2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件 第一章 1.1.1　空间向量及其线性运算

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线共面向量，通过联系平面向量旧知引入新知，搭建从平面到空间的学习支架，系统梳理定义、表示及运算律，助力学生构建知识脉络。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过概念辨析题（如例1判断向量命题）、正方体向量运算实例（小试身手及课堂探究题），培养逻辑推理与空间观念。方法总结清晰，学生能提升运算与证明能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其 线性运算 第一章　空间向量与立体几何 [目标导航] 课标要求 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的几何表示方法与字母表示方法 2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律 2 新知导学·素养启迪 新知梳理 1.空间向量 (1)定义 在空间,把具有 的量叫做空间向量. (2)长度 空间向量的大小叫做空间向量的长度或 . 大小和方向 模 (3)表示方法 几何 表示法 空间向量用有向线段表示 字母 表示法 用一个字母表示,如图,此向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可以记作 ,其模记为 或 |a| (4)几类特殊的空间向量 ①零向量:规定 叫做零向量,记为0. ②单位向量: 叫做单位向量. ③相反向量:与向量a长度相等而 的向量,叫做a的相反向量,记为-a. ④相等向量: 叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示 或 . ⑤共线向量或平行向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 长度为0的向量 模为1的向量 方向相反 方向相同且模相等的向量 同一向量 相等向量 平行 重合 2.空间向量的线性运算 (1)定义 类似平面向量,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算(如图): (2)运算律 ①交换律:a+b=b+a. ②结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a. ③分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb. 3.共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 . (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a,我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的 . a=λb 方向向量 4.共面向量 (1)共面向量 共面向量 (2)向量共面的充要条件 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使 . p=xa+yb 小试身手 1.把所有单位向量的起点移到一点,则这些向量的终点组成的图形是 　　　　.  球面 3.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量的表达式: 课堂探究·素养培育 [例1] 给出下列命题: ①两个相等的向量,若它们的起点相同,则终点必相同; 空间向量的概念 A 解析:①真命题.根据向量相等的定义,两个相等的向量若起点相同,终点必相同,只有这样才能保证它们的方向和大小都相同. ③真命题.向量的相等满足传递规律. ④假命题.空间中任意两个单位向量的模均为1,但方向不一定相同,故不一定相等. ⑤真命题.根据零向量的定义可知.故选A. ④ ②③ (2)给出下列命题: ①若|a|=0,则a=0;②若a=0,则-a=0; ③|-a|=|a|.其中正确命题的序号是　　　　.  解析:(2)①错误,若|a|=0,则a=0;②正确.③正确. 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系 ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的,但向量的模是可以比较大小的. 空间向量的加减运算 (1)空间向量加法、减法运算的两个技巧 ①巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. ②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. (2)化简空间向量的常用思路 ①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. ③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). 空间向量证明题 即时训练3-1:借助平行六面体,求证:(a+b)+c=a+(b+c). 空间向量证明题的注意点 利用三角形法则或平行四边形法则进行证明,一定要注意和(差)向量的方向.必要时利用空间向量可自由平移,使作图容易. 空间向量共线问题 (1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ,使a=λb成立,同时要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出a=λb,从而得出a∥b. (2)当两个空间向量共线时,存在实数λ,使得a=λb成立,既可以用于证明,也可以用于待定系数法求参数的值. 空间向量共面问题 (2)判断点M是否在平面ABC内. 即时训练5-1:已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD∥平面EFGH. (1)证明向量共面,可以利用共面向量的充要条件,也可直接利用定义,通过线面平行或直线在平面内进行证明. (2)向量共面,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面). 当堂即练·素养达成 A 1.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(　 　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 当堂即练 解析:因为2a-b=2·a+(-1)·b, 所以2a-b与a,b共面.故选A. B 3.在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是(　 　) C 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确结论的序号为　　　　.  ①③④ 1.在空间,向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等、方向相反. 2.向量可以平移,任意两个向量都是共面向量.因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同,可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算. 课堂小结 感谢观看 | ①a+b=. ②a-b=. ③当λ>0时,λa=λ; 当λ<0时,λa=λ; 当λ=0时,λa=0. 如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做 . 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,化简后的结果是　　　　.  ①=　　　　.  ②=　　　　.  ③=　　　　.  4.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用, ,表示向量,则 =　　　　　　　　　　.  ++ ②在正方体ABCDA1B1C1D1中,必有; ③若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p; ④空间中任意两个单位向量必相等; ⑤只有零向量的模为0. 其中假命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 ②真命题.根据正方体的性质,在正方体ABCDA1B1C1D1中,向量与的方向相同,模也相等,应有=. 即时训练11:(1)给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量;②若a,b满足 |a|>|b|且a,b同向,则a>b;③不相等的两个空间向量的模必不相等;④向量的长度相等. 其中正确命题的序号为　　　　.  解析:(1)①错误,方向相反且长度相等的两个向量是相反向量;②错误,向量不能比较大小;③错误,如|;④正确. [例2] 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设=a,=b,=c,M,N, P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量: 解:(1)因为P是C1D1的中点, 所以=++ =a++ =a+c+ =a+c+b. (1); 解: (2)因为N是BC的中点, 所以=++=-a+b+ =-a+b+=-a+b+c. (2); 解: (3)因为M是AA1的中点, 所以=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c, 又=+=+=+=c+a, 所以+=(a+b+c)+(a+c)=a+b+c. (3). 变式训练21:若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上,且=”,其他条件不变,如何表示? 解:因为P在线段C1D1上,且=, 所以=++=a++=a+c+=a+c+b. [例3] 在如图所示的平行六面体中,求证:++=2. 证明:因为平行六面体的六个面均为平行四边形,所以=+, =+, =+. 所以++=(+)+(+)+(+)=2(++). 又因为=,=, 所以++=++=+=, 所以++=2. 证明:作平行六面体ABCDA′B′C′D′,使=c,如图, 则(a+b)+c=(=, a+(b+c)=)=, 所以(a+b)+c=a+(b+c). [例4] 已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断是否共线. 解:因为M,N分别是AC,BF的中点, 且四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形, 所以=++=++. 又因为=+++=-+--, 以上两式相加得=2, 所以∥,即与共线. 即时训练41:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线. 证明:设=a,=b,=c. 因为=2,=, 所以=,=, 所以==b, =(-)=(+-)=a+b-c. 所以=-=a-b-c =(a-b-c). 又因为=++ =-b-c+a=a-b-c, 所以=,即∥. 又因为EF∩EB=E,所以E,F,B三点共线. [例5] 已知A,B,C三点不共线,平面ABC外一点O满足=++. (1)判断,,三个向量是否共面; 解:(1)因为++=3, 所以-=(-)+(-), 即=+=--, 所以向量,,共面. 解: (2)由(1)知向量,,共面,而它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,所以点M,A,B,C共面,即点M在平面ABC内. 证明:如图,连接EG,BG. (1)因为=+ =+(+) =++ =+, 所以,,共面, 又,,共点E, 所以E,F,G,H四点共面. 证明:(2)因为=-=-=, 所以∥. 又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH. 2.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是(　 　) A.空间四边形 B.平行四边形 C.等腰梯形 D.矩形 解析:因为+=,+=, 所以=,所以线段AB,DC平行且相等, 所以四边形ABCD是平行四边形. A.=-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 解析:对于A,由=--, 得1-1-1=-1≠1, 不能得出M,A,B,C四点共面; 对于B,由=++, 得++≠1,所以M,A,B,C四点不共面; 在C中,由++=0,得=--,则,,为共面向量, 即M,A,B,C四点共面; 对于D,由+++=0,得=-(++),其系数和不为1, 所以M,A,B,C四点不共面.故选C. ①+与+是一对相反向量; ②-与-是一对相反向量; ③+++与+++是一对相反向量; ④-与-是一对相反向量. 解析:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AD,B1C1的中点,则由向量运算的平行四边形法则,知+=2,+=2,又=-,所以命题①正确. 由于-=,-=,所以 -与-是两个相等的向量,所以命题②是不正确的.同理可得命题③④是正确的. 3.空间向量进行减法运算时,一定要抓住向量的起点与终点,否则容易导致结果计算错误.如-,误写成,应为. 4.判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立,为此常结合题中图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. 5.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:看是否存在实数λ,使. $