精品解析：四川省广元市树人中学等校2025－2026学年七年级下学期数学期末试卷

七年级下数学期末试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是（ ） A. 本次调查采用的是抽样调查 B. 每个运动员是个体 C. 样本容量为50 D. 50名运动员的年龄是总体的一个样本 3. 若点位于第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 参赛学生人数为8人 B. 最高分为100分 C. 最高分与最低分的差是15分 D. 参赛学生得100分的频率为0.2 5. 如图，将沿方向平移得到，连接．如果四边形的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如果的算术平方根是3，那么的立方根是_____． 12. 如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 13. 已知等腰三角形两边长分别为a和b，且满足，则等腰三角形的周长是 ____． 14. 如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 15. 如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________． 16. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为__________ 三．解答题（共10小题，满分96分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和． 19. 为了制定更加合理的用水管理方案，某市对居民生活用水情况进行了调查，下图是通过简单随机抽样调查获得的若干户家庭去年的月均用水量（单位：吨）的频数分布直方图和扇形统计图（月用水量设为x，其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：） 请结合图中所给信息，解决下列问题： （1）本次共调查了______户家庭去年的月均用水量；扇形统计图中______，B组所对应圆心角的大小为______度； （2）补全频数分布直方图； （3）为了鼓励居民节约用水，现计划确定一个月的用水量标准为14吨/月，低于这个标准的居民收费不受影响，超过部分按1.5倍价格收费，某市共有居民1200万户，根据以上信息，估计该市不受影响的家庭总户数． 20. 已知的平方根为，的立方根为2． （1）求a和b的值； （2）若c是的整数部分，求的平方根． 21. 如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的? （2）连接，直接写出与之间的数量关系； （3）若点是三角形ABC内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 22. 如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 23. 如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 25. [定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． （1）求三点的坐标； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下数学期末试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在下列实数中，最小的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．根据实数大小比较法则作答即可． 【详解】解：，， ， 最小的实数是， 故选：B． 2. 为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是（ ） A. 本次调查采用的是抽样调查 B. 每个运动员是个体 C. 样本容量为50 D. 50名运动员的年龄是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计调查中的基本概念，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、调查仅抽查了50名运动员的年龄，属于抽样调查，说法正确，选项错误； B、个体是每个运动员的年龄，而非运动员本身，说法错误，选项正确； C、样本容量为被抽取的个体数50，说法正确，选项错误； D、样本是50名运动员的年龄数据，属于总体的一个样本，说法正确，选项错误； 故选：B． 3. 若点位于第三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查各象限内点的坐标特点，解一元一次不等式， 根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均需为负数，由此建立不等式组求解． 【详解】∵点在第三象限， ∴横坐标，纵坐标． 解不等式，得； 解不等式，得． 两个不等式的解集取交集，得． 故选D． 4. 我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法错误的是（ ） A. 参赛学生人数为8人 B. 最高分为100分 C. 最高分与最低分的差是15分 D. 参赛学生得100分的频率为0.2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，频数与频率，理解折线统计图是解题关键．结合折线统计图逐项判断即可． 【详解】解：A、参赛学生人数为人，说法错误，符合题意； B、最高分为100分，说法正确，不符合题意； C、最高分与最低分的差是分，说法正确，不符合题意； D、参赛学生得100分的频率为，说法正确，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，将沿方向平移得到，连接．如果四边形的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平移的性质可知，，，再结合四边形的周长求出，即可得到答案． 【详解】解：由平移的性质可知，，， 四边形的周长为， ， ， ，即的周长为． 6. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：， ∴ 对于A，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，可得，该选项正确． 对于B，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，可得，该选项错误． 对于C，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，可得，该选项错误． 对于D，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，可得，该选项错误． 7. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、添加，不能证明，原选项符合题意； 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和线段的平移，解题的关键是通过平移得到平行四边形． 作出图形，结合图形进行分析可得． 【详解】解： 如图所示，根据题意可以作出平行四边形的最后一个顶点， 将点向右平移4个单位长度可得 将点向右左平移4个单位长度可得； 将点向下平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度可得； 故符合题意的是D选项， 故选：D. 9. 如图，边长为x的两个正方形靠边各放置两个边长为a，b的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得x的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个图形分别可得，，两个等式消去a与b即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ，得， 解得， 故选：B 【点睛】本题考查了根据几何图形列方程组得问题，读懂题意是解题的关键． 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对顶角，三角形的外角以及平行线的性质，对顶角求出的度数，三角形的外角，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴， ∴； 故选D． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 如果的算术平方根是3，那么的立方根是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根，根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴的立方根为1； 故答案为：1． 12. 如图，在中，为的中点，，，且，则为____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，再根据得出，，即可求出的面积，再由，即可求出的面积． 【详解】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ． 13. 已知等腰三角形两边长分别为a和b，且满足，则等腰三角形的周长是 ____． 【答案】7 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，． ∴当1为等腰三角形的腰时，，不满足三角形的三边关系； 当3为等腰三角形的腰时，满足三角形的三边关系，此时三角形的周长． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，正确使用分类讨论的思想是解答此题的关键． 14. 如图，数轴上点所表示的数为，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：，由勾股定理可得，则，然后由图象可得，即可得到答案． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点， ∴， 由图象可知，， ∴由勾股定理可得：， ， ， ． 15. 如图，为测量信号塔（垂直于地面）的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明 ，从而得出，最后利用线段的和差关系求解. 【详解】解：∵， 在中，， 即， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（），为折痕，若，则的度数为__________ 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的性质，可以得到，再根据和折叠的性质，即可得到的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分96分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、绝对值等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先根据算术平方根、实数的混合运算、立方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为，整数解的和为 【解析】 【分析】本题考查了求解不等式组的知识，先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，然后得到整数解求和即可作答． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组，，， ∴不等式组的所有整数解的和是． 19. 为了制定更加合理的用水管理方案，某市对居民生活用水情况进行了调查，下图是通过简单随机抽样调查获得的若干户家庭去年的月均用水量（单位：吨）的频数分布直方图和扇形统计图（月用水量设为x，其中A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，F组：） 请结合图中所给信息，解决下列问题： （1）本次共调查了______户家庭去年的月均用水量；扇形统计图中______，B组所对应圆心角的大小为______度； （2）补全频数分布直方图； （3）为了鼓励居民节约用水，现计划确定一个月的用水量标准为14吨/月，低于这个标准的居民收费不受影响，超过部分按1.5倍价格收费，某市共有居民1200万户，根据以上信息，估计该市不受影响的家庭总户数． 【答案】（1），， （2）补图见解析 （3）万户 【解析】 【分析】（1）根据A组的频数和百分比得到抽取的总数，进而求出C组所占百分比和B组的圆心角； （2）求出B组的频数补图即可； （3）用样本中的低于用水量标准的百分比去乘以该市居民户数即可． 【小问1详解】 解：本次共调查户数为：， ， B组所对应圆心角为：， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：B组户数为：，补图为： 【小问3详解】 该市不受影响的家庭总户数为：(万户) 答：该市不受影响的家庭总户数为万户． 【点睛】本题考查频数直方图和扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20. 已知的平方根为，的立方根为2． （1）求a和b的值； （2）若c是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的意义可得，，即可求，的值； （2）先算出的整数部分，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ，， ，． 【小问2详解】 解：， ， 的整数部分为，即， 由（1）得，， ，而的平方根为， 的平方根． 21. 如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点A与点，点B与点，点C与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点B和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的? （2）连接，直接写出与之间的数量关系； （3）若点是三角形ABC内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求a和b的值． 【答案】（1）B ， ，平移方式：先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度； （2） （3）的值是3，的值是4 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平移前后点的坐标判断平移方式，平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的规律． （1）根据点在坐标轴的位置得到点B的坐标为，点的坐标为， 由此即可得到平移方式； （2）由平移的性质可得，则，再根据轴，得到，则； （3）根据平移方式可以得到，，由此求解即可． 【小问1详解】 解：由题图知，点B的坐标为，点的坐标为，， ∴三角形是由三角形先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的． 【小问2详解】 与之间的数量关系为， 解：由平移的性质可得， ∴， ∵点B的坐标为，点的坐标为， ∴轴， ∴， ∴， ∴与之间的数量关系为； 【小问3详解】 解：由平移方式可得是点先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的， ∴，，， ∴，， ∴的值是3，的值是4． 22. 如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 【答案】 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即是的平分线． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，余角的性质等知识，根据角平分线的定义得出，利用垂直的定义可得出，利用余角的性质可得出，利用平行线的性质可得出，，等量代换可得出，即可得证． 【详解】略 23. 如图，的外角，的平分线，相交于点P，于点E，于点F． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． （1）过P作于G，根据角平分线性质得出，，得出答案即可； （2）根据角平分线的判定得出平分，根据角平分线定义得出，根据三角形外角性质得出，根据，得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． （1）求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； （2）共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元，根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元建立方程组求解即可； （2）设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆，根据购车资金不超过380万元，购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83万元建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆． 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴m的值为3或4或5； ∴共有三种购买方案，利润为万元 当时，利润为万元； 当时，利润为万元； 当时，利润为万元； 答：共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 25. [定理]如图1，因为于B，于D，；所以___________． [运用]如图2，在四边形中，，求证：平分． [拓展]如图3，在等边中，，且；求的度数． 【答案】[定理] 平分；[运用]证明见解析；[拓展] 【解析】 【分析】本题考查角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质； [定理]直接证明，得到，即平分； [运用]过C点于E，作，交延长线于点H，证明，得到，根据角平分线判定定理可得平分； [拓展]过作于，过作于，于，先有等边三角形得到，得到，，由等腰三角形的判定和性质可得，，此时同[运用]的模型一样，证明，得到，平分，由得到垂直平分，得到，求出，最后由求解即可． 【详解】[定理]解：∵，，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； [运用]证明：过C点于E，作，交延长线于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． [拓展]解：过作于，过作于，于， ∵等边， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∵ ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足关系式． （1）求三点的坐标； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）； （3）存在，点的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：存在，设点的坐标为， 当时，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点的坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $