1.1.1空间向量及其线性运算（培优教学课件）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量概念、线性运算及共线共面向量定理，通过游客多地点位移问题导入，由平面向量类比推广至空间向量，构建从已知到未知的学习支架，衔接平面向量与空间向量的知识脉络。 其亮点在于通过类比迁移、探究式学习及分层练习，以平行六面体证明加法结合律、四点共面判断等实例，培养学生数学眼光、逻辑推理与符号表达能力。系统小结梳理知识体系，助力学生构建空间观念，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 本章导读 平面向量 及其应用 平面向量的基本概念(相等/相反/共线/零/单位向量) 平面向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示 平面向量基本定理、共线向量的充要条件及推论 平面向量在平面几何中的应用(向量的基底法和坐标表示法) 空间向量 类比 推广 空间向量的基础概念(相等/相反/共线/零/单位向量) 空间向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示 空间向量基本定理、共面向量的充要条件及推论 空间向量在立体几何中的应用(向量的基底法和坐标法) 应用：解决平面或空间中的平行、垂直、距离、角度等问题 在必修第二册《平面向量及其应用》中，学习了： 前情回顾 回顾平面向量 一.向量的定义：在平面中，既有大小又有方向的量叫向量. 二.向量的表示：(1)用有向线段(带有方向的线段)来表示; (2)以A为起点，B为终点的向量表示为：或 . 三.向量的有关概念： 2.单位向量： 模为1的向量称为单位向量. 3.相反向量： 与向量长度相等而方向相反的向量，称为向量的相反向量, 记作： 4.相等向量： 方向相同且模长相等的向量称为相等向量。 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。 1.零向量： 长度为0的向量叫做零向量，记作 0（或 ）. A B 前情回顾 平面向量的线性运算 加法： 减法： 数乘： + + 三角形法则 平行四边形法则 三角形法则 ① ②当时，与同向； 当时，； 当时，与向. 共起点，连终点，方向指被减 学 习 目 标 1 2 3 由平面向量内容进一步了解空间向量的相关概念. 掌握空间向量线性运算法则和运算律，并能熟练的运用. 理解并掌握共线向量定理与共面向量定理. 读教材 阅读课本P2-P5，5分钟后完成下列问题： 1. 空间向量中有哪些概念和平面向量相似？ 我们一起来探究“空间向量及其线性运算”吧！ 2. 方向向量和共面向量的定义是什么？ 新课引入 这就是我们今天要学习的空间向量 国庆节期间，某游客从上海世博园（O）游览结束后乘车到外滩（A）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（B）游玩，如图（1），游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 如果游客还要登上东方明珠（D）俯瞰上海美丽的夜景，如图（2），那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？ O A B O A B D 图（1） 图（2） 平面向量 空间向量 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的相关概念 2 空间向量的线性运算 3 共线向量和共面向量 概念 空间向量的相关概念 定义 表示 几何表示法： 符号表示法： 长度（模） 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，记作 注意：写向量的时候要带箭头！ 如图，向量 的起点是，终点是，则向量 也可以记作，其模记为或. 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量。 有向线段 探究1 你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ A B 或 . 概念 空间向量的相关概念 2.单位向量：模为1的向量叫做单位向量， 通常用 表示，即 . 两个特殊的空间向量 1.零向量：与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记作 。 注： ① 的模为0，即 ； ② 的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向； ③当有向线段的起点 与终点重合时， 注：任何一个非零向量 都有它的单位向量，且 概念 空间向量的相关概念 空间向量间的三种关系 相等向量 1.相等向量：方向相同且模相等的向量叫做相等向量 。 如图 向量为相等向量，记作 . 注： ①任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关（向量可以移动）； ② 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量或相等向量， 因为向量完全由它的模和方向确定. 概念 空间向量的相关概念 2.相反向量： 如图，与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量，记作 . 相反向量 注： ①向量 的相反向量为，且 ； ②向量 的相反向量为，且 ； ③规定： 的相反向量为 ，记作 . 空间向量间的三种关系 概念 空间向量的相关概念 3.共线向量(或平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 注： 如图,已知 是一组平行向量，任作一条与 所在直线平行的直线，在 上任取一点，则可在上分别作出 ,． 这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上， 因此，平行向量也叫做共线向量 . 规定:零向量与任意向量平行，即对于任意向量 ，都有 . O A B (C) 共线向量(或平行向量) 练习巩固 练习1判断正误. (1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量（ ） (2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同（ ） (3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（ ） (4)空间所有单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆（ ） × 解：(1) 缺少另一条件：长度相等 (2)空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同 (3)缺少另一条件：方向相同 (4) 它们的终点构成一个球面． × × × 练习巩固 练习2 下列说法中正确的是( ) A、若两个空间向量相等，且它们的起点相同，则终点也相同 B、任一向量与它的相反向量不相等 C、四边形ABCD是平行四边形的充要条件的是 D、“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件. 解：对于B选项，零向量与其相反向量相等，所以错误。 ACD 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的相关概念 2 空间向量的线性运算 3 共线向量和共面向量 新知探究2 探究2 空间中两条直线存在怎样的位置关系？ 空间中两个向量是否可能异面？ a b a b O A B 空间向量是自由的， 任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 空间任意两个向量都是共面的，空间向量问题都可以转变成平面向量； 任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们. 概念 空间向量的线性运算： 空间向量的线性运算 1.加法运算： ①三角形法则： 首尾相接，和向量由起点指向终点. ②平行四边形法则： 同起点，和向量由起点指向对角线端点 ●对于零向量与任意向量，我们规定： 推广：__________. 模长： 反向 同向 ●对于非零向量，： 概念 空间向量的线性运算： 空间向量的线性运算 2、减法运算： 3、数乘运算： 当时，； 当时，； 当时， ●转化为加法运算：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ●非零向量减法的三角形法则： 同起点，是从终点指向终点的向量 模长： 同向 向 模长：； 概念 运算律： 空间向量的线性运算 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）： 交换律： 结合律： 分配律： 利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到： 有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 概念辨析 思考：如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 在平行六面体 ABCD－A'B'C'D'中，记 则 所以有：. 练习巩固 练习1 如图，分别是长方体的棱 的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; A C D B C′ D′ B′ A′ • E • F 解： (1) ； (2) ; (3) ; (4) ; 练习巩固 练习2 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简 下列表达式，并在图中标出化简结果的向量. (1) (2) (3) C D B F E A 练习巩固 练习3 在图中，用，，表示，，？ 练习巩固 练习4 如图，正方体，E，F分别是上底面A'C'和 侧面CD'的中心，求下列各式中的值. (1) (2) (3) 学习过程 01 03 02 目录 1 空间向量的相关概念 2 空间向量的线性运算 3 共线向量和共面向量 新知探究2 探究2 对任意两个空间向量，如果 ， 有什么位置关系？反过来，有什么位置关系时，？ 1.共线向量定理：对任意两个空间向量， 的充要条件是： 存在唯一一个实数，使得 思考：为什么要求 分析：当时，不存在使成立。 概念 直线的方向向量： 共线向量与共面向量 O P 如图, 是直线 上一点，在直线 上取非零向量，则对于直线 上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在唯一一个实数，使得 注意： 1.与直线平行的任意非零向量 都叫做直线的非零向量； 2.因为的方向是任意的，所以 不能作为直线的方向向量. 我们把与向量 平行的非零向量称为直线 的方向向量。 因此,直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说， 直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 概念 共面向量： 共线向量与共面向量 (1)向量与直线平行： 如图 ，如果表示向量 的有向线段 所在的直线与直线 平行或重合，那么称向量 平行于直线 (2)向量与平面平行： 如果直线平行于平面 或在平面内，那么称向量 平行于平面 。 共面向量：平行于同一个平面的向量， 叫做共面向量. 概念辨析 思考：任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的， 也可能是不共面的；那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 由平面向量基本定理可知， 如果向量 ， 不共线，那么平面中任意向量 可以由向量 ，线性表示：即存在唯一的有序实数对，使 与不共线向量，共面 向量共面定理： 如果空间中两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 思考：你能证明向量共面定理吗？ 概念辨析 思考：不共线的空间向量 ，若=x+y，向量与向量 有什么位置关系？ C 问题：反过来，向量与向量,有什么位置关系时，=x+y？ 如果空间向量与两不共线向量,共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有 =x+y 因为分别与共线，所以都在确定的平面内，所以在确定的平面内.即与共面. 概念 共线向量与共面向量 平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件 若向量，是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： ＝ +y. 两个向量，不共线，那么向量 与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： ＝x+y. A B C 方法总结 、、三点共线 、、、 点共面 练习巩固 练习1 已知向量不共面，且 试判断，，是否共面？ 解：令， 则 ，无解； 所以，，共面. 练习巩固 练习2 已知A,B,C三点不共线，对空间内任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）. A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断 B 解：因为所以四点共面。 练习巩固 练习3 已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线， 如果，的值？ 解：， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 练习巩固 练习4 已知非零向量不共线，如果，， ，求证：四点共面. 证明：令，则 因为不共线，所以解得 所以，所以四点共面. 课堂小结 空间向量及其线性运算 空间向量 常见的空间向量 线性运算 共面向量 共线向量 定义、长度（模）、表示法 零向量、单位向量、相等向量、相反向量，共线向量 加法、减法、数乘及其运算律 对任意两个空间向量， 的充要条件： 存在唯一一个实数，使得 A B C 感谢聆听! $