第04讲 指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖指数幂运算、函数图象性质及底数影响，按“概念-性质-应用”逻辑构建知识体系。通过命题透视明确考情，知识精讲拆解核心，题型破译归纳技巧，真题溯源对接高考，形成系统复习链条。 讲义以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新设计分层题型训练，如复合函数单调性用“分解-判断-整合”三步法，比较大小归纳“同底、同指、中间值”策略。真题与课本典例结合，培养学生运算能力与推理意识，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高效解题能力。

第04讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质 知识点3 底数对指数函数图象的影响 题型破译 (含超链接） 题型1 根式与指数幂的运算 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 题型3 指数函数的定点问题 题型4 指数函数的图象问题 题型5 指数函数的单调性 题型6 指数函数的值域（最值） 【方法技巧】复合函数单调性的判断方法 题型7 根据指数函数的最值求参数 题型8 比较指数幂大小 【方法技巧】比较指数幂大小的方法 题型9 解指数不等式 题型10 指数应用题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指数函数的图象 全国甲卷T8（5分） 指数函数的性质 全国高考II卷T13（5分） 新高考I卷T8（5分） 考情分析 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。 复习目标 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.能结合指数函数比较指数式大小. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ；；. 自主检测（多选）下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：由，故A正确；对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则，如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 知识点2 指数函数的图象和性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 过定点 过定点，即时， 函数值 的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 与的图象关于轴对称 知识点3 底数对指数函数图象的影响 函数和的图象如图所示 观察上图，有如下结论. (1) 当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”. (2) 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 必记结论 1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分 a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 （1）y＝ax,（2）y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 自主检测已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是____________． 【答案】 【详解】当时，如图1，由图象上下平移的可能情况，可知函数的图象不可能同时过第一、二、四象限；当时，满足条件，如图2，所以，得． 题●型●破●译 题型1 根式与指数幂的运算 例1-1（25-26高三上·云南曲靖·开学）已知，则的分数指数幂形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 故选：A 例1-2计算：（ ） A．0 B．1 C．100 D．5 【答案】C 【详解】原式． 故选：C 例1-3（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，求的值____________． 【答案】 【详解】由，则，即， ，又，则，故，故. 故答案为： 【变式训练1-1·变考法】设，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得①；由得②．得，得． 【变式训练1-2·变考法】（多选）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确． 故选：ACD 【变式训练1-3·变载体】设函数（且），如果，那么的值等于（ ） A．32 B．64 C．16 D．8 【答案】B 【详解】由题意可得．故． 故选：B 【变式训练1-4】____________． 【答案】 【详解】原式. 故答案为：. 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 例2-1（25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 例2-2函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 例2-3（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数的图象经过点____________． 【答案】81 【详解】设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则，即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 【变式训练2-1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域满足，解得且．则函数定义域为， 故选：D 【变式训练2-2·变考法】（24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为指数函数，则.因的图象经过点，则， ∴. 故选：A. 【变式训练2-3】已知指数函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由已知且，解得且，所以的范围是. 故答案为： 【变式训练2-4】函数的定义域是____________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，变形可得，因为指数函数在上单调递增，则，解得，故函数的定义域是. 故答案为：. 题型3 指数函数的定点问题 例3-1函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得，且，故函数的图象恒过定点． 故选：C 例3-2【新思维】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C．4 D． 【答案】C 【详解】过定点，所以， 因为点在函数的图象上，所以， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值为4. 故选：C 【变式训练3-1·变设问】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D 【变式训练3-2·变考法】（25-26高三上·上海奉贤·开学）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为____________． 【答案】 【详解】易知函数的图象是由指数函数向下平移两个单位得到的， 又因为函数恒过定点， 所以函数的图象恒过定点. 【变式训练3-3·原创题】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【详解】因为且，， 所以函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 【变式训练3-4·变考法】（25-26高三上·四川成都·开学）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为2. 题型4 指数函数的图象问题 例4-1（25-26高三上·江苏连云港·开学）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 例4-2函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】函数中，，即，解得， 函数定义域为，， 函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足； 当时，，选项D不满足，B符合题意. 故选：B 【变式训练4-1·变方向】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由的图象可知，由知， 所以函数的两个零点分别在和上，且开口向上. 故选：C. 【变式训练4-2·变考法】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示． 令，若，则；若，则；若，则． 【变式训练4-3·变载体】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于,因此可得，所以； 即. 故选：D 【变式训练4-4·变方向】．（25-26高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A：由图可得二次函数的对称轴为且，结合图可得，即得， 由图知为减函数，则有，符合，故A不合题意； B：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故B符合题意； C：由图可得且，即得，由图知为减函数，则，符合，故C不合题意； D：由图可得且，此时、异号，则与函数为减函数相矛盾，故D符合题意； 故选：BD. 【变式训练4-5·变角度】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】把函数的图象向右平移2个单位长度，得到函数表达式为， 再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象的函数表达式为， 因为图象与重合，所以，即，解得，. 故选：C 题型5 指数函数的单调性 例5-1（2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，在上先减后增，不合题意. 对于B，为上的减函数，不合题意. 对于C，在上先减后增，不合题意. 对于D，为上的增函数，符合题意. 例5-2 【新角度】(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是（ ） A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 【解析】选B.f(x)的定义域为R,f(x)＝,则f(－x)＝＝－＝－f(x), 故f(x)是奇函数.由于f(x)＝,函数y＝ex＋1单调递增, 故f(x)在R上单调递增. 故选:B. 例5-3已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递减， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 当时，，所以外函数是单调递增的指数函数， 此时要使得函数在区间上单调递增， 则满足二次函数在区间上单调递增， 即满足对称轴，解得，结合，可得； 综上可得a的取值范围是或， 故选：A. 例5-4函数的减区间是____________． 【答案】 【详解】令，则函数t的增区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是． 故答案为： 方法技巧 复合函数的单调性判断方法 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数； 【变式训练5-1·变考法】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得.a的取值范围是. 故选D. 【变式训练5-2·变考法】（2026·江苏南京·学情调研）已知，当时，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，不妨设，则， 所以，函数在上为减函数， 又因为，则，解得. 故选：D. 【变式训练5-3】函数的单调递增区间是____________． 【答案】或 【详解】函数，令， 则在上单调递增，在上单调递减，由的，而在上单调递增， 所以的单调递增区间是或. 故答案为：或. 【变式训练5-4·变设问】（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数____________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】根据是定义在上的增函数，再结合题意，可以令，则，满足题意 （答案不唯一，可以是）. 题型6 指数函数的值域（最值） 例6-1【新设问】（2026·江辽宁沈阳·模拟）已知，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为在上单调递增， 所以，又单调递减，且，所以，即的值域是. 故选：B. 例6-2函数（ ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】先换元设，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解. 【详解】因为函数，设， 当函数单调递减，当函数单调递增， 所以当时，函数取最小值，函数无最大值. 故选：B. 例6-3（25-26高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域． 【答案】（1）的减区间为，增区间为 （2） 【详解】（1），在上单调递增，在上单调递减， 又因为在上单调递减，所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为. （2）令，则，则，即的值域为. 【变式训练6-1·变考法】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 【变式训练6-2·载体】（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【答案】ABD 【详解】根据题意，设     对于A，的定义域为，且，则为偶函数，A正确； 对于B，，易得在上单调递增，在上单调递减，B正确； 对于C，由于，则，不存在最小值，C错误； 对于D，，则，则的值域为，D正确． 故选：ABD 【变式训练6-3·变考法】函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 【答案】 ； 【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以． 故答案为： ； 【变式训练6-4】已知函数是奇函数，为实数． （1）求的值； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）函数是奇函数，则，解得， 当时，， 为奇函数，所以的值为2． （2）由（1）知函数，由是上的增函数，可得为上的减函数， 所以在上是增函数，可得， 即，故函数的值域为． 题型7 根据指数函数的最值求参数 例7-1【新角度】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的值域为，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】由和是增函数可知， 所以的值域为，所以，可得. 故选：D. 例7-2函数的定义域为，值域为，则的最大值为____________． 【答案】 【详解】函数 作出函数的图象如图所示， 令，解得或，因为函数的定义域为，值域为， 由图象可得，的最大值为． 故答案为：． 【变式训练7-1·变考法】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 【变式训练7-2·变考法】（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【详解】当时，，则函数在上的值域为． 因为函数的值域是R，故在上的值域需要包含， 所以解得． 故实数a的取值范围是． 故答案为： 【变式训练7-3·变考法】若函数的值域是，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由于的值域是，令，则要能取遍所有的值， ，因此，故 故答案为： 故答案为： 题型8 比较指数幂大小 例8-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，则. 故选：C 例8-2（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，即， 又因为对数函数在上单调递减，所以，即，所以. 故选：C 例8-3（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则，则，即．故． 故选：B 方法技巧 比较指数幂大小的方法 （1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）． （2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）． （3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）． 【变式训练8-1】已知实数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：当，则，错；B：当，则，错； C：当，有；当，有；当，有，对； D：由在定义域上单调递减，则，错. 故选：C. 【变式训练8-2】下列大小关系正确的是（ ） ①， ②， ③， ④． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【详解】对于①，因为指数函数单调递减，所以，①错误．对于②，因为指数函数单调递减，所以；又因为幂函数在上单调递增，所以，所以，②正确对于③，因为幂函数在上单调递增．所以，③正确．对于④，因为幂函数在上单调递减，所以，即，④错误． 【变式训练8-3】设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即； 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 所以，即. 故选：B. 【变式训练8-4】（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是减函数，所以，即； 因为函数是减函数，所以，即； ， ，所以. 函数是减函数，所以，即. 所以. 题型9 解指数不等式 例9-1已知不等式成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，即 ，即 ，故不等式的解集为 ， 故选：D. 例9-2【新思维】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得的图象关于直线对称， 设，则， 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以在上单调递增，由，可得， 所以，整理得，解得或． 故选：D 例9-3（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，即时，，故满足题意； 当时，即时，令，则+1在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又， 所以由可得，解得，又，故. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A 【变式训练9-1·变考法】（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，又，所以. 故选：A 【变式训练9-2·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 故选：B 【变式训练9-3·变题型】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 故选：A 【变式训练9-4·变考法】（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，利用函数性质求的范围即可. 【详解】已知函数，则， 是奇函数， 是增函数，是增函数，是增函数， 因为，，即， 是单调递增函数，，解得．所以的取值范围是. 故答案为： 【变式训练9-5·变考法】（25-26高三上·广东广州·开学）已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； 【答案】（1）， （2） 【详解】（1）因为且，则的定义域为，又为奇函数， 则，解得，所以， 则，所以满足题意， 又，所以，则，所以函数的值域为. （2）由（1）知，由，得到， 整理得到，解得，所以不等式的解集为. 题型10 指数应用题 例10-1预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 【答案】C 【分析】根据公式，结合的不同取值范围分析人口数的变化趋势即可. 【详解】当时，，则逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A正确； 当时，，则逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B正确，C错误； 时，，则值不变，所以这期间人口数不变，故D正确. 故选：C. 例10-2（25-26高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得．． 【变式训练10-1·变情境】（25-26高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ） A．8毫米 B．16毫米 C．32毫米 D．64毫米 【答案】C 【详解】因为每次变焦后，直径变为前一次的2倍，所以进行4次变焦后， 则画面中月亮的直径是（毫米）. 故选：C. 【变式训练10-2·变情境】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，当时，，即. 所以当时，， 即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为. 故选：A. 【变式训练10-3·变情境】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，，，所以，可得， 再经过分钟后，该物体的温度为， 即该物体的温度为． 故选：C． 【变式训练10-4·变题型】“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 【答案】 【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则，故至少需要天. 故答案为：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2025·新高考Ⅰ卷·高考真题）若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为（ ） A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 【解析】选B.设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5, 令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝,z＝5－3＝,此时x>y>z,A有可能; 令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C有可能; 令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,此时y>z>x,D有可能. 故选：B. 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又，故可排除D. 故选：B. 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以， 故选：D 5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 6. （2026·全国II卷·高考真题）函数有两个零点，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由，当且仅当，即时取等号，记，则，图象关于直线对称，切当时，，在处取唯一的最小值4，所以有两个不同实根，所以. 故答案为： 7．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【详解】函数，所以. 故答案为：1 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.设，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D.【详解】根据幂的运算性质可得：，故A错误； ，故B错误；，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查指数幂的基本运算，属简单题 2.设，m，n是正整数，且，则下列各式 ，，， 正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，∴，正确， 显然，正确，而，∴正确， 故选：A． 【点睛】本题考查分数指数幂的与根式的转换，属简单题 3.（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）原式； （2）原式. 【点睛】本题考查含有字母形式的指数幂的运算及转换应用，属基础题。 4．求下列函数可能的一个解析式： （1）函数的数据如下表： x 0 1 2 3.50 4.20 5.04 （2）函数的图象如下： 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）设.把代入得， ，解得，为可能的解析式； （2）设，将代入，得，解得， ∴为一个可能的解析式． 【点睛】本题考查函数解析式的的求法，属基础题 5．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性. 【答案】（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数. 【解析】（1）由题意知，，，， ∴，图象如图： （2）∵，∴， 为偶函数，又， ∴在上为减函数，在上为增函数． 【点睛】本题考查函数的解析式的求法、图象的画法，考查学生分析解决问题能力，属基础题 6．已知，g（x）=（a > 0，且a ≠ 1）. （1）讨论函数f（x）和g（x）的单调性； （2）如果f（x）< g（x），那么x的取值范围是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）当a > 1时，x的取值范围是；当0 < a < 1时，x的取值范围是. 【详解】（1）当a > 1时，f （x）=ax是R上的增函数， 由于0 << 1，所以g（x）=是R上的减函数； 当0 < a < 1时，f（x）=ax是R上的减函数， 由于> 1，所以g（x）=是R上的增函数； （2）， 当a > 1时，x < 0；当0 < a < 1时，x > 0. ∴当a > 1时，x的取值范围是； 当0 < a < 1时，x的取值范围是. 【点睛】本题考查指数函数的单调性的判定与证明，同时考查指数不等式的求解方法，属中档题。 2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 指数与指数函数 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质 知识点3 底数对指数函数图象的影响 题型破译 (含超链接） 题型1 根式与指数幂的运算 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 题型3 指数函数的定点问题 题型4 指数函数的图象问题 题型5 指数函数的单调性 题型6 指数函数的值域（最值） 【方法技巧】复合函数单调性的判断方法 题型7 根据指数函数的最值求参数 题型8 比较指数幂大小 【方法技巧】比较指数幂大小的方法 题型9 解指数不等式 题型10 指数应用题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 指数函数的图象 全国甲卷T8（5分） 指数函数的性质 全国高考II卷T13（5分） 新高考I卷T8（5分） 考情分析 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。 复习目标 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.能结合指数函数比较指数式大小. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 1 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号________表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 1 . 2 当为奇数时，____________ 3 当为偶数时，____________. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 2 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ；；. 自主检测（多选）下列各式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 知识点2 指数函数的图象和性质 1．指数函数的概念 一般地，函数 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 . 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 最值 无最值 过定点 过定点，即时， 函数值 的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 在上是 在上是 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 与的图象关于轴对称 知识点3 底数对指数函数图象的影响 函数和的图象如图所示 观察上图，有如下结论. (1) 当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”. (2) 在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”. 必记结论 1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分 a>1与0<a<1来研究. 3.如图所示是指数函数 （1）y＝ax,（2）y＝bx, (3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0. 自主检测已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是____________． 题●型●破●译 题型1 根式与指数幂的运算 例1-1（25-26高三上·云南曲靖·开学）已知，则的分数指数幂形式为（ ） A． B． C． D． 例1-2计算：（ ） A．0 B．1 C．100 D．5 例1-3（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，求的值____________． 【变式训练1-1·变考法】设，那么（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2·变考法】（多选）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3·变载体】设函数（且），如果，那么的值等于（ ） A．32 B．64 C．16 D．8 【变式训练1-4】____________． 题型2 指数函数的概念、定义域及解析式 例2-1（25-26高三上·天津滨海新区·月考）函数是指数函数，则a的值为（ ） A． B．1 C． D．1或 例2-2函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 例2-3（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数的图象经过点____________． 【变式训练2-1】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式训练2-2·变考法】（24-25高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【变式训练2-3】已知指数函数，则实数的取值范围是____________． 【变式训练2-4】函数的定义域是____________． 题型3 指数函数的定点问题 例3-1函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 例3-2【新思维】（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C．4 D． 【变式训练3-1·变设问】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式训练3-2·变考法】（25-26高三上·上海奉贤·开学）已知实数，，则函数的图象恒经过定点的坐标为____________． 【变式训练3-3·原创题】（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【变式训练3-4·变考法】（25-26高三上·四川成都·开学）已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 题型4 指数函数的图象问题 例4-1（25-26高三上·江苏连云港·开学）（多选）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 例4-2函数的部分图象大致为（ ） A．B．C．D． 【变式训练4-1·变方向】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数，且的图象如图所示.则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变考法】（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（ ） A． B． C．2 D．4 【变式训练4-4·变方向】．（25-26高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数与函数在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-5·变角度】（2026·北京顺义·二模）把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 题型5 指数函数的单调性 例5-1（2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（    ） A． B． C． D． 例5-2 【新角度】(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝,则对任意实数x,下列结论正确的是（ ） A.f(x)是偶函数,且在R上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R上单调递增 C.f(x)是奇函数,且在R上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R上单调递减 例5-3已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例5-4函数的减区间是____________． 方法技巧 复合函数的单调性判断方法 ①确定函数的定义域； ②将复合函数分解成两个简单函数:与； ③分别确定分解成的两个函数的单调性； ④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数； 【变式训练5-1·变考法】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-2·变考法】（2026·江苏南京·学情调研）已知，当时，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】函数的单调递增区间是____________． 【变式训练5-4·变设问】（2026·河南·模拟预测）若定义在上的增函数满足，请写出一个满足条件的函数____________． 题型6 指数函数的值域（最值） 例6-1【新设问】（2026·江辽宁沈阳·模拟）已知，则函数的值域是（ ） A． B． C． D． 例6-2函数（ ） A．有最大值，也有最小值 B．没有最大值，有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 例6-3（25-26高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数的值域． 【变式训练6-1·变考法】函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【变式训练6-2·载体】（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．为偶函数 B．恰有2个单调区间 C．的最小值为 D．值域是 【变式训练6-3·变考法】函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ． 【变式训练6-4】已知函数是奇函数，为实数． （1）求的值； （2）当时，求函数的值域． 题型7 根据指数函数的最值求参数 例7-1【新角度】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知函数的值域为，则（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 例7-2函数的定义域为，值域为，则的最大值为____________． 【变式训练7-1·变考法】已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练7-2·变考法】（25-26高三上·云南·开学考试）已知函数（且），若函数的值域是R，则实数a的取值范围是____________． 【变式训练7-3·变考法】若函数的值域是，则的取值范围是____________． 题型8 比较指数幂大小 例8-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知，，，则（ ） A． B． C． D． 例8-2（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知，则（ ） A． B． C． D． 例8-3（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（ ） A． B． C． D． 方法技巧 比较指数幂大小的方法 （1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）． （2）同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）． （3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）． 【变式训练8-1】已知实数，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】下列大小关系正确的是（ ） ①， ②， ③， ④． A．①② B．③④ C．②③ D．①③ 【变式训练8-3】设，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】（25-26高三上·贵州毕节·开学考试）设，，，则，，的大小关系为（（ ） A． B． C． D． 题型9 解指数不等式 例9-1已知不等式成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例9-2【新思维】（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 例9-3（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数，则满足的实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-1·变考法】（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-2·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-3·变题型】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练9-4·变考法】（2026·吉林长春·二模）已知函数，若，则的取值范围是___________． 【变式训练9-5·变考法】（25-26高三上·广东广州·开学）已知函数且为奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）解不等式； 题型10 指数应用题 例10-1预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口增长率，为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ） A．若在某一时期内，则这期间人口数呈下降趋势 B．若在某一时期内，则这期间人口数呈上升趋势 C．若在某一时期内，则这期间人口数呈摆动变化 D．若在某一时期内，则这期间人口数不变 例10-2（25-26高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．假设氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为，其中，为常数.在此条件下，已知氡气经过天后，氡气的剩余量为，再经过天后，氡气的剩余量为（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-1·变情境】（25-26高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2倍数码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2倍，若最初月亮在画面中的直径为2毫米，则他连续进行4次这样的“2倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ） A．8毫米 B．16毫米 C．32毫米 D．64毫米 【变式训练10-2·变情境】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-3·变情境】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ） A． B． C． D． 【变式训练10-4·变题型】“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2025·新高考Ⅰ卷）若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z的大小关系不可能为（ ） A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（ ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1.设，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 2.设，m，n是正整数，且，则下列各式 ，，， 正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3.（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 4．求下列函数可能的一个解析式： （1）函数的数据如下表： x 0 1 2 3.50 4.20 5.04 （2）函数的图象如下： 5．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交. （1）求该函数的解析式，并画出图象； （2）判断该函数的奇偶性和单调性. 6．已知，g（x）=（a > 0，且a ≠ 1）. （1）讨论函数f（x）和g（x）的单调性； （2）如果f（x）< g（x），那么x的取值范围是多少？ 10 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $