， 答：每件型童装的进价30元，每件型童装的进价20元． （2）设购进型童装件，则型童装件，利润为元，根据题意得： 即：， 随着的增大而增大， 当时，最大，最大值为： 该经销商获得最大利润是21500元 2．某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元 【分析】（1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴． ∴综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意可知，设利润为w元，购进乙种产品x千克，则购进甲种产品千克，乙种产品进价为 (元/千克)， ①当时， ， ②当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为 (元)， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 3．已知甲、乙、丙地在同一条直线上，且丙地在甲、乙两地之间，客车由甲地驶向丙地，货车由乙地经过丙地去甲地，两车同时出发，匀速行驶，货车的速度是客车速度的．设货车行驶的时间为小时，客车离丙地的距离为千米，货车离丙地的距离为千米．图中线段表示与之间的函数关系，折线表示与之间的函数关系． (1)货车的速度为　　　；甲、乙两地间的距离为　　　． (2)求与的函数表达式． (3)线段与线段相交于点，直接写出点的坐标并解释点的实际意义． 【答案】(1)， (2) (3)，意义：当两车行驶时间为时，两车距离丙地，两车相遇 【分析】（1）根据函数图象分析即可； （2）先求出点，，再分段求解函数一次函数解析式即可； （3）求出段的函数解析式，然后与段的函数解析式联立求解交点坐标，即可写出实际意义． 【详解】（1）解：由函数图象可得，客车从甲地到丙地的距离为， ∴，则， ∴货车从乙地到丙地的距离为 ∴甲、乙两地间的距离为； （2）解：由（1）分析可得， 当，设，则代入，， 解得 ∴； 可求，即 ∴当时，设， 则代入，， 解得 ∴， 综上：； （3）解：设， 代入，，则， 解得 ∴与联立可得， 解得， ∴ 意义：当两车行驶时间为时，两车距离丙地，两车相遇． 知识点02 一次函数图象的应用 一次函数图像的应用 1.在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 2.分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 即时即练 4．如图，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数交于点C，与坐标轴分别交于点A和点B，． (1)求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是x轴上的一个动点，连接，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，直角坐标系下三角形面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）根据可得点A和点B的坐标，将点代入求解即可； （2）先求解点C的坐标，再由三角形面积公式求解即可； （3）先由面积求解出的长度，由此可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，即，， ∴，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为：； （2）解：由题意，联立，解得， ∴点C的坐标为， ∴； （3）解：∵，解得， 设点P的坐标为， ∵点，即， ∴，， 解得，， ∴或． 5．如图，直角坐标系中，已知点坐标为，点坐标为，直线与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数关系式； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)4 (3)点或 【分析】本题考查了一次函数的综合，考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，轴对称，求三角形的面积等知识，解题的关键是通过解方程组求点坐标． （1）设直线解析式为，将点，代入转化为方程组求解即可； （2）先求出点和点坐标，再根据求解即可； （3）过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点，利用待定系数法求出直线，通过解方程组求出点坐标，再求出点关于点的对称点即可得到此题答案． 【详解】（1）解：设直线解析式为， 直线经过点，， ，解得 直线的函数表达式为； （2）直线交轴于点， 令，，， 点坐标为， 点与点关于轴对称， 点， ，． ， ， ． （3）在直线上存在一点，使得，理由如下： 过点作的平行线交于点，则点就是所求作的点， 设直线为：， 将点代入上式，得， 直线的解析式为 直线经过点， 直线的解析式为， 解方程组得，， ， 设点关于点的对称点为， 的坐标为，此时， 点的坐标为或． 6．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的表达式； (2)求三角形的面积； (3)动点M在线段和射线上运动，是否存在点M，使三角形的面积是三角形的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，点的坐标是或或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设直线的表达式为：，再把和分别代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答． （3）设直线的表达式为，把代入，求出直线的表达式为，因为三角形的面积是三角形的面积的，得出点的横坐标为1或，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， ∵过点的直线与直线相交于点， ∴把和分别代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， （2）解：∵，， ∴， ∴， （3）解：存在，过程如下： 设直线的表达式为，把代入， 则， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵三角形的面积是三角形的面积的， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为1或， 当点的横坐标为1时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 在中，当时，， 则点的坐标为， 当点的横坐标为时， 在中，当时，， 则点的坐标为， 综上，点的坐标是或或． 题型1 分配方案问题 1．为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． (1)请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； (2)某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 【答案】(1)A套餐：当时，；当时，；B套餐：当时，；当时，． (2)当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱 【分析】（1）分范围写出分段函数； （2）在的条件下，比较两个函数值的大小，分情况得到更省钱的方案． 【详解】（1）解：A套餐：当时，；当时，； B套餐：当时，；当时，． （2）解：当时，此时A套餐费用为，B套餐费用为， 当，即， 解得：， 当，即， 解得：， 当，即， 解得：， 又因为， ； 当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． 2．某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】(1) (2) (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程即可求解； （2）根据题意分情况列解析式即可求解； （3）根据一次函数的增减性判断计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，当时，； （2）解：由（1）可知，，为3的倍数， 当时， ， 当时， 综上， ； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，． 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 3．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 4．某农机租赁公司共有台收割机，其中甲型台，乙型台，现将这台联合收割机派往，两地区收割水稻，其中台派往地区，台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 地区 元 元 地区 元 元 (1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的函数关系式； (2)若使农机租赁公司这台收割机一天所获租金不低于元，试写出满足条件的所有分派方案； (3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司台收割机每天获得租金最高，并说明理由． 【答案】(1) (2)三种分配方案，方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区；方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区 (3)派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高；理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台，每种情况乘以相应的租金，然后相加即可得关系式； （2）由题意可得，，求出整数解，得到分配方案； （3）利用一次函数的增减性求出函数在自变量范围内的最值即可． 【详解】（1）解：设派往地区台乙型联合收割机，则派往地区乙型联合收割机为台，派往、地区的甲型联合收割机分别为台和台， ； （2）解：由题意可得， ， 得， ，为整数， 、、， 有三种分配方案， 方案一：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案二：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； 方案三：派往地区的甲型联合收割机台，乙型联合收割机台，其余的全派往地区； （3）解：派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高， 理由：， ∵, ∴随的增大而增大， 且为整数， 当时，取得最大值，此时， 派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机全部派往地区，使该公司台收割机每天获得租金最高． 题型2 最大利润问题 5．某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． (1)从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； (2)在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元． (2)当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元． 【分析】（1）从三个条件中任选两个，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到甲、乙两种产品每箱的价格，任意选两个条件所得结果一致； （2） 根据甲种产品数量的限制条件列出一元一次不等式，得到甲种产品数量的取值范围，再根据利润关系得到总利润关于甲种产品数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元． 若选择条件①②，根据题意得 解得 若选择条件①③，根据题意得 解得 若选择条件②③，根据题意得 解得 答：甲种产品每箱的价格是元，乙种产品每箱的价格是元． （2）设购进箱甲种产品，则购进 箱乙种产品，总利润为元． 根据题意得： 解得： 结合实际可知， 因此 ． 每箱甲种产品的利润为（元）， 每箱乙种产品的利润为（元） 因此总利润 随的增大而减小 当时，取得最大值，最大值为 （元） 答：当甲种产品数量为箱时，该店获总利润最大，最大利润为元． 6．为美化城市环境，园林局准备购买甲、乙两种不同的树苗共2000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株多15元，若购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元． (1)求购买一株甲树苗和一株乙树苗分别需要多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和，请问：应如何购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于且购买树苗的总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元 (2)购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元 【分析】（1）设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元，根据“购买甲种树苗和乙种树苗各1000株共需要花费65000元”列出一元一次方程求解； （2）设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，根据“购买甲、乙两种树苗才能使这批树苗的成活率不低于”列出一元一次不等式，求出的取值范围，设购买这批树苗的费用为元，用含的代数式表示出，再根据一次函数的性质求最小值． 【详解】（1）解：设甲种树苗每株元，则乙种树苗每株元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲种树苗每株25元，乙种树苗每株40元； （2）解：设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株， ， 解得：， 设购买这批树苗的费用为元，由题意得： ， ， 随的增大而减小， 当时，． 答：购买甲种树苗400株，乙种树苗1600株，最低费用是74000元． 7．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆，解题过程见详解 (2)购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元，解题过程见详解 【分析】（1）根据已知条件列二元一次方程组求解即可； （2）结合第（1）问的结果，先建立总利润与机车数量的一次函数关系式，然后根据条件确定自变量的取值范围，再利用函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得    解得 答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆； （2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则 ． 购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ， ． 又为非负整数， 的最大值为33． ， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值， 此时，， 所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元． 【点睛】本题综合考查了利用一次函数、二元一次方程组以及不等式解决实际问题．能够结合已知条件建立恰当的数学模型是解题的关键． 8．蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如表所示： 价格品种 品种 品种 进价（元盒） 标价（元盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），所进蓝莓能够全部售出，其中品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，B品种的蓝莓购进盒； (2)当品种购进盒，品种购进盒时，利润最大，最大利润是元． 【分析】（）设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，由题意可得，然后解方程组即可； （）设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒，由题意可得，解得，且为正整数，然后根据题意可得，再由一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得， 解得， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒； （2）解：设品种蓝莓购进盒，总利润为元，则品种蓝莓购进盒， 由题意可得， 解得，且为正整数， 由题意可得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，此时，， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，利润最大，最大利润是元． 题型3 行程问题 9．小丽和小明两人从甲地出发，沿同一路线匀速慢跑前往乙地．小明在小丽后出发，慢跑1200米时遇到小丽，小明开始休息，休息了8分钟，再按原速继续慢跑，最后两人同时到达乙地．两人离开甲地的路程y（米）与小丽慢跑的时间x（分）的函数关系如图所示． (1)小丽慢跑的速度为 米/分，C点的坐标为（ ，1200）； (2)求线段所表示的与之间的函数表达式； (3)小明比小丽晚出发 分钟． 【答案】(1)100，12 (2) (3) 【分析】（1）利用路程除以时间可得小丽慢跑的速度，再由相遇时的路程除以速度求得相遇时间，即点C的横坐标； （2）由图象可得，，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求出小明慢跑的速度，再求出小明从甲地出发到休息时所用时间，进而可求解． 【详解】（1）解：由图知，小丽慢跑的速度为（米/分）， ∴慢跑1200米时相遇的时间为（分钟）， ∴C点的坐标为； （2）解：由题意，，， 设线段所表示的与之间的函数表达式为， 则，解得， ∴线段所表示的与之间的函数表达式为； （3）解：小明慢跑的速度为（米/分）， ∴小明从甲地出发到休息时所用时间为（分钟）， ∴小明比小丽晚出发（分钟）． 10．在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，男男从A地跑步到C地，同时乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，要求乐乐比男男早1分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是男男跑步时间t（分钟）与两人距A地路程s（米）之间的函数图象． (1)a＝ ，乐乐去A地的速度为 米/分钟； (2)结合图象，求出乐乐从A地到C地的函数解析式； (3)请直接写出乐乐从A返回后，到达C地之前，两人距B地的距离相等时t的值 ． 【答案】(1)2，200 (2) (3)，6 【分析】（1）由函数图象得B地跑步到A地的路程是400米，由乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知，可得，根据路程和时间可得乐乐去A地的速度； （2）利用待定系数法求的解析式即可； （3）分，，根据两人距B地的距离相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象得B地跑步到A地的路程是400米， ∵乐乐从B地跑步到A地，休息1分钟后接到通知， ∴， ∴乐乐去A地的速度为：（米/分钟）； （2）解：设的解析式为：， ∵的图象过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为：， 即乐乐从A地到C地的函数解析式：； （3）解：设的解析式为：， ∵的图象过点， ∴，解得：， ∴的解析式为：， 即男男从A地到C地的函数解析式：， ①当时， 或， 解得：或， ②当时，两人距B地的距离相等，不合题意舍去． 综上，两人距B地的距离相等的时间为分钟或6分钟． 11．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙以的速度沿同一路线行走．甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间（）的函数图象（如图2），甲、乙两款机器人相距（）与甲行走的时间（）的函数图象（如图3）．根据图象回答下列问题： (1)甲行走的速度为______米/秒；图3中______，_______； (2)求乙到起点的距离与甲出发的时间t之间的函数表达式； (3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距． 【答案】(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题），涉及函数表达式、距离计算等知识点，熟练结合行程问题的数量关系（路程速度时间）分析函数图像是解题的关键． （1）利用 “速度路程时间” 结合图像中甲的行程数据，求出甲的速度；结合 “相遇时路程相等” 列方程求出相遇时间；根据甲到达终点的时间，计算对应时刻的路程差得到； （2）根据乙的出发时间、速度，求得函数表达式； （3）分三种情况，结合距离关系列方程求解甲出发的时间 【详解】（1）解：由图可得甲行走的速度为：（米/秒） 由题意得：； 由得：， 当，， ∴ 故答案为：，，． （2）解：依题意， （3）解：①：由， 得， ②：由， 得， ③当乙到达终点后， 解得： 甲出发秒或秒或秒，甲、乙相距米． 12．甲骑摩托车从地匀速驶往地，乙开汽车沿同一条公路从地匀速驶往地，两人同时出发（摩托车的速度小于汽车的速度），各自到达终点后停止．甲、乙两人之间的距离（千米）与甲行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题： (1)、两地之间的路程为_____千米，摩托车的速度是_____千米/小时，点的坐标为_____； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)请直接写出甲行驶_____小时，两人相距180千米． 【答案】(1)300，50， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用： （1）由图可知，、两地之间的路程为千米，甲乙2小时相遇，甲行驶的总时间为6小时，可求出甲乙的速度和与甲的速度，可求出乙的速度，即可求出乙行完全程所用的时间，即可求出在这段时间内甲行驶的路程，即得点N的坐标； （2）利用待定系数法；设线段表达式为．已知，代入解方程组求出k，b的值即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况讨论． 【详解】（1）解：由图可知，、两地之间的路程为千米，甲行驶的总时间为6小时， 摩托车的速度小于汽车的速度，甲骑摩托车从地匀速驶往地， 摩托车的速度是千米/小时， 甲、乙的速度和千米/小时， 汽车的速度千米/小时， 乙从地到地所用的时间小时， 此时甲行驶的路程千米， 故点的坐标为． （2）解：设线段表达式为． 已知， 代入得， 解得， 函数表达式为． （3）解：分两种情况： ① 相遇前（）： 设两人距离的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 令， 得， 解得． ② 相遇后（）： 乙3小时已到达终点停止， 两人距离等于甲走的路程， 令， 得， 解得； 故答案为或（或0.8或3.6）． 题型4 梯度计价问题 13．某品牌共享电动车落地泰州高港区，为市民绿色出行提供了便利．其收费标准如下：起步价2元（含15分钟），超时费每10分钟1.5元（不足10分钟按10分钟计算）． (1)若小红骑行时间为t分钟，请写出应付费用y（元）关于t的函数表达式． (2)小红骑行了42分钟，应付多少元？ (3)小明骑共享电动车支付了8元，则他的骑行时间在什么范围内？ 【答案】(1)（所得结果进一取整，） (2)元 (3) 【分析】（1）先固定起步价2元，再用超出时间除以10，按“进一取整”算超时次数，乘以1.5元，合理写出费用表达式并注明取整规则． （2）先算出超出15分钟的时长，除以10后按规则进一取整，算出超时费，再加起步价2元，得到总费用． （3）先减去起步价算出超时费，再算出超时费对应的取整后次数，反推超出时间的不等式，进而解出总骑行时间的范围． 【详解】（1）解：前15分钟固定收费2元， 超出15分钟的时间为分钟， 超时费每10分钟1.5元，不足10分钟按10分钟进一计费， 应付费用（对所得结果进一取整，）， （2）， 超出时间：分钟， ，按规则进一取整为3， ； （3）解：， （对的结果进一取整）， （进一取整后）， 的值进一取整后为4， 即满足： ， ， ∴． 14．为了保护资源节约用水，我校八年级数学小组设计居民用水实行“阶梯水价”计费方法，如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 2.5元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ (1)A户居民本月用水量为，求户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若户居民本月的水费为元．求户居民本月用水量． 【答案】(1)元； (2)当时，；当时，；当时，； (3)． 【分析】本题主要考查了分段函数的实际应用，熟练掌握分段计费的计算逻辑、分情况列函数关系式是解题的关键． （1）将拆分为和超过的，分别按对应水价计算后求和． （2）分三段讨论的范围（不超过、到之间、超过），分别列出对应的函数关系式． （3）先判断元所在的计费段，再代入对应函数关系式求解． 【详解】（1）解：， 答：户居民本月的水费为元； （2）解：当时，； 当时， ； 当时， ； （3）解：先计算各段最大水费： 时，元； 时，元． 因，代入，得， 解得． 答：户居民本月用水量为． 15．某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥9月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ (2)设某外卖小哥10月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． (3)若某外卖小哥11月份的工资总额为5650元，那么他11月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)他这个月的工资总额为2900元 (2)当时，；当时， (3)他11月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，函数关系式． （1）根据题意，列出算式求解即可； （2）分两种情况进行列出函数关系式即可； （3）先确定他11月份送餐单数超过900单，再利用（2）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：（元）. 答：他这个月的工资总额为2900元； （2）解：当时， ； 当时， ； （3）解：（元），（元）； 元元 他11月份送餐单数超过900单，即； ，解得 他11月份外卖送餐950单． 16．如图，某社区设立了一台便民自助打印机，已知每张纸的打印售价为0.5元，为吸引顾客，该社区打印店推出两种优惠方案： 方案一：顾客需先支付15元的办卡费，打印的纸按原价的4折收费． 方案二：顾客不需要支付办卡费，打印的纸数量在20张以内（包含20张）时按原价收费，超过20张后，超过部分按原价的5折收费． 设某顾客打印纸的数量为x张，按方案一所需总费用为元，按方案二所需总费用为元． (1)当打印纸的数量超过20张时，分别求出和关于x的函数表达式． (2)当打印多少张纸时，两种方案的总费用相同？ (3)直接写出当x在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更合算． 【答案】(1)； (2)当打印200张纸时，两种方案的总费用相同 (3)当时，选择方案一比选择方案二更合算 【分析】（1）根据方案一和方案二，当时，用含x的式子表示出，； （2）根据题意，令，根据x的范围，分两种情况讨论，分别列出方程，求解即可； （3）根据题意，令，根据x的范围，分两种情况讨论，分别列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ； （2）解：当时，， 解得，符合题意； 当时，，， ，解得（不符合题意，舍去）， 综上所述：当打印200张纸时，两种方案的总费用相同． （3）解：当时，选择方案一比选择方案二更合算． 当时，由题意，得，即， 解得，无解； 当时，由题意，得，即， 解得， 综上所述：当时，选择方案一比选择方案二更合算． 题型5 分段函数问题 17．某工厂的甲、乙两个工人同时加工某种机器零件，乙在工作了一段时间停产更换设备，更换设备后，乙的工作效率是原来的倍，两人各自加工零件的数量（单位：件）与时间（单位：）之间的函数图象如图所示． (1)甲的工作效率是______件；图中的值为______； (2)求乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式； (3)当为何值时，甲、乙两人一共加工零件件？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，甲、乙两人一共加工零件件 【分析】本题主要考查了函数图像以及一次函数的应用等知识， （1）根据题意和函数图像求解即可； （2）设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为，将，求解即可； （3）由（1）易知甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为，结合乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为，由题意“甲、乙两人一共加工零件件”列式求解即可． 【详解】（1）解：∵甲加工零件的数量（件）与时间（时）之间的函数图像经过点， ∴（件/时）， ∵乙3小时加工30件， ∴乙的加工速度是：，每小时10件， ∵乙更换设备后，乙的工作效率是原来的2倍． ∴更换设备后，乙的工作速度是：每小时加工（件）， ； 故答案为：，； （2）解：设乙更换设备后加工零件的数量与时间之间的函数解析式为， ∵图像过，， 则有， 解得， ∴； （3）由（2）可知，乙更换设备后加工的零件的个数与时间的函数关系式为， ∵甲的工作效率是件/时， ∴甲加工零件的数量与时间之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， 答：当时，甲、乙两人一共生产件． 18．一辆货车和一辆小轿车同时从甲地出发，货车匀速行驶至乙地，小轿车中途停车休息2小时后提速行驶至乙地．设行驶时间为，货车的路程为，小轿车的路程为，图中的线段与折线分别表示、与x之间的函数关系． (1)甲、乙两地相距________km，________； (2)求线段所在直线的函数表达式； (3)小轿车停车休息后提速再行驶多长时间，与货车之间相距10km？ 【答案】(1)420；5 (2)； (3)休息后还要提速行驶或小时，与货车之间相距． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图象写出两地之间的距离和的值； （2）利用待定系数法确定函数的解析式即可； （3）分成两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：观察图象可知：甲乙两地相距，， 故答案为：420，5； （2）解：设直线的解析式为，把 代入得到 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （3）解：设线段所在的直线的解析式为 ， 把点代入得 ， 解得， ∴ 由题意：， 解得，， 或， 解得，， 答：小轿车停车休息后还要提速行驶或小时，与货车之间相距． 19．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境． 已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校，李华从学校出发，匀速骑行到达书店：在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆：在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校：回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校，给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 离开学校的时间 1 4 离开学校的距离 2 (2)填空： 李华在陈列馆参观学习的时间为________h； 李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为_________； (3)解答： 求返校途中减速后的函数表达式； 当李华离学校的距离为时，求他离学校多长时间． 【答案】(1)6，，； (2)；； (3)；或． 【分析】本题考查了函数图像，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法，正确理解图像信息的意义是解题的关键． （1）利用待定系数法，求出当时，函数解析式，即可求出时的值，再根据图象，即可直接得出，的值； （2）由图象直接可得李华在陈列馆参观学习的时间为；用路程除以时间可得李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为； （3）首先确定减速阶段的自变量取值范围和对应点，列出解析式；分情况求出距离为时，他离学校多长时间． 【详解】（1）解：当时，设， 由图象得：，解得：． ． 当时，． 由图象可知，时，， 当时，． 由图象可知，当时，， 当时，； 故答案为：6，，． （2）解：由图象得：李华在陈列馆参观学习的时间为； 由图象可知，减速前行驶了， 行驶了， 速度为：． 故答案为：；． （3）解：由图象可知，返校减速阶段是到，该段经过点和． 设返校途中减速后的函数表达式(k、b为常数，) 将两点代入得∶ 解得 返校途中减速后的函数表达式． 由图象可知，当李华离学校的距离为时，分去程和返程两种情况． 去程，解得； 返程，解得； 答：当李华离学校的距离为时，他离学校多长时间为或． 20．综合与实践 如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点D运动，连接，设点P的运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，的长为______，的长为______． (2)当点P不与点A，D重合时，设的面积为y，求出y与t之间的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)6， (2) (3)t的值为3.5或9.5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，，当时，，根据勾股定理得到； （2）分3种情况：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，根据三角形的面积公式得到结论． （3）根据题意得到结论． 【详解】（1）解：在长方形中，， ∴，，， 当时，， ∵， ∴点P在线段上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6，； （2）解：分3种情况： ①当点P在上时，，； ②当点P在上时，； ③当点P在上时，，； 综上所述：； （3）解：∵， ∴分两种情况： ①当点P在上时，即， ∴； ②， ∴． 综上所述：t的值为3.5或9.5． 题型6 其他问题 21．春假期间，小明一家外出旅游．妈妈为小明准备了A、B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如表． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少包？ (2)根据青少年健康饮食要求午餐的蛋白质摄入量不低于，若午餐选用这两种食品共6包，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品3包，B种食品2包 (2)选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】（1）设选用A种食品包，B种食品包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质建立方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，总热量为，列出w关于a的一次函数关系式，再根据午餐的蛋白质摄入量不低于列出不等式求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品包，B种食品包， 根据题意，得， 解得 答：选用A种食品3包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，总热量为． 由题意得，， 根据题意，得， ∴． ∵， ∴随的增大而减小． ∴当时，最小， 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 22．绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克； 问题二：（1）；（2）最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克，列二元一次方程组求解即可； 问题二：（1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w与a的函数关系式即可； （2）根据“采购杨树不超过30棵”列出不等式求出a的范围，根据一次函数的性质可知w随a的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二： （1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意，得， 与a的函数关系式为； （2）解：， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， （棵） ∴购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大， 即最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉． 23．综合与实践：杆秤中的数学 背景 杆秤，是中国人发明的人类最早的衡器，它凝聚了古代劳动人民的智慧，你知道杆秤中隐含的数学原理吗？ 素材1 杆秤称物符合杠杆原理：如图1，要使杆秤平衡，杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O（即杆秤的支点）的水平距离与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离满足等式：．    素材2 如图2，利用杆秤称重时，当秤盘所托重物为（不包括秤盘的质量）时，秤砣到秤纽的水平距离为，根据杠杆平衡原理可得y是关于x的一次函数．    素材3 为了便捷的利用杆秤称重，需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系，其制作过程如下： （1）标记零刻线：当秤盘不放重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出零刻线； （2）标记末刻线：当秤盘放入杆秤允许的最大质量（即杆秤的最大量程）重物时，移动秤砣，直至杆秤平衡，标出末刻线； （3）标记计量刻线：量出零刻线与末刻线之间的距离，将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格，每大格再等间距分割成10小格． 小明根据素材3制作了最大量程为的杆秤，若干次称重时所记录的一些数据如下表所示： 25 50 75 100 3 4 (1)若称一重物时的读数为5大格3小格，则此时称得的重物的质量为_________； (2)求y关于x的函数表达式； (3)求此杆秤的每小格的长度． 【答案】(1)530 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为，根据重物时的读数为5大格3小格，计算解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意，得． 【详解】（1）解：根据题意，每个大格表示的质量为，每一小格表示的质量为， 由称重物时的读数为5大格3小格，故其质量为； （2）解：设y关于x的函数表达式为（） 将和分别代入得：解得 y关于x的函数表达式为； （3）解：令，，令， 每小格的长度为：． 24．如图，某滤水壶有净水区和蓄水区．现给空壶的净水区加满水，净水区中水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（ 不计补水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离与水流时间的函数图象如图①所示． (1)点B的坐标的实际意义是 ； (2)求线段的函数表达式； (3)设滤水壶净水区水面、蓄水区水面距滤水壶底的高度分别为、，请在图②中分别画出、与水流时间的函数图象，并标注出关键点的坐标． 【答案】(1)3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了分段函数的实际应用，解题的关键是结合水流过程分析距离的分段变化规律． （1）结合题意分析时间节点的水流状态，明确点对应的实际情景，即3分钟时净水区停止向蓄水区流水，此时两区水面距离为9厘米． （2）先利用、两点求出段的函数解析式；再根据水匀速流动得出，代入点求出的函数表达式． （3）根据水流的分段过程，可得由一刹那，高度查从变为，说明净水区高度上升了，也说明这它下降了，故时它的高度为，而蓄水区的高度为，这是它接受净水区的水导致的升高。这可推出：净水区、蓄水区的底面积之比为,升降高度比.故的关键转折点坐标如下，再据此画图即可． 【详解】（1）解：点B坐标的实际意义是：经过3分钟又将净水区补满水，此时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米， 故答案为：3分钟时净水区水面与蓄水区水面的距离为9厘米； （2）解：设为， 则：， 解得：， ∴； 又∵，且， ∴可设为， ∴， 解得：， ∴为； （3）解：由题意可得，作图如下： 其中实线是，虚线是． 题型7 一次函数中的旋转问题（45°） 25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x，y轴于点B，C，将直线绕点B按逆时针方向旋转，交x轴于点A，则直线的函数表达式______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与几何变换，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，旋转的性质，待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 作交于，过点作轴于，可证明，得，，设，则，，再根据图象上点的坐标特征求得的值，再由待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：作交于，过点作轴于， 一次函数的图象分别交，轴于点，， ，， ，， ，， 又，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， 把代入得，， 解得， ， 设直线为， ， ， 直线的函数表达式为． 故答案为：． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，将直线绕点A逆时针旋转得到直线，过点B作于点D，则点D的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的性质与判定，根据一次函数的解析式求得的坐标，过点作轴于点，过点作于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 直线分别与轴，轴交于，两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 27．建立模型： （1）如图1，已知在中，，顶点C在直线l上，操作：过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 模型应用： （2）如图2，在直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数表达式； （3）如图3，在直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点位于第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）能，Q的坐标为或． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据同角或等角的余角相等得出，即可得出结论； （2）作交于C，作轴于D，求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，再证明， 得到，即可求解； （3）分两种情况：当Q在下方时，当Q在上方时，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：作交于C，作轴于D，如图： 在中，令得，令得， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，把代入得： ， 解得， ∴的解析式为； （3）解：点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下： ∵， ∴点Q在直线上， ①当Q在下方时，过Q作轴于E，交于F，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当Q在上方时，过Q作轴于E，交延长线于F，如图： 则，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； 综上所述，Q的坐标为或． 28．模型建立：如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于，过作于． (1)求证：； (2)模型应用：已知直线：与轴交于点．将直线绕着点逆时针旋转至，如图2，求的函数解析式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进而用即可证明； （2）过点作，交于点，过点作轴于点，易得为等腰直角三角形，由（1）可知：，则，，则，即点，进而求解． 【详解】（1）解：， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ． （2）解：过点作，交于点，过点作轴于点，易得为等腰直角三角形． 由（1）得． ，． 对：，令，得；令，得． ，， ，，， ． 设直线：． 则，解得． 的函数解析式为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型8 一次函数中的最值问题 29．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，轴上有一点，点为直线上的一动点，当值最小时点的坐标为______．    【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时的值最小，根据对称的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，直线与直线的交点坐标即为点的坐标． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 则有， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 当时，可得：， 点的坐标是， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 由对称的性质可知，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为．    30．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的函数表达式： (2)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的函数关系式为； (2)存在，当的值为时，的值最小． 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，求出直线的函数解析式，根据点在直线上即可求出的值． 【详解】（1）解：点，点在直线：上， ， 解得， 直线的函数关系式为； （2）解：如图，作直线，再作点关于直线的对称点， 连接交直线于点，连接， 直线垂直平分， ， ，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， 直线：与轴相交于点， 当时，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， ， 解得， 直线的函数解析式为， 在直线上， ， 解得， 当的值为时，的值最小． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何综合、待定系数法求一次函数解析式、两点之间线段最短、轴对称性质，解题关键是利用轴对称性质求解． 31．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在轴上取一点，且．    (1)求点的坐标． (2)为上的一点，且横坐标为，在轴上找一点，使得的值最小，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可先求得A、B的坐标，则可求得、，设，则，，在中由勾股定理可列方程，即可求得点C的坐标， （2）如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，得到，进而得到，此时的值最小，根据为上的一点，且横坐标为，得到， 因为点与关于轴对称，得到，设直线的表达式为，把，分别代入，求得直线的表达式为，当时，，求解的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，解得， ， 设，则，， 在中， ，解得， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，   ， ， ∴此时的值最小． ∵当时，， ． ∵点与关于轴对称， ． 设直线的表达式为， 把，分别代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得：， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及等腰三角形和外角的性质、勾股定理、三角形的面积、三角形的三边关系、待定系数法及方程思想，正确利用相关知识进行运算是解题关键． 32．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形， 理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴， ，∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）略 题型9 一次函数中的翻折问题 33．如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点；③直线的解析式为；④正确的结论是（    ）    A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于，   ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④不正确． 故选：B． 【点睛】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，A，C两点分别在x轴、y轴上， ，B点的坐标为．将沿翻折，B点落在D点位置，交y轴于点 E，则点 D的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键．过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，是轴上的动点（不与点重合），若将沿直线翻折，点恰好落在轴上，则点的坐标为________________ 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数综合应用、勾股定理、折叠的性质等知识，解题关键是分两种情况讨论，避免遗漏．首先确定点坐标，利用勾股定理解得，然后分点在轴负半轴上和点在轴正半轴上两种情况讨论，结合折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则，即， 令，则，即， ∴，， ∵， ∴， 分两种情况讨论： ①点在轴负半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴； ②点在轴正半轴上时，如下图， 由折叠可知，，， ∴， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为为或． 故答案为：或． 36．如图1，一次函数y＝x+3的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C，点P是射线CD上的一个动点． (1)求点A，B的坐标； (2)如图2，当点D在第一象限，且AB＝BD时，将ACP沿着AP翻折，当点C的对应点落在直线AB上时，求点P的坐标． 【答案】(1)A（−4，0）；B（0，3） (2) 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出C（4，0），D（4，6），进而求出AC＝8，CD＝6，AD＝10，由折叠知，，，再用勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＋3＝0， ∴x＝−4， ∴A（−4，0）． （2）解：过点D作轴于点E， ∵CD⊥x轴于点C， ∴， ∴四边形OCDE为矩形， ∴， ∵在△DEB和△AOB中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A（−4，0）， ∴C（4，0）， ∴D（4，6）， ∴AC＝8， ∴， 由折叠知，， ∴， 设PC＝a， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 题型10 一次函数中的存在性问题 37．在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式： (2)当时，的取值范围是___________； (3)若一次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上（不包括坐标原点），且是等腰三角形．直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点B的坐标代入正比例函数的解析式中求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式即可； （2）根据（1）所求可得不等式，解不等式即可得到答案； （3）求出点，利用勾股定理得到；再分三种情况：，和，根据等腰三角形的定义和性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B的坐标代入得，解得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴当时，的取值范围是； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的横坐标为，即点P的坐标为； 当时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则此时点P与点O重合，不符合题意； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰三角形的性质和定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 38．直线经过点，与y轴交于点B，与x轴交于点A． (1)求直线的函数表达式，以及点A和点B的坐标； (2)若y轴上有一点Q，且使得是以为腰的等腰三角形，求点Q坐标． 【答案】(1)；， (2)，，． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，正确求出k的值是解题的关键， （1）根据待定系数法即可求得k的值，求得直线的解析式，然后根据坐标轴上点的坐标特征求得A、B的坐标； （2）根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，由勾股定理即可求得Q的坐标． 【详解】（1）∵将点代入直线中，得 ． 解得． ∴直线的表达式为． ∵直线与y轴交于点B，与x轴交于点A， 令，则． 解得， ∴点的坐标为． 令，则， ∴点的坐标为． （2）∵，， ∴． ∵点在轴上，设点的坐标为． 情况一：当时，，即． 解得， ∵， ∴． 情况二：当时，． 则或． 当时， 解得， ∴ ；当时， 解得， ∴． ∴综上所述：点Q坐标为，，． 39．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①7秒；②存在，或或8 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； （2）①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中②，要注意分类求解，避免遗漏． 40．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数图象交于点． (1)求m和n的值； (2)求的面积； (3)在直线上是否存在点C，使得是等腰三角形？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为 (2) (3)或或或 【分析】（1）直接利用待定系数法可先确定的值，然后再把的坐标代入一次函数可得的值； （2）首先确定点坐标，进而可得的长，再结合点坐标可得的面积； （3）可设出点坐标，利用勾股定理表示出、和，分、和三种情况分别得到关于点坐标的方程，可求得点坐标． 【详解】（1）解：点在正比例函数图象上， ， 点的坐标为， 点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为． 的值为，的值为； （2）解：当时，， 点的坐标为， ； （3）解：存在． 假设存在满足条件的点，设其坐标为， 则，，， 为等腰三角形， 有、和三种情况， 当时，则，解得，此时 点坐标为或； 当时，则，解得（舍去）或，此时点坐标为； 当时，则，解得，此时点坐标为； 综上可知存在点，使得是等腰三角形，其坐标为或或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键，在（3）中用点坐标分别表示出、和是解题的关键． 题型11 一次函数与几何图形的边界问题 41．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，进而求出，再由可知点D在线段的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵C在y轴的正半轴上，， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中，当时，， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为； ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ∴， ∵P、Q关于x轴对称， ∴， ∵点Q总在内（不包括边界）， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线和直线二者的函数值之间是解题的关键． 42．在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 【答案】 【分析】先求出直线与轴轴的交点坐标，再根据点在内部（不含边界）列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线， 令，得，解得，故， 令，得，故， ∵动点在内部（不含边界）， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 解不等式：移项得，即，系数化为得， ∴不等式组的解集为：， ∴的取值范围是． 43．在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比它的横坐标大，则称该点为“优加点”． (1)点，，这三个点中，是优加点的是________； (2)已知点，是否存在这样的实数，使得点是“优加点”，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由； (3)如图，已知直线与x轴交于点，与轴交于点，在的内部（不包含边界）存在“优加点”，请求出满足条件的“优加点”横坐标的取值范围． 【答案】(1)点； (2)不存在，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，能够理解题意是解题的关键． （1）设点的坐标为，根据题意，得出“优加点”在直线上，判断是否在即可求解； （2）先假设点是“优加点”，得出，解出的值进行判断即可； （3）设点的坐标为，根据题意，得出“优加点”在直线上，再设直线与轴交于点，与直线交于点并求出，最后画出点和点，连接，根据图象即可求解． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ∵一个点的纵坐标比它的横坐标大，则称该点为“优加点”， ∴“优加点”在直线上， 当时，，即不是优加点，故不符合题意； 当时，，即不是优加点，故不符合题意； 当时，，即是优加点，故符合题意； 故答案为：点． （2）∵若点是“优加点”， ∴， 整理得：， ∵与相矛盾， ∴不存在实数使得点是“优加点”； （3）设点的坐标为， ∵一个点的纵坐标比它的横坐标大，则称该点为“优加点”， ∴“优加点”在直线上， 设直线与轴交于点，与直线交于点， ∴令中的，则，则点 ∵将和联立， ∴，解得，将代入，解得， ∴， 如图，画出点和点，连接， ∵在的内部（不包含边界）存在“优加点”， ∴由图像可知满足条件的“优加点”横坐标的取值范围为． 44．已知关于x的一次函数（k为常数，）． (1)不论k为何值，该函数图像都经过一个定点，这个定点的坐标为___________； (2)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为3，求k的值， (3)若该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点，结合图像，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，，即可得到定点的坐标； （2）求出与坐标轴的交点坐标，利用函数的图像与坐标轴所围成的三角形的面积为3，进行求解即可； （3）分和两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴不论k为何值，该函数图像都经过一个定点，这个定点的坐标为； 故答案为：． （2）解：当时，． ∴与坐标轴的交点坐标为：； 由题意得：． 解得． （3）解：当时，， 当时， ∵该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点， ∴该点只能是，如图： ∴的函数值在和之间，且函数值可以等于，即：； 当时， ∵该函数的图像与坐标轴所围成的三角形内部（不含边界）中只有1个横、纵坐标均为整数的点， ∴该点只能是，如图： ∴的函数值在和之间，且函数值可以等于，即：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 题型12 一次函数与线段交点问题 45．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平移的性质，勾股定理，平行四边形的面积等知识，明确线段扫过的面积为平行四边形的面积是解题关键．根据题意，线段扫过的面积为平行四边形的面积，先利用勾股定理求出，再根据平移的性质得到，即点的纵坐标为4，进而求出其横坐标为5，得到，从而得到，即可求出平行四边形面积得到答案． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点A、B的坐标分别为、， ， ，， ， ， 点的纵坐标为4， 点在直线上， ， 解得：，即， ， ， 即线段扫过的面积为16， 故选：C． 46．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，在某动画程序中，用信号枪沿直线发射信号，当信号与线段相交时，线段消失，能够使线段消失的k的取值范围是________． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用．分别求出直线经过或时的值，再结合图象可得答案． 【详解】解：如图： 把代入得：； 解得； 把代入得：， 解得， 由图可知，能够使线段消失的的取值范围是或； 故答案为：或 47．如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标为，，若直线与线段没有交点，则的值可能是___．（只需写一个） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】当直线过点时，求出的值，当直线过点时，求出的值，根据直线与线段没有交点求出的范围即可． 【详解】解：当直线过点时，将点坐标代入解析式为： ，解得， 当直线过点时，将点坐标代入解析式为： ，解得， 越大，它的图象离轴越近， 当时，直线与线段没有交点， 的值为：1（答案不唯一）， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题，要注意，是线段这一条件，不要当成直线． 48．如图，在平面直角坐标系中，点、，若直线与线段有公共点，则a的范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由题意可得平行于轴，求出在中，当时，，由此即可得出结果，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点、， ∴平行于轴， ∴在中，当时，， 解得， ∵直线与线段有公共点， ∴， 故答案为：． 题型13 一次函数的新定义问题 49．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数的图象上存在“近轴点”，则m的值可以为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义—“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． 的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时，，得到． 【详解】解：中，当时，， ∴图象恒过点， 当直线过时，， ， ， 当直线过时，， ， ， ∴的取值范围为或． 故m的值可以为， 故选：B． 50．定义：对于平面直角坐标系中的不在同一条直线上的三点P，M，N，若满足点M绕点P逆时针旋转后恰好与点N重合，则称点N为点M关于点P的“逆旋点”．请根据以上定义，完成下列填空： （1）若点M在直线上，点P与原点O重合，且点M关于点P的“逆旋点”N刚好在坐标轴上，则点N的坐标为_________________； （2）如图，已知点A的坐标为，点C是y轴上的动点，点B是点A关于点C的“逆旋点”，连接，，则的最小值是_______． 【答案】 或 【分析】（1）依据题意，分点N落在x轴上、点N落在y轴两种情况，分别求解即可； （2）设，表示出B点坐标，列出与m的关系式，再利用将军饮马原理即可得到答案． 【详解】解：（1）①当点N落在x轴上时，则轴， ∴点M在y轴上， 当时，， ∴， ∴点； ②当点N落在y轴时，则轴， ∴点M在x轴上， 当时，则，解得， ∴， ∴点； 综上，或， 故答案为：或； （2）解：设，过B作轴于H，如图所示， ∵是点A关于点的“逆旋点”， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为， ∴ 的值，相当于点到，的距离之和， 相当于在直线上找一点到，距离之和最小， 作点M关于直线对称的点，连接，的长度即为的最小值， 根据对称可得点， ∴， ∴的最小值是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，最短距离问题，新定义，将军饮马及图形旋转的性质，解题的关键是根据题意找到最短距离点，利用一次函数问题解决最短距离问题． 51．定义：在平面直角坐标系中，点的坐标为，则为点到坐标原点的“折线距离”．若点在直线上，且点到坐标原点的“折线距离”，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新函数定义、绝对值等知识点，理解“折线距离”的定义是解题的关键． 设点的坐标为，易得，解得：，从而确定点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 52．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“n级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”． (1)在①；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有________（填序号）； (2)若y关于x的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求k的值； (3)若y关于x的函数图象存在“n级限距点”，求出n的取值范围． 【答案】(1)①②； (2)k的值为或； (3)． 【分析】（1）根据定义即可作出判断； （2）作出以O为中心，边长为4的正方形，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，当直线经过点时，解得；当直线经过点时，解得． （3）画出在以O为中心，边长为的正方形，根据定义进行讨论即可得到n的取值范围． 【详解】（1）解：根据定义可得，在①；②；③三点中，①；②是函数图象上的点，且到两坐标轴的距离都不大于1， ∴“1级限距点”有①；②； 故答案为：①② （2）解：如图， 在以O为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个， 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得． 综上所述：k的值为或． （3）解：当时，，当时，， 在以O为中心，边长为的正方形中，当图象与正方形区域有公共部分时， 函数图象的“n级限距点”一定存在． 设，，，， 如图，当图象经过点时，代入得， 如图，当图象经过点时，代入得． ∴当时，函数图象的“n级限距点”一定存在． 【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，弄清楚“级限距点”的定义，数形结合是解题的关键． 1．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合速度，路程，时间的关系求解即可； 【详解】解：A. 他们在服务区休息了分钟，正确，不符合要求； B. 休息前的速度为，休息后的速度为，故在服务区休息前的行驶速度比休息后快，正确，不符合要求； C. 他们出发80分钟后到达服务区，正确，不符合要求； D. 小陆家距离基地225千米，原说法错误，符合要求； 2．我国新能源汽车产业高质量发展，充电技术不断提升．李老板购买了一辆新能源汽车，它的充电过程会经历两个不同阶段，电量与充电时间的函数关系如图所示，若李老板的新能源汽车电量从0充至，则整个充电过程需要的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察函数图象，确定电量所在的充电阶段，利用待定系数法求出该阶段与的函数解析式，最后将代入计算即可 【详解】解：由图象可知，点的坐标为，点的坐标为 当电量充至时，处于第二阶段充电过程，即 设当时，与的函数关系式为 将，代入得： 解得 当时， 解得 ∴整个充电过程需要的时间为． 3．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 【答案】C 【分析】根据函数的图象分别求出线段 和线段 对应的函数表达式逐项求解即可． 【详解】A．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为，错误； B．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 把代入，得，故仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为60%，错误； C．仅用普通充电器充电，即把代入，，正确； D．，∴快速充电器的充电效率是普通充电器的3倍，错误． 4．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线与坐标轴交点的坐标，再求出中点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数， 令，得，； 令，得，； 直线过原点且将分割为面积相等的两个三角形， 直线必经过线段的中点． 设的中点为，则点的坐标为，即． 设直线的解析式为． 将代入，得，解得． 直线的解析式为． 5．重庆某中学食堂的收费标准见下表（素菜和米饭不计费）： 荤菜/（份） … 餐费/（元） … 观察表中数据可知，餐费（元）与荤菜（份）之间的关系式为______． 【答案】（为正整数） 【分析】观察表格数据可知餐费与荤菜份数满足一次函数关系，利用待定系数法即可求出对应关系式，结合实际意义确定自变量取值范围即可． 【详解】解：观察表格数据可知荤菜份数每增加1，餐费增加2，则餐费与荤菜份数满足一次函数关系， 设与的关系式为， 将，和，代入解析式，得， 解得， 故与的关系式为； 因为表示荤菜的份数， 所以为正整数， 因此餐费（元）与荤菜（份）之间的关系式为（为正整数）． 6．“漏壶”是我国古代的一种计时仪器．在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中．实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据下列表格中的数据可知，与之间的函数表达式为_________． 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器中液面的高度 5 8 11 14 17 【答案】/ 【分析】观察表格数据可知，随的变化是均匀的，每增加 1小时，增加，故设与满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，时间每增加1小时，圆柱容器中液面的高度增加， 设与之间的函数表达式为， 将、和、代入得： ， 解得， 因此，与之间的函数表达式为． 7．控制变量法是生物学实验中常用的一种方法，某实验室研究人员配制了一种营养素，在控制其他因素不变的情况下，记录了时该营养素不同的用量与幼苗的生长速度，研究表明在一定用量范围内，幼苗的生长速度（/天）是该营养素用量（）的一次函数（），部分数据如下表所示： 营养素用量（） 0.2 0.4 0.6 幼苗的生长速度（/天） 1.2 1.6 2.0 若营养素用量为，则幼苗的生长速度为________/天． 【答案】3.6 【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式，再将代入解析式进行计算，即可求解． 【详解】解：设与的函数关系式为， 把，代入得，， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 8．如图，点在x轴上，过点作x轴的平行线l与正比例函数的图象相交于点A，连接，点P在直线l上且位于点A的右侧，连接，，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】点P在点A右侧，根据可知，设直线的解析式是，把点的坐标代入解析式求出直线的解析式，再根据直线上的点的纵坐标是求出点的横坐标． 【详解】解：如下图所示， ∵， ∴， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时， 可得：， 解得：， 点坐标是． 9．为了提高学生的中考体育跳绳成绩，某校计划购买，两种跳绳．经市场调查，种跳绳每根10元，种跳绳每根15元．若学校准备购买，两种跳绳共120根，且购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的2倍． (1)设购买种跳绳为根，实际付款总金额为元，请求出与之间的函数关系式． (2)在（1）的条件下，请设计出一种购买跳绳的方案，使实际所花费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)（，为整数）； (2)当购买40根种跳绳，80根种跳绳时费用最低，最低费用为1600元 【分析】（1）设购买种跳绳为x根，则购买种跳绳为根，根据总金额等于数量乘以单价即可列出总金额的函数关系式； （2）利用一次函数的性质即可求得最省的购买方案． 【详解】（1）解：设购买种跳绳为x根，则购买种跳绳为根． ∴， ∵购买种跳绳的数量不少于种跳绳数量的2倍， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为（，为整数）； （2）解：∵，，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值为 此时 ∴当购买40根种跳绳，80根种跳绳时费用最低，最低费用为1600元． 10．三门峡卢氏山川秀美，物产丰富，有“香菇之都”和“中国核桃之乡”美称．某特产店在春节期间推出了菌菇和核桃两种礼盒．已知售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，售出1个菌菇礼盒的销售额比售出1个核桃礼盒的销售额多20元． (1)求菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价； (2)由于销量较好，老板决定再次购进这两种礼盒共20个，且菌菇礼盒至少购进10个．若在售价不变的情况下，每个菌菇礼盒的利润率为，每个核桃礼盒盈利25元．设购进个菌菇礼盒，这批礼盒全部售完后所获得的利润为元． ①求关于的函数解析式； ②当购进_____________个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是_____________元． 【答案】(1)菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元 (2)①；②10；450 【分析】（1）设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则可表示1个菌菇礼盒的销售单价，根据等量关系：售出1个菌菇礼盒和2个核桃礼盒的销售总额为320元，列出一元一次方程，并求解即可； （2）①求得1个菌菇礼盒的进价，进而得其利润，再由利润和即可得到关于的函数解析式； ②根据①所列的函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：设1个核桃礼盒的销售单价为x元，则1个菌菇礼盒的销售单价为元， 由题意，得， 解得， 则； 答：菌菇礼盒和核桃礼盒的销售单价分别为120元和100元； （2）解：①每个菌菇礼盒的进价为（元），利润为（元）， 则，其中； ②，且 ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最大，且最大值为， 答：当购进10个菌菇礼盒时能获得最大利润，最大利润是450元． 11．某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示． 温度 声音传播速度 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系（是常数，）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式； (2)物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播米刚好用了秒，求此时实验室的温度； (3)物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】利用待定系数法，选取表格中两组对应数据代入函数式，求解得到一次函数表达式； 先根据路程和时间计算出声速，再代入函数表达式求出对应温度； 设出甲乙两实验室的温度，分别代入函数表达式，根据声速差的条件列等式，即可求出温度差 【详解】（1）解：由题意可知，与满足一次函数关系，，选取表格中时，时， 代入得， 解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：由题意，声音传播米用时秒，可得声速， 将代入得， 解得， 答：此时实验室的温度为； （3）解：设甲实验室温度为，乙实验室温度为， 由题意可知甲实验室声速比乙实验室快，可得， 整理得， 解得， 答：甲、乙两个实验室的温度差为． 12．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A款智能机器人模型与B款科创笔记本共120件，已知A款机器人模型单价25元/件，B款科创笔记本单价20元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买A款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与A款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件A款智能机器人模型，剩余奖品均为B款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元 (3)总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的A款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得， 其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，． 故当购买了件A款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知，， ，且， 随的增大而增大， ∴当时，的最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是A款智能机器人模型件，B款科创笔记本件，总费用最少是元． 13．分宜夏布是新余市国家级非物质文化遗产，近年来夏布文创产品广受游客和市民喜爱．渝水区某文创店铺引进简装夏布茶席和精装夏布刺绣挂画两款本土非遗产品销售，进货价和销售价如下表： 价格/类别 简装夏布茶席 精装夏布刺绣挂画 进货价/（元/件） 80 90 销售价/（元/件） 100 120 (1)该店铺第一次用4300元购进两款夏布文创产品共50件，分别求简装夏布茶席和精装夏布刺绣挂画的件数． (2)第一批文创产品全部售完后，店铺计划再次购进这两款夏布文创产品共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．该店铺应如何设计进货方案，第二批文创产品全部售完后才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】(1)简装夏布茶席购进20件，精装夏布刺绣挂画购进30件 (2)当购进120件简装夏布茶席，80件精装夏布刺绣挂画时有最大利润，最大利润是4800元 【分析】（1）设购进简装夏布茶席x件，购进精装夏布刺绣挂画y件，根据用4300元购进两款夏布文创产品共50件，列出方程组，解方程组即可； （2）设第二次购进m件简装夏布茶席，则购进件精装夏布刺绣挂画，根据第二次进货总价不高于16800元，列出不等式，求出，设利润为w元，列出w关于m的一次函数解析式，根据一次函数性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进简装夏布茶席x件，购进精装夏布刺绣挂画y件， 由题意，得：， 解得， 答：简装夏布茶席购进20件，精装夏布刺绣挂画购进30件． （2）解：设第二次购进m件简装夏布茶席，则购进件精装夏布刺绣挂画，由题意可得： ， 解得， 设利润为w元，则： ， ， 随m的增大而减小， ∴当时，（元）， 答：当购进120件简装夏布茶席，80件精装夏布刺绣挂画时有最大利润，最大利润是4800元． 14．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托车锦标赛（）葡萄牙波尔图站组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，点燃了国内消费市场的热情，某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需8万元，若购进2辆A型机车，3辆B型机车，共需13万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为万元，一辆B型机车的售价为万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型机车的单价为2万元/辆，B型机车的单价为3万元/辆 (2)购进A型机车33辆、B型机车17辆时可获得最大利润，最大利润为万元 【分析】（1）设A型机车的单价为x万元/辆，B型机车的单价为y万元/辆，根据购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需8万元，购进2辆A型机车，3辆B型机车，共需13万元建立方程组求解即可； （2）设购进A型机车m辆，全部销售完时获得的利润为W万元，列出W关于m的一次函数关系式，再根据购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍列出不等式求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型机车的单价为x万元/辆，B型机车的单价为y万元/辆， 由题意得，， 解得， 答：A型机车的单价为2万元/辆，B型机车的单价为3万元/辆； （2）解：设购进A型机车m辆，全部销售完时获得的利润为W万元， 由题意得，， ∵购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ∴， ∴， ∴，且m为整数， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：购进A型机车33辆、B型机车17辆时可获得最大利润，最大利润为万元． 15．随着“体重管理年”三年行动方案的开展，为鼓励人们多运动，某游泳馆推出甲、乙两套收费方案，两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的关系如图所示． (1)分别求甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式； (2)请从消费者的角度思考，选择哪种方案比较好？请说明理由． 【答案】(1)甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为，乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为 (2)当时，选择甲方案比较好；当时，甲与乙均可；当时，选择乙方案比较好； 理由： 令，则， 解得， 由图可知， 当时，选择甲； 当时，甲与乙均可； 当时，选择乙． 【详解】（1）解：由图可知：甲、乙两种方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系分别为正比例函数、一次函数， ∴设甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为， ∵在函数图像上， ∴将代入，得 ， 解得， ∴， 设乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为， ∵和在函数图像上， ∴将和代入，得 ， 解得， ∴， 综上所述：甲方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为，乙方案所需费用（单位：元）与游泳次数（单位：次）之间的函数关系式为； （2）略． 16． 背景 随着科技的快速发展，电动车行业通过不断创新技术，提升了电动车的安全性和环保性能，环保节能的优势，越来越多的购车者选择了新能源汽车，影响新能源汽车发展的重要瓶颈就是续航里程及充电时间． 素材1 某公司用两种充电桩对目前电量为的新能源汽车充电，经测试，在用快速充电桩和慢速充电桩对汽车充电时，其快充时的电量、慢充时的电量与充电时间（单位：小时）的函数图像分别为图2中的线段，．    素材2 暑假里，小明一家驾驶新能源汽车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．一段时间后，小明发现此时恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计），最后恰好用小时充满电． 问题解决： (1)根据素材1，请分别根据快速充电和慢速充电两种情况，求、关于的函数解析式，并分别指出自变量的取值范围． (2)根据素材2，请求出小明一家使用快速充电桩和慢速充电桩各多长时间． 【答案】(1)关于的函数解析式为，关于的函数解析式为 (2)小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时 【分析】（1）观察图像，确定，，，再用待定系数法可得答案；（2）设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时，先结合图像确定分别使用快速充电桩充电的速度及使用慢速充电桩充电的速度，再根据“恰好用小时完成充电”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由图像可知：，，， 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 设线段的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴线段的解析式为； 即关于的函数解析式为，关于的函数解析式为； （2）解：设小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时， 由图像知：使用快速充电桩充电的速度为：；使用慢速充电桩充电的速度为：， 依题意，得：， 解得：， ∴， 答：小明一家使用快速充电桩充电小时，使用慢速充电桩充电小时． 17．如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面上继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图（2）中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）若时，求解下面问题． (1)求的值； (2)写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式． 【答案】(1)28 (2) 【分析】（1）当时，小球滚落到水平面上，此时速度为，根据图象，得运动时，速度为0，列式求解即可； （2）根据时间分类计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：当时，小球滚落到水平面上，此时速度为， 根据图象，得运动时，速度为0，根据题意，得， 解得； （2）解：根据题意，得当时，，， 故， ； 当时，，， 故， 故； 综上所述，； 18．某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库．甲平均每小时扫描160件快递入库．乙平均每小时送件快递出库．某天仓库里原有160件快递，甲工作2小时后，乙开始工作，又过了3小时后，甲离开，乙休息1小时后按原速度工作，当天仓库里的快递数量（件）与时间（小时）之间的函数关系如图所示． (1)点的坐标是__________，的值是__________； (2)求段的函数表达式； (3)仓库里的快递数量不少于件称作仓库“半饱和”，已知该天“半饱和”状态持续的时间不超过5小时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)480 【分析】（1）点A的纵坐标=原有快递量小时内入库的快递量，从而得到点A的坐标；派送员乙在3小时内运送快递出库的数量=原有快递量小时内新入库的快递量当时仓库内的快递量，再根据“派送员乙平均每小时的送件量=派送员乙在3小时内运送快递出库的数量”计算即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）由题意易得段的解析式为，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知：甲工作2小时后，仓库里的快递数量是（件）， ∴点A的坐标为； ∵派送员乙在3小时内运送快递出库的数量是（件）， ∴（件）， ∴； （2）解：由图象可知：， 乙休息1小时，故点的横坐标为，纵坐标不变，故， 乙按原速度工作，速度为件／小时，此时库存件，所需的时间为（小时）， ∴点的横坐标为，即， 设段的函数表达式为，则有： ，解得：， ∴段的函数表达式为； （3）解：设段的解析式为，将代入得： ，解得：， ∴段的解析式为， 设时，在段对应的时间为，在段对应的时间为，则有： ，解得：； ，解得：； 根据题意，持续时间不超过小时， ∴， 解得：， ∴的最小值为480． 19．某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表． 快充 慢充 进价/（元/个） 售价/（元/个） 40 15 (1)求a，b的值． (2)“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由． (3)“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？ 【答案】(1)的值为30，b的值为10 (2)共有6种进货方案，见解析 (3)当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大 【分析】（1）由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设购进快充个，则购进慢充个，根据题意列出不等式组，求出快充个数的取值范围，结合为正整数即可确定有几种进货方案； （3）设销售完这100个充电器获得的总利润为元，列出总利润与快充数量的关系式， 分情况讨论：当或或时，结合的取值范围及一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元， 由题意得：， 解得：， 答：的值为30，b的值为10； （2）解：共有6种进货方案，理由如下： 设购进快充个，则购进慢充个， 由题意得：， 解得：， 由于为整数， 则的取值可以为：75、76、77、78、79、80， 因此，共有6种进货方案； （3）解：设销售完这100个充电器获得的总利润为元， 根据题意得：， 分以下三种情况讨论： 由（2）知，， ①当，即时， 此时随的增大而增大， 则当时，最大，此时； ②当，即时，不随的变化而变化，此时的值为500； ③当，即时，随的增大而减小， 则当时，最大，此时； 综上所述，当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大； 当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元； 当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大． 【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式组、一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 20．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴负半轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为5，求点的坐标； ②连接，如图2，若，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设，则，，求出，再由，求出m的值后取负值即可求M点坐标； ②由题意，且，则可得，即，再设，则，在利用勾股定理，再解方程即可． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ． 由得：，解得， ， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：①设， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； ②点与点关于轴对称， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，，， ，解得， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $