第16讲 一次函数的图象与性质16大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第16讲 一次函数的图象与性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正比例函数的图象 题型2 正比例函数的性质 题型3 判断一次函数的图象 题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5 已知函数经过的象限求参数范围 题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型7 求一次函数自变量或函数值 题型8 画一次函数图象 题型9 一次函数图象平移问题 题型10 一次函数图象与对称问题 题型11 一次函数图象与旋转问题 题型12 判断一次函数的增减性 题型13 根据一次函数增减性求参数 题型14 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型15 比较一次函数值的大小 题型16 一次函数的规律探究问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数的图象 一次函数的增减性 一次函数的平移 一次函数系数的关系 1. 会画一次函数图象，掌握一次函数图象是一条直线 2. 理解k、b取值对一次函数图象位置的影响规律 3. 掌握一次函数增减性，能根据图象判断函数变化趋势 4. 能利用一次函数图象与性质解决简单数学问题 5. 建立数形结合思想，提升识图用图的数学能力 学习重点：掌握一次函数图象画法，理解并熟记k、b决定的图象性质特点。 学习难点：理解k、b取值变化对图象位置和函数增减性的综合影响；掌握一次函数图象的平移规律。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数的图象 一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 即时即练 1．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 2．一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 3．已知一次函数． (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … 0 … (2)判断点，，是否在函数的图象上． (3)观察画出的图象可知，写出函数与自变量的关系． 知识点02 一次函数的图象与性质 一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 即时即练 1．已知一次函数，求m为何值时，下列各结论分别成立； (1)y随x的增大而减少； (2)函数的图像经过原点； (3)函数的图像不经过第三象限． 2．已知一次函数， (1)若函数图象与轴交点在轴负半轴上，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若函数图象平行于，求这个函数的表达式． 3．已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 知识点03 一次函数图象的平移问题 正比例函数与一次函数图像的关系 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 即时即练 1．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 2．（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 3．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 题型1 正比例函数的图象 1．正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 2．已知正比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、四象限 3．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是________． 4．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 题型2 正比例函数的性质 5．已知正比例函数的图象经过点，下列说法正确的是（     ） A．函数表达式为，且图象经过第一、三象限 B．函数表达式为，且图象经过第二、四象限 C．函数表达式为，且图象经过第一、三象限 D．函数表达式为，且图象经过第二、四象限 6．若点，在正比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 7．若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值_____． 8．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)点，在该函数图象上，比较，的大小，并说明理由． 题型3 判断一次函数的图象 9．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 11．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 12．请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限 13．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．它的图象与轴交于点 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 14．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．当时， C．y随x的增大而增大 D．函数的图象不经过第三象限 15．已知一次函数（为常数）的图象不经过第四象限，则实数的值可以是______．（写出一个即可） 16．已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求一次函数表达式； (2)当时，该函数图像不经过第_______象限． 题型5 已知函数经过的象限求参数范围 17．已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 18．若一次函数的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 19．已知一次函数，若该函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 20．已知关于的一次函数，分别求满足下列条件的的取值范围： (1)函数值随的增大而减小； (2)函数的图象过第一、三、四象限． 题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题 21．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 22．一次函数过点，则该直线与坐标轴围成的三角形的面积是________． 23．直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 24．如图，一次函数的图象与轴的正半轴相交于点，与轴相交于点B． (1)求出的值． (2)过点作直线与轴的负半轴相交于点，且，求直线的解析式． 题型7 求一次函数自变量或函数值 25．下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 26．已知三点，，在同一条直线上，则 ______． 27．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 28．一个一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中画出该函数的图象； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． 题型8 画一次函数图象 29．已知一次函数，当时，． (1)求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象； (2)点是此函数图象上的一点．若，求n的取值范围． 30．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 31．（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）； （2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 32．已知一次函数． (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … … (2)结合函数图象，方程的解为___________． 题型9 一次函数图象平移问题 33．在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 34．若直线向下平移3个单位长度后的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 35．已知一次函数的图象经过点和点 (1)求这个函数的表达式； (2)此函数的图象与x轴相交于点 C，求点 C的坐标； (3)直接写出该函数图象向下平移5个单位后的图象表达式． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． (1)当时，的取值范围是________； (2)将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 题型10 一次函数图象与对称问题 37．若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 38．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 39．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 40．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 题型11 一次函数图象与旋转问题 41．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 42．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 43．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 44．【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． 求证：≌； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______； 将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______． 【综合运用】 （4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______． 题型12 判断一次函数的增减性 45．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象必经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 46．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 47．已知一次函数，当时，函数值y的取值范围是_____． 48．已知函数是一次函数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的简易草图，并写出函数增减性． 题型13 根据一次函数增减性求参数 49．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 50．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点、，如果，那么k的值可以是______（写出一个即可）． 51．已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)请从以下取值范围中选择一个：①；②；③，根据（1）中的函数解析式求出对应函数值的取值范围． 52．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 题型14 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 53．已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 54．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 55．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 56．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 题型15 比较一次函数值的大小 57．已知、是一次函数图象上的两点，若，且，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 58．已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 59．在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与直线平行，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 60．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系． 题型16 一次函数的规律探究问题 61．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 62．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 63．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 64．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 1．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（） A．图象是经过第一、二、四象限的一条直线 B．随的增大而减小 C．若点、在该函数的图象上，则 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是 3．如图，直线与直线相交于点，与轴正半轴交于点．关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（     ） A． B． C． D．或 5．如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若直线与线段有公共点，则n的值不可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 9．若一次函数的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 10．如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，若，则的面积为_____． 11．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 12．若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 13．已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 14．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 15．如图，直线：与x轴交于点，直线：与y轴交于点． (1)求k，b； (2)将直线向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点C，当时，求t的值． 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求这个一次函数的解析式及点的坐标： (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 17．为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中，的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，________（填“”“”或“”）； (3)将一次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 18．如图，正比例函数（）的图象与一次函数（）的图象相交于点．且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求正比例函数和一次函数的解析式； (2)若为正比例函数的图象上一点，且，求点的坐标． 19．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且，且点D的纵坐标为． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请直接写出坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 20．如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 一次函数的图象与性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正比例函数的图象 题型2 正比例函数的性质 题型3 判断一次函数的图象 题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5 已知函数经过的象限求参数范围 题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型7 求一次函数自变量或函数值 题型8 画一次函数图象 题型9 一次函数图象平移问题 题型10 一次函数图象与对称问题 题型11 一次函数图象与旋转问题 题型12 判断一次函数的增减性 题型13 根据一次函数增减性求参数 题型14 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型15 比较一次函数值的大小 题型16 一次函数的规律探究问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数的图象 一次函数的增减性 一次函数的平移 一次函数系数的关系 1. 会画一次函数图象，掌握一次函数图象是一条直线 2. 理解k、b取值对一次函数图象位置的影响规律 3. 掌握一次函数增减性，能根据图象判断函数变化趋势 4. 能利用一次函数图象与性质解决简单数学问题 5. 建立数形结合思想，提升识图用图的数学能力 学习重点：掌握一次函数图象画法，理解并熟记k、b决定的图象性质特点。 学习难点：理解k、b取值变化对图象位置和函数增减性的综合影响；掌握一次函数图象的平移规律。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数的图象 一次函数的图像 1.一次函数的图像：一次函数y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0）的图像是一条直线. 2.正比例函数的图像：正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是经过原点的一条直线. 3.一次函数的图像是一条直线，但不是所有的直线都是一次函数的图像，在利用一次函数的图像解决实际问题时，自变量的取值会受到限制，此时函数图像不再是一条直线，有可能是线段、射线，也有可能是间断的点. 4.一次函数的图像与表达式之间的关系：一次函数的图像与函数表达式是一一对应的，即函数图像上任意一点P（x，y）中的x，y的值满足函数表达式；反之，满足函数表达式的任意一对有序实数（x，y）所对应的点一定在函数图像上. 5.通过描点法画出对应一次函数的步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的一部分值，并计算出函数y相应的值，同时都填入列出的表中； （2）描点：以表中的有序数对（x，y）为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：将所描的点用直线连接起来. 即时即练 1．已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，再描点，连线画出函数图象即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 则， ∴， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：列表如下： … 3 0 … … 1 … 函数图象如下所示： 2．一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求该函数的图象与轴，轴的交点坐标： (3)画出该函数图象． 【答案】(1)这个一次函数的表达式为 (2)该函数的图象与轴，轴的交点坐标分别为， (3) 一次函数的图象如图所示： 【分析】（1）这个一次函数的表达式为，代入点和，得到，解得，即可求解； （2）当时，，解得，得到该函数的图象与轴的交点坐标为；当时，，得到该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）利用两点法即可画出函数图象． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴将点和代入中，得 ，解得， ∴这个一次函数的表达式为； （2）解：由（1）知这个一次函数的表达式为， ∵当时，， 解得， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； ∵当时，， ∴该函数的图象与轴的交点坐标为； （3）略 3．已知一次函数． (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … 0 … (2)判断点，，是否在函数的图象上． (3)观察画出的图象可知，写出函数与自变量的关系． 【答案】(1)3；1；；见解析 (2)点，在函数图象上，点不在函数图象上 (3)当由小变大时，随之减小 【分析】（1）分别代入，，求出与之对应的，的值，再描点、连线，即可画出函数图象； （2）分别代入，，求出与之对应的值，进而判断即可； （3）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 当时， ； 函数图象如下图所示： （2）解：当时，； 当时，； 当时，， 点，在函数图象上，点不在函数图象上； （3）解：从函数的图象可以看出，直线从左到右下降，即当由小变大时，随之减小． 知识点02 一次函数的图象与性质 一次函数的图像与性质 一次函数 y＝kx＋b（k、b为常数，且k≠0） k、b的符号 k＞0 k＜0 b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 图像 趋势 从左向右上升 从左向右下降 性质 函数值y随自变量x增大而增大 函数值y随自变量x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过的象限 第一、二、三象限 第一、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、四象限 第二、三、四象限 1.一次函数的图像经过的象限是由k和b的符号共同决定的，一次函数的增减性取决于k，与y轴的交点取决于b，反之，由一次函数的图像特征也可判断k、b的符号. 2.|k|的大小决定直线y＝kx＋b的倾斜程度，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓. 即时即练 1．已知一次函数，求m为何值时，下列各结论分别成立； (1)y随x的增大而减少； (2)函数的图像经过原点； (3)函数的图像不经过第三象限． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据一次函数的性质：当k小于0时，y随x的增大而减少即可得结论； （2）当时，图象经过原点即可得结论； （3）函数的图象不经过第三象限，需满足斜率小于0且纵截距大于等于0，即可得结论． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减少， ∴，解得， ∴当时，y随x的增大而减少； （2）∵函数图象经过原点， ∴，解得， ∴当时，函数图象经过原点； （3）∵函数的图象不经过第三象限， ∴，且，解得， ∴当时，函数的图象不经过第三象限． 2．已知一次函数， (1)若函数图象与轴交点在轴负半轴上，求的取值范围； (2)若随的增大而减小，求的取值范围； (3)若函数图象平行于，求这个函数的表达式． 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． （1）根据题意可得，且，即可求解； （2）根据一次函数的增减性可得，即可求解； （3）根据一次函数的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象与轴交点在轴负半轴上， ∴，且， 解得：且． （2）解：∵随的增大而减小， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象平行于， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为． 3．已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 知识点03 一次函数图象的平移问题 正比例函数与一次函数图像的关系 1.正比例函数y＝kx的图像是经过原点的一条直线，一次函数y＝kx＋b的图像可以看成是由正比例函数图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度得到的. 2.一次函数图像的平移规律 （1）上、下平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向上平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b＋n（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线y＝kx＋b－n（k≠0）.（上加下减） （2）左、右平移：直线y＝kx＋b（k≠0）向左平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x+m）＋b（k≠0）；直线y＝kx＋b（k≠0）向右平移m（m＞0）个单位长度得到直线y＝k（x－m）＋b（k≠0）.（左加右减）. 3.同一个平面直角坐标系中两直线l1：y＝k1x＋b1（k1≠0），l2：y＝k2x＋b2（k2≠0）的位置关系如下： k1，k2，b1，b2的关系 l1与l2的关系 k1≠k2 l1与l2相交 k1≠k2，b1＝b2 l1与l2相交于y轴上的同一点（0，b1）或（0，b2） k1＝k2，b1≠b2 l1与l2平行 k1＝k2，b1＝b2 l1与l2重合 即时即练 1．将一次函数的图象向左平移个单位，若平移后的图象恰好经过点，则的值为_________． 【答案】 【分析】首先明确一次函数图象左右平移的规则：向左平移个单位时，将函数解析式中的替换为，据此写出平移后的函数解析式．因为平移后的图象经过点，所以该点坐标满足平移后的函数解析式，将、代入平移后的解析式，得到关于的一元一次方程．求解上述一元一次方程，即可得到的值． 【详解】解：将原函数向左平移个单位后， 新函数解析式为： ，整理得， 将代入解析式 ， 解得， ． 2．（1）在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象的函数表达式是_______； （2）若将直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为_______； （3）将直线向右平移个单位长度后所得图象对应的函数表达式为_______； （4）将直线向左平移个单位长度后经过点，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可． 【详解】解：（1）将的图象向下平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （2）直线向上平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴； （3）将直线向右平移个单位长度，所得图象的函数表达式为； （4）直线向左平移个单位长度后，得到的直线表达式为， ∵该直线经过点， ∴， 解得． 3．按要求完成下面各题． (1)【源于课本】将一次函数的图象沿着y轴向上平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为：______． (2)【深入探究】将图中一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移．因此，只需要在图象上任取两点A，B，将它们沿着x轴向右平移3个单位长度，得到点，的坐标，请利用上述方法求出直线对应的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数平移规律以及用待定系数法求函数解析式． （1）根据函数平移规律“上加下减，左加右减”，可以求得平移后的解析式； （2）设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B．先求出点A，点B的坐标，再按照坐标平移规律求出平移后的对应点坐标，最后运用待定系数法，求出平移后的函数解析式． 【详解】（1）解：； （2）解：设一次函数与x轴、y轴交于点A、点B． 令，解得：， 即点； 令，解得：， 即点； ∵一次函数的图象沿着x轴向右平移3个单位长度， ∴，． 设直线对应的函数表达式为：， 将点，点代入中， 得：， 解得，， ∴直线对应的函数表达式为． 题型1 正比例函数的图象 1．正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 2．已知正比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质，根据正比例函数的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、正比例函数的图象是过原点的直线，不是射线，因此A错误； B、当时，随的增大而增大，因此B错误； C、当时，代入得，因此图象必经过点，因此C正确； D、当时，正比例函数图象经过第一、三象限，不经过第二、四象限，因此D错误． 3．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是________． 【答案】/ 【分析】正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：由图象可知：函数①②的图象过第一、三象限，故，， 函数③的图象过第二、四象限，故， 函数②的图象比函数①的图象更靠近轴，故， 综上，，即． 4．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 题型2 正比例函数的性质 5．已知正比例函数的图象经过点，下列说法正确的是（     ） A．函数表达式为，且图象经过第一、三象限 B．函数表达式为，且图象经过第二、四象限 C．函数表达式为，且图象经过第一、三象限 D．函数表达式为，且图象经过第二、四象限 【答案】B 【分析】本题先利用待定系数法求出正比例函数的比例系数，得到函数表达式，再根据的符号判断函数图象经过的象限，即可选出正确选项． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象经过点． ∴ 将代入，得． 解得． ∴ 函数表达式为． 又∵ 对于正比例函数，当时，图象经过第二、四象限，． ∴ 函数图象经过第二、四象限． 因此正确选项为B． 6．若点，在正比例函数的图象上，则y1与y2的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据正比例函数的比例系数判断函数的增减性，因为该函数，所以随的增大而减小，再比较两个点横坐标，即可得到． 【详解】解：∵在正比例函数中，， ∴y随x的增大而减小， 又点，在正比例函数的图象上，且， ∴． 7．若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值_____． 【答案】3（即可） 【分析】由正比例函数图象经过第一、三象限，可得比例系数大于零，解不等式得到的取值范围，任取一个范围内的值即可. 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得， 取符合条件的， 故答案为 （均可）. 8．已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)点，在该函数图象上，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】（1）根据正比例函数的定义，设，运用待定系数法即可求解； （2）根据正比例函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设， 将，代入得：， 解得：， 解析式为：； （2）解：， 随的增大而减小， ， ． 题型3 判断一次函数的图象 9．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图像与之间的关系求解即可． 【详解】解：∵一次函数为， ∴一次项系数， ∴随的增大而增大，排除选项， ∵常数项， ∴一次函数图像与轴相交于负半轴． 10．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 11．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是________________． 【答案】 【分析】此题考查函数的图象，根据一次函数图象的性质分析，了解一次函数图象的性质：当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小．同时注意直线越陡，则越大． 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 12．请根据函数的学习路径，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x 0 1 2 3 4 5 6 y 5 m 1 1 3 n (1)表格中：______，______． (2)根据表格已有数据，描点，连线．在平而直角坐标系中画出该函数图象（可依据题意补方格）． (3)观察图象，回答问题： ①当x_____时，y随x的增大而减小； ②该函数的最小值为______； ③已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______． 【答案】(1)3，5 (2)见解析 (3)①；②；③ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键． （1）将和分别代入解析式求得和的值； （2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象； （3）根据函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，5； （2）解：根据表中数据，描点，连线如图所示： （3）解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小， 故答案为：； ②当时，函数值最小，最小值为． 故答案为：； ③直线过点和，如图所示，   当的取值范围是， 故答案为：． 题型4 根据一次函数解析式判断其经过的象限 13．对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．随的增大而减小 B．它的图象与轴交于点 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性，图象与坐标轴交点求法，象限分布规律，逐个判断选项即可． 【详解】解：A. ∵一次函数中，，∴随的增大而增大，故A错误； B.令，则，解得，∴它的图象与轴交于点，故B错误； C.当时，，即，故C错误； D．∵，，∴它的图象经过第一、二、三象限，故D正确．故选：D． 14．对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．直线与直线平行 B．当时， C．y随x的增大而增大 D．函数的图象不经过第三象限 【答案】C 【详解】解：A选项：直线与直线的相等，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意； B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意； C选项：，则随的增大而减小，原结论错误，符合题意； D选项：，，则一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意． 15．已知一次函数（为常数）的图象不经过第四象限，则实数的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数解析式得到一次项系数的符号，再结合一次函数图象不经过第四象限的条件，确定的取值范围，写出一个符合条件的的值即可． 【详解】已知一次函数解析式为，可得一次项系数， 一次函数的图象不经过第四象限， 常数项，解得， 取符合条件的一个值，得，（答案不唯一，的任意实数均可）． 16．已知一次函数（为常数，）． (1)若该函数的图像经过原点，求一次函数表达式； (2)当时，该函数图像不经过第_______象限． 【答案】(1)； (2)四． 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及函数图像过点求参数、函数图像所在象限等，熟记一次函数图像与性质，数形结合求解是解决问题的关键． （1）将原点代入，解方程求解即可得到答案； （2）根据一次函数图像与性质判定即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过原点， ，解得， ∴一次函数； （2）解：， ∴ 一次函数的函数值随着的增大而增大，该函数图像经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 题型5 已知函数经过的象限求参数范围 17．已知一次函数的图像经过第一、二、三象限，那么（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】一次函数中，时图象经过第一、三象限，截距时图象与轴交于正半轴，经过第二象限． 【详解】解：将函数整理为，可得，截距为， 函数图象经过第一、二、三象限，已经满足图象过第一、三象限，要经过第二象限，需图象与轴交于正半轴，即， 解得． 18．若一次函数的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】根据已知一次函数的位置，结合确定和的取值范围，再根据一次函数性质判断所求函数的象限位置． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， 的图象经过第一，二，四象限， 即一次函数的图象不经过第三象限． 19．已知一次函数，若该函数图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数图象经过第一、三、四象限得到一次项系数大于0，常数项小于0，据此列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解不等式，得， 解不等式，得， 的取值范围是． 20．已知关于的一次函数，分别求满足下列条件的的取值范围： (1)函数值随的增大而减小； (2)函数的图象过第一、三、四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当y随x的增大而减小时，，解得即可得出结论； （2）函数的图象过第一、三、四象限时，，解得即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得， 解得． 题型6 一次函数图象与坐标轴的交点问题 21．一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与轴交点位置判断、的符号，根据两直线交点坐标及图象上下位置关系判断函数值的大小. 【详解】解：由图象可知，与轴交于正半轴， ，故A错误； 与轴交于负半轴， ，故B错误； 两直线交点横坐标为， 当时，，故C错误； 当时，的图象在的图象上方或重合， ，故D正确. 22．一次函数过点，则该直线与坐标轴围成的三角形的面积是________． 【答案】/0.25 【分析】先利用待定系数法，将已知点的坐标代入一次函数解析式求出参数的值，再求出直线与轴和轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式计算得到结果. 【详解】解：将点代入，得， 解得， 因此一次函数的解析式为， 令，得，即直线与轴的交点坐标为 令，得，解得，即直线与轴的交点坐标为 直线与坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边的长度分别为和 根据三角形面积公式，得. 23．直线与x轴交于点A，若将直线绕点A逆时针旋转得到直线．则直线与y轴的交点坐标为______________． 【答案】 【分析】设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点．求出，，由旋转得，，根据含30度的直角三角形性质和勾股定理求出，即得． 【详解】解：设直线与y轴交于C点，直线与y轴交于B点． 在上， 令，则； 令，则； ， ， 由旋转得， ∴， ， ， ． 24．如图，一次函数的图象与轴的正半轴相交于点，与轴相交于点B． (1)求出的值． (2)过点作直线与轴的负半轴相交于点，且，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中，即可求得m的值； （2）求出B、C两个点的坐标，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的正半轴相交于点， ∴， 解得， 即的值为； （2）解：对于，令，得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把两点的坐标代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 题型7 求一次函数自变量或函数值 25．下列四个点中只有一个点不在一次函数的图象上，这个点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先选取两个点求出一次函数的解析式，再将剩余两个点代入解析式验证，不满足解析式的点即为不在图象上的点． 【详解】解：选取点和代入得： ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴当时，则；当时，则； ∴选项C在该一次函数图象上，而选项D不在这个一次函数图象上． 26．已知三点，，在同一条直线上，则 ______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线 的一次函数解析式，再将点坐标代入解析式求出的值即可． 【详解】解：设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点，，在同一条直线上， ∴． 27．对任意实数，直线经过一个定点，这个定点是________． 【答案】 【分析】将原解析式变形为关于的一次式，根据对任意实数等式恒成立，可得的系数为0，计算即可得到定点坐标． 【详解】解：， ， 对任意实数，直线经过一个定点， ，解得， 将代入得， 这个定点为． 28．一个一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中画出该函数的图象； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为， (2)点不在这个一次函数的图象上． 【分析】（1）使用待定系数法，设出一次函数一般式，代入两个已知点坐标得到二元一次方程组，解方程组得到系数即可求出解析式，再通过两点法画出函数图象； （2）利用一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式的性质，将点的横坐标代入解析式计算，比较计算得到的纵坐标和点的纵坐标，即可判断点是否在函数图象上． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为． 将，代入解析式， 得，解得． 因此一次函数的解析式为， 图象略； （2）解：将代入 得． ． 点的坐标不满足该函数解析式． 点不在这个一次函数的图象上． 题型8 画一次函数图象 29．已知一次函数，当时，． (1)求这个一次函数的解析式，并画出此函数的图象； (2)点是此函数图象上的一点．若，求n的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，描点，连线，画出函数图象即可； （2）求出时的函数值，根据图象，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵一次函数，当时，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，， 画出函数图象如图： （2）解：由（1）可知，当时，，随着的增大而减小， ∵点是此函数图象上的一点， ∴． 30．在平面直角坐标系中，画出函数的图像，并写出与坐标轴的交点坐标． 【答案】图象见解析；与坐标轴的交点为，． 【分析】本题考查了一次函数的图象，主要利用了一次函数图象与坐标轴的交点的求法，以及两点法作一次函数图象． 令分别求出与坐标轴的交点，然后利用两点法作出函数图象即可． 【详解】解： 令， 令，则， 解得， ∴与坐标轴的交点为，． 31．（1）画出函数的图象（要求列表、描点、连线）； （2）结合图象，写出该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； （3）求该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1） 见解析；（2）该函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为；（3）2 【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标： （1）根据列表、描点、连线的步骤即可解答； （2）直接观察图象，即可解答； （3）根据三角形的面积公式即可进行解答． 【详解】解：（1）解：列表如下： x 0 1 2 3 y 3 2 1 0 描点、连线，画出函数图象如下： （2）该函数图象与x轴、y轴的交点坐标分别为； （3）该函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为． 32．已知一次函数． (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． … 0 1 … … … (2)结合函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)填表见解析，图见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数的图象，图象法求方程的解，正确的画出函数图象，是解题关键： （1）把自变量的值代入函数解析式，求出相应的函数值，描点，连线画出函数图象即可； （2）直接利用图象法求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 填表如下： … 0 1 … … 3 1 … 描点，连线，画出图象如图： （2）由图象可知，方程的解为； 故答案为：． 题型9 一次函数图象平移问题 33．在平面直角坐标系中，平行于的直线经过点，求这条直线的解析式． 【答案】 【分析】平行直线的一次项系数相等，得到所求直线的一次项系数，再用待定系数法代入已知点坐标求出常数项，即可得到直线解析式． 【详解】解：设平行于的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴这条直线的解析式为． 34．若直线向下平移3个单位长度后的图象经过第一、二、四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据一次函数平移规则求出平移后的解析式，再根据一次函数图象经过第一、二、四象限的性质，得到b的取值范围，进而求出的取值范围，写出一个符合条件的结果即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度，根据平移规则可得平移后的直线解析式为：， 平移后的图象经过第一、二、四象限，一次函数中， ， 解得， 的值可以是（答案不唯一）． 35．已知一次函数的图象经过点和点 (1)求这个函数的表达式； (2)此函数的图象与x轴相交于点 C，求点 C的坐标； (3)直接写出该函数图象向下平移5个单位后的图象表达式． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3) 【详解】（1）解：依题意将点和点代入，得 ， 解得， ∴所求的解析式为； （2）令，则， 解得， ∴点C的坐标为． （3）向下平移5个单位后的图象表达式为：，即． 36．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点． (1)当时，的取值范围是________； (2)将向下平移（）个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点关于轴的对称点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得随的增大而减小，把和代入求解即可； （2）先求出点的坐标为，得出点关于轴的对称点为，设出直线的解析式，代入求解即可； 【详解】（1）的解析式为， ， 随的增大而减小， ， 当时，， 当时，， ； （2）对于直线：，令，则， ， 关于轴的对称点为， 向下平移（）个单位长度得到直线， 直线的解析式为， 直线过点， ， ． 题型10 一次函数图象与对称问题 37．若将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出一次函数的图象经过点，代入计算即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象关于轴对称，对称后所得的图象经过点， ∴一次函数的图象经过点， ∴， 解得． 38．在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 39．在平面直角坐标系中，若直线（，是常数，）与直线关于轴对称，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数解析式、关于轴对称点的坐标特征，熟练掌握利用待定系数法求解析式和关于轴对称点的坐标特征是解题的关键． 根据直线求得其关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求出k和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵直线 令得，解得， 令得，， 则直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 点关于y轴的对称点为， ∵直线（，是常数，）与直线关于轴对称， 将点和代入，得方程组： ， 解得， 则， 故答案为：． 40．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴和轴于，两点． (1)求点和点的坐标． (2)求直线关于轴对称的直线解析式． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别令求解即可； （2）先求出点关于y轴的对称点坐标为，再根据待定系数法求解即可 【详解】（1）解：令，则，解得， 令，则， 所以，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：点关于y轴的对称点坐标为， 设直线关于轴对称的直线解析式为， 把和代入上式得，解得：， ∴． 题型11 一次函数图象与旋转问题 41．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可． 【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得 ∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， 故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为 ， 又图象经过， ∴ 解得． 42．将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 43．已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象； (2)已知下列变换：①向上平移4个单位；②沿x轴翻折；③绕原点按顺时针方向旋转．能使该函数图象经过一种变换后过点的有 （ 填写所有符合要求的序号）． 【答案】(1)见解析 (2)①②③ 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、一次函数的平移和轴对称、点的旋转变换等知识，熟练掌握各种变换是解题的关键． （1）求出一次函数与y轴的交点和与x轴的交点，画直线即可得到答案； （2）把函数变换后验证是否过点即可． 【详解】（1）解：当时，，得到直线与y轴的交点为， 当时，，，得到直线与x轴的交点为， 在直角坐标系中描出点和，过这两点画直线，即为的图象，如图所示： ； （2）①向上平移4个单位，平移后解析式：， 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ②沿x轴翻折 翻折后解析式：，即 代入得到， ∴函数图象经过变换后过点． ③绕原点按顺时针方向旋转， 设原函数上任意一点旋转后对应点为，旋转的坐标变换为，即， 代入原函数，得，整理得， 代入：， ∴函数图象经过变换后过点． 综上，能使函数图象经过变换后过点是①②③． 故答案为：①②③． 44．【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点． 求证：≌； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______； 将点绕坐标原点逆时针旋转，得到点，则点坐标为______． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为______． 【综合运用】 （4）将函数的图象先向上平移个单位，再向左平移个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转，所得图象相应的函数表达式为______． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4） 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，旋转的性质，借助（1）的结论是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等判断出，即可得出结论； （2）利用（1）的结论判断出，，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）先求出点，的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可得出结论； （4）先求出平移后的直线的解析式，再借助（2）的方法得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ，， 同（1）的方法知，， ，， ， 同求点的方法得，， 故答案为，； （3）解：如图， 令，则， ， ，令，则， ， ， ， 将直线绕它与轴的交点逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于， 同（2）的方法得，， ，， ， 点绕点逆时针旋转的对应点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：； （4）解：如图， 直线先向上平移个单位的解析式为，再向左平移个单位的解析式为，得到直线的解析式为， 取直线的一点， 绕着坐标原点逆时针旋转， 同的方法得，直线上的点绕原点逆时针旋转的对应点， 设旋转后的直线的解析式为， ， ， 旋转后的直线的解析式为， 故答案为：． 题型12 判断一次函数的增减性 45．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象必经过点 B．图像经过第一、三、四象限 C．当时， D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵一次函数解析式为， 对于A选项，当时，， ∴图像不经过点，A错误； 对于B选项，∵，， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，B错误； 对于C选项，令，可得， 解得， ∴当时，，C正确； 对于D选项，∵， ∴ 随 的增大而减小，D错误． 46．对于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数的图象不经过第三象限 B．函数的图象与轴的交点坐标是 C．函数的图象向右平移2个单位向下平移4个单位长度得的图象 D．函数值随自变量的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，函数图象与坐标轴交点的求法，函数图象平移的法则，逐个判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． A选项：，，函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A结论正确． B选项：令，则，解得，函数图象与轴的交点坐标是，B结论正确． C选项：根据图象平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的原则，函数向右平移2个单位，向下平移4个单位后，解析式为，化简得，不是，C结论错误． D选项：，函数值随自变量的增大而减小，D结论正确． 47．已知一次函数，当时，函数值y的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值，一次函数的增减性．先求出当，时的函数值，再判断出y随x增大而减小即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 48．已知函数是一次函数． (1)求m的值； (2)画出该一次函数的简易草图，并写出函数增减性． 【答案】(1) (2)如图， 随的增大而减小， 【分析】（1）根据，求m的值即可； （2）根据解析式求出两个点的坐标，过这两点作直线即可，根据k值的属性写出增减性即可． 【详解】（1）解：函数是一次函数， ， ， ． （2）解：， 故函数解析式为：， 故y随x的增大而减小， 当时，；当时，，画图象草图略， 题型13 根据一次函数增减性求参数 49．若一次函数 的图象与y轴交点在x轴的上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D．a为任意实数 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合题目给出的两个条件，分别列出关于的不等式，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：对于一次函数 ， ∵随的增大而减小， ∴ ， 解得 ． 又∵函数图象与轴交点在轴上方， 当时， ，交点在轴上方即， ∴， 解得 ． ∴ ． 50．已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点、，如果，那么k的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，且， ∴y随x增大而减小， ∴． 任写负数即可，如． 51．已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)请从以下取值范围中选择一个：①；②；③，根据（1）中的函数解析式求出对应函数值的取值范围． 【答案】(1)； (2)若选择①，；若选择②，；若选择③， 【分析】（1）将已知两点代入解析式解方程组即可得到参数值； （2）先根据一次项系数的正负判断一次函数的增减性，再代入取值范围的端点计算，即可得到的对应取值范围． 【详解】（1）解：（1）将点，代入一次函数， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：， 随的增大而增大， ①：当时，， 当时，， 对应函数值的取值范围为； ②：当时，， 当时，， 对应函数值的取值范围为； ③：当时，， 当时，， 对应函数值的取值范围为． 52．已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为_______． (2)当的值为______时，函数图象与直线平行； (3)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是________； (4)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)2或 【分析】（1）根据一次函数中，时，函数是正比例函数，可得答案． （2）根据一次函数图象平行时，的值相等列方程求解即可； （3）根据一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，可得答案． （4）①根据一次函数中，时，y随x的增大而增大，则当时，最大值是4，②根据一次函数中，时，y随x的增大而减小，则当时，最大值是4，可得答案． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数与直线平行， ∴， 解得：； （3）解：∵函数图象不经过第一象限， ∴， 解得； （4）解：①当时，即时，y随x的增大而增大， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得； ②当时，即时，y随x的增大而减小， ∴当时，最大值是4， ∴， 解得． 综上，m的值为2或． 题型14 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 53．已知点、、是一次函数图象上的三点，则在、、中最大的数是（     ） A． B． C． D．以上均有可能 【答案】A 【分析】先根据一次函数的比例系数判断函数增减性，再根据三点纵坐标的大小比较横坐标的大小即可． 【详解】∵一次函数 中，比例系数 ， ∴随的增大而减小，即纵坐标越小，对应的横坐标越大， 比较三点的纵坐标可得：， ∴对应横坐标的大小关系为：， ∴是三个数中最大的数． 54．一次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②若点与都在直线上，则；③函数图象不经过第四象限．其中正确的说法是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：图象经过第一、二、三象限， ，， ，故①③正确； ②由图象知，y随x增大而增大．点与都在直线上， ， ∴，故②错误； 综上，正确的说法是①③． 55．已知点和点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的解析式，，因此随的增大而减小．点的纵坐标小于点的纵坐标，故点的横坐标大于点的横坐标． 【详解】解：∵中，， ∴随的增大而减小． ∵点和点都在一次函数的图象上， ∴ 故答案为：． 56．已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小，且为整数． (1)求的值； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据增减性和图象与轴的交点，得到且，再根据为整数即可求解； （2）结合（1）的结果，得到函数解析式，即可得到的范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴的负半轴相交，随的增大而减小， ∴且，解得：， ∵为整数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，则， 当时，，则， ∴． 题型15 比较一次函数值的大小 57．已知、是一次函数图象上的两点，若，且，则与的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】将P，Q两点坐标代入一次函数解析式，得到s和t的表达式，计算得到结果等于k，再结合已知不等式判断k的正负，通过差的正负比较s和t的大小． 【详解】解：∵、在一次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， 解得， ∴，即 解得， ∴，即． 58．已知点都在函数图像上，则的大小关系是_____．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先得到一次函数的增减性，然后根据确定函数值的大小解答即可． 【详解】在函数 中， ∵ ， ∴随的增大而减小， ， 即 ， ∴． 59．在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与直线平行，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线平行，得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求得当时，；当时，；再根据可知，随的增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数：的图象与直线平行， ∴， 将点代入中，得，解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）解：当时，； 当时，； ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． 60．已知函数． (1)当为何值时，是的一次函数？并求出这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个函数图象上； (3)点，在该函数图象上，若，用函数的性质说明，的大小关系． 【答案】(1)当时，是的一次函数； (2)在，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，比较一次函数值的大小，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，所对应的的值，即可得到答案； （3）根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得， 即当时，是的一次函数； 此时，， ∴y与x之间的函数解析式为． （2）解：对于， 当时，， ∴点在这个函数图象上． （3）解：对于， ∵， ∴y随x的增大而减小． ∵点，在该函数图象上，且， ∴＜． 题型16 一次函数的规律探究问题 61．在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． 62．正方形、，…按如图所示的方式放置．点、、…和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 63．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据题意，先找到点，，横纵坐标的规律，然后由求解即可． 【详解】解：∵过点作轴的垂线交于点， ∴， 把代入得，即， 把代入得，即， 同理可得，，，… ∵，， ∴ ∵ ∴点的坐标为，即． 64．正方形、、的边长分别为，按如图的方式依次放置，点、、在轴上，点、、在直线上． (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出点、的坐标； (3)猜想点的坐标为______． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、正方形的性质． （1）根据已知条件先求出、的坐标，设直线的解析式为，代入求解即可； （2）根据已知条件先求出、，同理可得出、的坐标； （3）总结（2）中的规律可得出的坐标． 【详解】（1）解：∵正方形、的边长分别为， ∴，， 设直线的解析式为， ∵点、在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：∵的边长为1， ∴， ， 在直线上， ， ， 同理可得， ∴，； （3）解：由（2）中规律可得：， 故答案为：． 1．正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正比例函数的性质得到，所以，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】解：正比例函数的函数值随的增大而减小， ， ， 的图象经过第一、三象限，与轴的交点在轴的负半轴． 故选：C． 2．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（） A．图象是经过第一、二、四象限的一条直线 B．随的增大而减小 C．若点、在该函数的图象上，则 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，增减性，以及与坐标轴围成三角形的面积计算，根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于一次函数，可得，， 、∵，， ∴图象经过第一、二、四象限，该选项正确，不符合题意； 、∵， ∴随的增大而减小，该选项正确，不符合题意； 、∵随的增大而减小，且， ∴，该选项正确，不符合题意； 、令，得，解得，即图象与轴交于； 令，得，即图象与轴交于， ∴图象与坐标轴围成的三角形面积为，该选项错误，符合题意． 3．如图，直线与直线相交于点，与轴正半轴交于点．关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合观察直线在直线的下方时所对应的自变量的取值范围即不等式的解集． 【详解】解：由函数图像可知：当时，． 4．一次函数的函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，则k的取值范围（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质求解，根据y随x增大而增大得到一次项系数的范围，根据图象不经过第二象限得到的范围，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵函数值随的增大而增大， ∴一次项系数满足，解得， ∵函数图象不经过第二象限， ∴满足，解得， ． 5．如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将纵坐标代入正比例函数求出交点的横坐标，得到交点坐标，再根据两直线图象位置关系，交点右侧一次函数图象更高，得出对应不等式解集． 【详解】解：∵点在直线上，且纵坐标为， 把代入得：， 解得， ∴交点坐标为， 直线的图象在直线上方时，对应的的取值范围， 从图中可知：在交点的右侧，即时，在上方，满足不等式， ∴不等式的解集为． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，若直线与线段有公共点，则n的值不可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出直线与线段的交点横坐标，再根据直线与线段有公共点，确定n的取值范围，最后结合选项即可解答． 【详解】解：∵点、的纵坐标均为3， ∴线段平行于x轴，且所在直线方程为， 令代入得，解得， ∴直线与线段的交点坐标为， ∵直线与线段有公共点，且由图可知点B在点A右侧，即， ∴交点的横坐标应满足， ∴， ∵， ∴n的值不可能是1． 7．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，点在的内部，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标，根据点P在△AOB内部，可知点P的横、纵坐标均大于0，且点P在直线的下方，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：令，则，∴， 令，则，∴， ∵点在的内部， ∴点P在第一象限且在直线下方， ∴， 解得：． 8．在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求出平移前后一次函数与y轴的交点坐标，再根据对称关系列方程求解即可． 【详解】解：对于一次函数，令，得， ∴点的坐标为，将函数图象向下平移2个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为，令，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴， 解得． 9．若一次函数的图象不经过第二象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】根据已知一次函数的位置，结合确定和的取值范围，再根据一次函数性质判断所求函数的象限位置． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， 的图象经过第一，二，四象限， 即一次函数的图象不经过第三象限． 10．如图所示，已知正比例函数和，过点作x轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交于B，C两点，若，则的面积为_____． 【答案】24 【分析】利用正比例函数图象上点的坐标特征，求出点，的坐标，进而可求出的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出的面积． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为． ． 又点的坐标为， ， ． 11．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积． 【详解】当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 12．若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解． 【详解】解：解方程 ，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， 解得， ∴的取值范围是， ∴符合条件的整数为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 13．已知一次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围是．求该一次函数的表达式___________． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数的表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中随增大而增大， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中随增大而减小， 所以当时，当时，代入得， 解得， 此时一次函数的表达式为； 综上所述，该一次函数的表达式是或． 14．如图，直线的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，…，，构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为，，，…，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，分别求出，，，然后找出规律，即可求出结果． 【详解】解：∵，，，，…，， ∴， ， ， …… ∴， ∴． 15．如图，直线：与x轴交于点，直线：与y轴交于点． (1)求k，b； (2)将直线向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点C，当时，求t的值． 【答案】(1)； (2)4 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）设的解析式为，根据题意，得或，由此求解即可． 【详解】（1）解：直线：与x轴交于点， ， 解得； 直线：与y轴交于点， ， 解得． （2）解：根据题意，得直线：， 将直线向上平移t个单位长度（）得到， 则的解析式为， 令，得， 解得， 与x轴交于点C， 故， ，， 故或， 解得或， ， 故舍去， 故． 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求这个一次函数的解析式及点的坐标： (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）由一次函数平移，确定；将代入解析式求出，得到函数式；平行于轴且过的直线为，联立函数式计算横坐标，得到点坐标． （2）根据题意列不等式，变形为；结合，求出的取值上限，得到的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数由平移得到， ， ， 图象经过点， ， 解得， 一次函数解析式为：， 过且平行于轴的直线为， 令代入， ， 解得， 点的坐标为； （2）解：由题意得： ∴， ， ， ， ∵要保证时，恒成立， ． 17．为了画一次函数的图象，嘉嘉在列表过程中的两组对应值如下． (1)①将表格补充完整； ②在坐标系中描出以表格中，的值为坐标的两个点，并画出一次函数的图象； (2)若点，在一次函数的图象上，当时，________（填“”“”或“”）； (3)将一次函数的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，请直接写出平移后直线的表达式． 【答案】(1)①表格如下： ② (2) (3) 【分析】（1）①把、代入求解即可； ②描点作图即可； （2）根据函数图象作答即可； （3）根据平移规律作答即可． 【详解】（1）解：①把代入，解得； 把代入，解得； 表格略； ②作图略； （2）解：由函数图象可知随增大而增大， 因此当​时，； （3）解：原函数向上平移3个单位得：， 再向右平移1个单位得：， 因此平移后直线表达式为：． 18．如图，正比例函数（）的图象与一次函数（）的图象相交于点．且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求正比例函数和一次函数的解析式； (2)若为正比例函数的图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用三角形面积公式求得，由题意得，设点的坐标为，再分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴正比例函数的解析式为； 将和代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则，解得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设点的坐标为， 当点在线段上时，， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； 当点在线段延长线上时，， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 19．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且，且点D的纵坐标为． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请直接写出坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】（1） 利用证明，得到，，再根据直线的解析式求出、坐标，进而得到坐标；然后利用待定系数法求直线的解析式．   （2）以为底、为高计算的面积．   （3）利用三角形三边关系，当点在直线与轴的交点处时，取最大值，由勾股定理求的长． 【详解】（1）解：作轴于点，   ，，，   ∴（），   ，．   由，令得 ， ，；   令得， 解得， ，．   ，，，   点的坐标为．   设直线的解析式为，   代入和得：      解得，，   直线的解析式为． （2）解：由，得 ，   由得，且，   ． （3）解：存在．   延长交轴于点， 则的最大值为线段的长．   令代入得 ， ．   在中，，，   由勾股定理得 ．   点的坐标为时，的最大值为． 20．如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C，，连接．点为线段上的一个动点，连接． (1)求直线的解析式； (2)若将的面积分为两部分，求点P的坐标； (3)点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，再分两种情况讨论求解即可； （3）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， ，即． 将点，代入得， ， 解得：，． 直线的解析式为； （2）解：在中，令，则， ，． ， ． 点P是线段AC上的动点， ． ①当时，，解得． 点在直线上， ，符合题意， ． ②当时：解得． 点在直线上， ，符合题意， ． 综上，点P的坐标为或； （3）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $