四川省广元市树人中学等校2025－2026学年七年级下学期数学期末试卷

**基本信息** 七年级下数学期末试卷，以核心素养为导向，覆盖实数、几何、统计等知识，通过新能源汽车销售、低碳生活等真实情境，设计基础到综合的梯度题目，适配期末测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数比较、抽样调查、坐标系象限|基础概念辨析，如第2题考查统计术语| |填空题|6/24|算术平方根、三角形中线、折叠性质|几何性质应用，如第16题折叠求角度| |解答题|10/96|统计分析、几何证明、方程与不等式|综合情境应用，如24题新能源汽车进价与利润问题；逻辑推理，如25题几何定理拓展|

七年级下数学期末试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在下列实数中，最小的是（　　） A． B． C．0 D． 2．为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是（　　） A．本次调查采用的是抽样调查 B．每个运动员是个体 C．样本容量为50 D．50名运动员的年龄是总体的一个样本 3．若点位于第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图1所示的折线统计图，则下列说法错误的是（　　） A．参赛学生人数为8人 B．最高分为100分C．最高分与最低分的差是15分 D．参赛学生得100分的频率为0.2 5．如图，将△沿方向平移得到△，连接．如果四边形的周长为，则△的周长是（　　） （7题） A． B． C． D． 6．若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定△△的是（　　） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A． B． C．D． 9．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为，的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是（　　） A．80 B．75 C．70 D．65 10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．如果的算术平方根是3，那么的立方根是　　 ． 12．如图，在△中，为的中点，，，且，则为　　． 13．已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是 　　． 14．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为　　 ． 15．如图，为测量信号塔（垂直于地面的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为　 　． 16．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 　　． 三．解答题（共10小题，满分96分） 17．（6分）计算：． 18．（8分）解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和． 19．（9分）为了制定更加合理的用水管理方案，某市对居民生活用水情况进行了调查，如图是通过简单随机抽样调查获得的若干户家庭去年的月均用水量（单位：吨）的频数分布直方图和扇形统计图（月用水量设为，其中组：，组：，组：，组：，组：，组： 请结合图中所给信息，解决下列问题： （1）本次共调查了　　 户家庭去年的月均用水量；扇形统计图中　　 ，组所对应圆心角的大小为　　 度； （2）补全频数分布直方图； （3）为了鼓励居民节约用水，现计划确定一个月的用水量标准为14吨月，低于这个标准的居民收费不受影响，超过部分按1.5倍价格收费，某市共有居民1200万户，根据以上信息，估计该市不受影响的家庭总户数． 20．（9分）已知的平方根为，的立方根为2．（1）求，的值；（2）若是的整数部分，求的平方根． 21．（9分）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； （2）连接，直接写出与之间的数量关系　　； （3）若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求和的值． 22．（9分）如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 23．（10分）如图，△的外角，的平分线，相交于点，于点，于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 24．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．（1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？（2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的型汽车数量不少于型汽车数量的3倍．假设每辆型汽车的售价为30万元，每辆型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 25．（12分）【定理】如图1，因为于点，于，，所以 　　 ． 【运用】如图2，在四边形中，，，求证：平分． 【拓展】如图3，在等边△中，，且，求的度数． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，，满足关系式． （1）求，，三点的坐标； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 七年级下数学期末试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．在下列实数中，最小的是（　　） A． B． C．0 D． 【分析】根据实数大小比较法则作答即可． 【解答】解：，， 最小的实数是， 故选：． 【点评】本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2．为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中错误的是（　　） A．本次调查采用的是抽样调查 B．每个运动员是个体 C．样本容量为50 D．50名运动员的年龄是总体的一个样本 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．据此逐项判断即可． 【解答】解：、选项事件属于抽样调查，选项说法正确，不符合题意； 、个体是每个运动员的年龄，而非运动员本身，说法说法错误，符合题意； 、样本容量为被抽取的个体数50，选项说法正确，不符合题意； 、样本是50名运动员的年龄数据，属于总体的一个样本，选项说法正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握全面调查与抽样调查的使用特征是关键． 3．若点位于第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据第三象限内点的坐标特征，横坐标和纵坐标均需为负数，由此建立不等式组求解． 【解答】解：点在第三象限， ， 解不等式，得； 解不等式，得． 故不等式组的解集为：． 故选：． 【点评】本题考查的是点的坐标，解一元一次不等式，熟知第三象限内点的坐标特点是解题的关键． 4．我校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图1所示的折线统计图，则下列说法错误的是（　　） A．参赛学生人数为8人 B．最高分为100分 C．最高分与最低分的差是15分 D．参赛学生得100分的频率为0.2 【分析】将各个分数的人数相加，得到参赛学生人数，从而判断选项；由折线统计图可直接判断选项；从折线统计图得到最高分与最低分，求差判断选项；将参赛学生得100分的人数除以总人数，即可判断选项． 【解答】解：、（人， 参赛学生人数为10人．故本选项说法错误； 、由折线统计图可得，最高分为100分．故本选项说法正确； 、最高分为100分，最低分为8（5分），它们的差为（分．故本选项说法正确； 、参赛学生得100分的由2人，其频率为．故本选项说法正确． 故选：． 【点评】本题考查折线统计图，读懂统计图是解题的关键． 5．如图，将△沿方向平移得到△，连接．如果四边形的周长为，则△的周长是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平移的性质可知，，，再结合四边形的周长求出△的周长，即可得到答案． 【解答】解：将△沿方向平移得到△， ，， 四边形的周长为， △的周长为， △的周长为． 故选：． 【点评】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等是解题关键． 6．若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【解答】解：、若，可得，选项变形正确，符合题意； 、若，可得，选项变形错误，不符合题意； 、若，可得，选项变形错误，不符合题意； 、若，得，选项变形错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 7．如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定△△的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据已知可以得到，，然后再分别判断各个选项中的条件能否使得△△即可． 【解答】解：，， 若添加，则△△，故选项不符合题意； 若添加，则△△，故选项不符合题意； 若添加，则△△，故选项不符合题意； 若添加条件，无法判定△△，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：、、、． 8．在平面直角坐标系中，点，，是某平行四边形的三个顶点，下列各点中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用图象法求解即可． 【解答】解：平行四边形的第四个顶点坐标为或或． 故选：． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形性质，解题的关键是学会利用图象法解决问题． 9．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个边长为，的长方形，然后分别以，构造两个大正方形，根据图中的数据，可求得的值是（　　） A．80 B．75 C．70 D．65 【分析】根据两个图形分别可得，，联立方程组求解即可． 【解答】解：由题意得：， ①②得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 10．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角求出的度数，三角形的外角，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【解答】解：，， ， 光线平行于主光轴， （两直线平行，同旁内角互补）， ； 故选：． 【点评】本题考查对顶角、邻补角，平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11．如果的算术平方根是3，那么的立方根是　1　 ． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义，进行求解即可． 【解答】解：的算术平方根是3， ， ， 的立方根为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查算术平方根，立方根，掌握相应的定义是关键． 12．如图，在△中，为的中点，，，且，则为　3　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出， 再根据得出，，即可求出△的面积，再由，即可求出△的面积． 【解答】解：为的中点，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、角平分线和高，熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键． 13．已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是 　7　． 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论． 【解答】解：， ，， 解得，． 当1为等腰三角形的腰时，，不满足三角形的三边关系； 当3为等腰三角形的腰时，符合题意，此时三角形的周长． 故答案为：7． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，学会用分类讨论的思想是解答此题的关键． 14．如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为 ． 【分析】由题意可知，再由勾股定理得，则，然后由图象得，，即可解决问题． 【解答】解：由题意可知，， 由勾股定理得：， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理以及实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15．如图，为测量信号塔（垂直于地面的高度，小明首先在信号塔前的地面上选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上移动，使时竿子停止移动，此时测得，则信号塔的高度为　9.5　 ． 【分析】先利用三角形内角和定理求出的度数，发现，结合已知直角和边长相等，利用证明△△，从而得出，最后利用线段的和差关系求解． 【解答】解：由三角形内角和定理可得，， 即， 在△与△中， ， △△， ， ， ． 故答案为：9.5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证明△△． 16．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为 　　． 【分析】根据平行线的性质，可以得到，，再根据和折叠的性质，即可得到的度数，本题得以解决． 【解答】解：如图所示， 长方形的两条长边平行，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三．解答题（共10小题，满分96分） 17．（6分）计算：． 【分析】先根据算术平方根、实数的混合运算、立方根化简，然后再计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 18．（8分）解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解的和． 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，然后得到整数解求和即可作答． 【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为1，2，3， 不等式组的所有整数解的和是． 【点评】本题考查了求解不等式组的知识，熟练掌握该知识点是关键． 19．（9分）为了制定更加合理的用水管理方案，某市对居民生活用水情况进行了调查，如图是通过简单随机抽样调查获得的若干户家庭去年的月均用水量（单位：吨）的频数分布直方图和扇形统计图（月用水量设为，其中组：，组：，组：，组：，组：，组： 请结合图中所给信息，解决下列问题： （1）本次共调查了　50　 户家庭去年的月均用水量；扇形统计图中　　 ，组所对应圆心角的大小为　　 度； （2）补全频数分布直方图； （3）为了鼓励居民节约用水，现计划确定一个月的用水量标准为14吨月，低于这个标准的居民收费不受影响，超过部分按1.5倍价格收费，某市共有居民1200万户，根据以上信息，估计该市不受影响的家庭总户数． 【分析】（1）根据组的频数和百分比得到抽取的总数，进而求出组所占百分比和组的圆心角； （2）求出组的频数补图即可； （3）用样本中的低于用水量标准的百分比去乘以该市居民户数即可． 【解答】解：（1）组的频数为5，占比为，故本次共调查户数为：， ， 组所对应圆心角为：， 故答案为：50，30，72； （2）组户数为：，补图为： （3）该市不受影响的家庭总户数为：（户 答：该市不受影响的家庭总户数为720户． 【点评】本题考查频数分布直方图和扇形统计图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（9分）已知的平方根为，的立方根为2． （1）求，的值； （2）若是的整数部分，求的平方根． 【分析】（1）根据平方根，立方根的意义可得，，从而可得，，（2）估算出的值的范围，从而求出的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知，， 解得：，． （2）， ， 的整数部分为3，即， ， 而25的平方根为， 的平方根． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键． 21．（9分）如图，三角形是由三角形经过某种平移得到的，点与点，点与点，点与点分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题： （1）分别写出点和点的坐标，并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的； （2）连接，直接写出与之间的数量关系　　； （3）若点是三角形内一点，它随三角形按（1）中方式平移后得到的对应点为点，求和的值． 【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离； （2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解； （3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于、的方程，解之求得、的值． 【解答】解：（1）由图知，，， 三角形是由三角形向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的； （2）与之间的数量关系． 故答案为：； （3）由（1）中的平移变换得，， 解得，． 故的值是3，的值是4． 【点评】本题主要考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 22．（9分）如图，，，，．若是的平分线，求证：是的平分线． 【分析】由角平分线的定义得出，由垂直的定义得出，于是有，，从而得出，再根据平行线的性质即可证得． 【解答】证明：是 的平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的平分线． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 23．（10分）如图，△的外角，的平分线，相交于点，于点，于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【分析】（1）由角平分线的性质推出，，得到； （2）由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由三角形外角的性质推出． 【解答】（1）证明：过作于， 平分，， ， 同理：， ； （2）解：，，， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的外角性质，关键是由角平分线的性质推出，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由三角形外角的性质推出． 24．（10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的型汽车数量不少于型汽车数量的3倍．假设每辆型汽车的售价为30万元，每辆型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【分析】（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元建立方程组求解即可； （2）设购进型汽车辆，则购进型汽车辆，根据购车资金不超过380万元，购进的型汽车数量不少于型汽车数量的3倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83万元建立不等式组求解即可． 【解答】解：（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 根据题意列二元一次方程组得：， 解得， 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； （2）设购进型汽车辆，则购进型汽车辆． 根据题意列一元一次不等式组得，， 解得， 为整数， 的值为3或4或5； 共有三种购买方案，利润为万元， 当时，利润为（万元）； 当时，利润为（万元）； 当时，利润为（万元）； 答：共有3种购车方案，购进5辆型、15辆型时利润最高． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． 25．（12分）【定理】如图1，因为于点，于，，所以平分 ． 【运用】如图2，在四边形中，，，求证：平分． 【拓展】如图3，在等边△中，，且，求的度数． 【分析】【定理】由角平分线的性质可得出结论； 【运用】过点作于，过点作交延长线于，证明△△，得出，则可得出结论； 【拓展】方法一：过点作于，连接，．证明△△，得出，证出，则可得出结论． 方法二：作于，证出，作，，证明△△，得出，证出△△，得出，则可得出结论． 【解答】【定理】解：，于点，于， 平分， 故答案为：平分； 【运用】证明：过点作于，过点作交延长线于， ，， ， 又， ， 又， ， 在△和△中， ， △△， ， 又，， 平分； 【拓展】解：解法一：过点作于，连接，． ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 即平分， 又，， △△， ， ， ． 解法二：作于， ， ， ， ， ， ， ， 作，， ， △△， ， 平分， △△， ， ． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理． 26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，且，，满足关系式． （1）求，，三点的坐标； （2）若在第四象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，的值，即可得出答案； （2）根据求解即可； （3）当时，，根据求解即可． 【解答】解：（1）， ，，， ，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （2） ； （3）在（2）的条件下，当时，在轴上存在点， 设点的坐标为， 当时，， ， ， ， ， 点的坐标为或． 【点评】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/14 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