1.1.2　空间向量的数量积运算 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖向量夹角、数量积定义与性质、运算律及投影向量等核心知识点。通过“力做功”情境导入，关联平面向量数量积，引导学生从平面到空间实现知识迁移，构建递进式学习支架。 其亮点在于以新课标核心素养为引领，情境导入培养数学抽象，典型例题分题型（如正四面体数量积运算、异面直线夹角求法）强化数学运算与逻辑推理，通性通法步骤总结助力学生形成解题思维。自我诊断与跟踪训练结合直观想象，学生能夯实基础提升能力，教师可直接用于课堂互动和分层教学。

1.1.2　 空间向量的数量积运算 新课程标准解读 核心素养 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积 数学抽象、 数学运算 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义 直观想象 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问 题 数学运算、 逻辑推理 目录 数学·选择性必修第一册 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 S ，那么力 F 所作的功 W ＝ F · S ＝｜ F ｜｜ S ｜ cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标 量，我们引入了“数量积”的概念. 【问题】　（1）空间向量的数量积的定义是什么？ 目录 数学·选择性必修第一册 （2）空间向量数量积有哪些运算律？与平面向量数量积的运算律一 样吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　空间向量的夹角 1. 如图，已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O ，作 ＝ a ， ＝ b ，则 叫做向量 a ， b 的夹角，记作 ⁠ ⁠. ∠ AOB 　 ＜ a ， b ＞　 2. 向量 a ， b 的夹角＜ a ， b ＞的范围是 ，如果＜ a ， b ＞ ＝ ，那么向量 a ， b 互相 ，记作 ⁠. [0，π]　 垂直　 a ⊥ b 　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 1. 当＜ a ， b ＞＝0和＜ a ， b ＞＝π时，向量 a 与 b 有什么关系？ 提示：当＜ a ， b ＞＝0时， a 与 b 同向；当＜ a ， b ＞＝π时， a 与 b 反向. 2. ＜ a ， b ＞，＜－ a ， b ＞，＜ a ，－ b ＞，＜－ a ，－ b ＞，它们有 什么关系？ 提示：＜－ a ， b ＞＝＜ a ，－ b ＞＝π－＜ a ， b ＞，＜－ a ，－ b ＞＝＜ a ， b ＞. 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　空间向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量 a ， b ，则 ⁠ 叫做 a ， b 的数量积，记作 a · b .即 a · b ＝ ⁠ ⁠. 2. 性质：（1）当 a≠0，b≠0时 ， a ⊥ b ⇔ ⁠； （2） a · a ＝ ＝ ＝ a2； （3） a · e ＝｜ a ｜ cos ＜ a ， e ＞（其中 e 为单位向量）； （4）若 a ， b 为非零向量，则 cos ＜ a ， b ＞＝ ； （5）特别地，零向量与任意向量的数量积为0. ｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞　 ｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞　 a · b ＝0　 ｜ a ｜｜ a ｜ cos ＜ a ， a ＞　 ｜ a ｜2　 目录 数学·选择性必修第一册 3. 运算律：（1）（λ a ）· b ＝ ，λ∈R； （2）交换律： a · b ＝ ⁠； （3）分配律：（ a ＋ b ）· c ＝ ⁠. 提醒　（1）向量 a ， b 的数量积记为 a · b ，而不能表示为 a × b 或 ab ；（2）向量数量积的运算不满足消去律和乘法结合 律，即 a · b ＝ a · c ⇒/ b ＝ c ，（ a · b ）· c ⇒/ a ·（ b · c ）. λ（ a · b ）　 b · a 　 a · c ＋ b · c 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点三　投影向量 作法 图形表示 符号表示 向量 a 在向量 b 上的投影向量 将向量 a ， b （直线 l ）平移到同一个平 面α内，利用平面上 向量的投影，得到 与向量 b （直线 l 的 方向向量）共线的 向量 c 向量 a 在直线 l 上的投影向量 目录 数学·选择性必修第一册 作法 图形表示 符号表示 向量 a 在平面β 上的投影向量 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 在投影向量的公式中， 是向量 b 的单位向量，可以省去吗？ 提示：不可以，因为投影向量是向量，不是数，用其表示该向量的方 向，所以不可以省去. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量的数量积为0. （　√　） （2）向量 a 在向量 b 上的投影向量 c ＝｜ a ｜ cos ＜ a ， b ＞. （　×　） （3）向量 a 在平面β上的投影是一个向量. （　√　） √ × √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知空间向量 a ， b ，｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝ ， a · b ＝－2，则＜ a ， b ＞＝ ⁠. 解析： cos ＜ a ， b ＞＝ ＝－ ，∴＜ a ， b ＞＝ . 　 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·济宁月考）如图所示，空间四边形 ABCD 每条边和对角线长 都为 a ，点 E ， F 分别是 AB ， AD 的中点，则 · ＝ ⁠. － a2　 解析：因为点 E ， F 分别是 AB ， AD 的中点，所以 EF ∥ BD ，所以 的夹角为120°，所以 · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos 120°＝ － a2. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 空间向量数量积的运算 【例1】　如图，已知正四面体 OABC 的棱长为1.求： （1） · ； 解：在正四面体 OABC 中，｜ ｜＝｜ ｜＝ ｜ ｜＝1，＜ ＞＝＜ ＞＝＜ ＞＝60°. （1） · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ∠ AOB ＝1×1× cos 60°＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）（ ＋ ）·（ ＋ ）. 解：（ ＋ ）·（ ＋ ） ＝（ ＋ ）·（ － ＋ － ） ＝（ ＋ ）·（ ＋ －2 ） ＝ ＋2 · －2 · ＋ －2 · ＝12＋2× －2×1×1× cos 60°＋12－2×1×1× cos 60°＝1＋1－1 ＋1－1＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值 的乘积； （3）代入 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞求解. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 1. (2025高二上·拱墅期末) 棱长为1的正四面体中，点是的中点，则＝（　　） 解析： 易知， ， 因为，，，， 所以． A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册   － b 　 － a 　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：由题可得与向量 a ， b 同方向的单位向量分别为 ，由｜ a ｜＝6，｜ b ｜＝8，＜ a ， b ＞＝120°，根据投影向 量的定义，则 a 在 b 上的投影向量为｜ a ｜ cos ＜ a ， b ＞· ＝ ＝－ b ， b 在 a 上的投影向量为｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞ ＝ ＝－ a . 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 利用数量积解决夹角问题 【例2】　如图，已知正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的各棱长都相等， M 是 侧棱 CC1的中点，则异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是 ⁠. 90°　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：不妨设正三棱柱的棱长为2，∵ ＝ － ＝ ＋ ，∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝0，故异面直线 AB1和 BM 所成角的大小是90°. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 提醒　注意两向量的 夹角与两异面直线所 成角的区别. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，＜ ， ＞＝（　　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　不妨设正方体的棱长为1，则 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ · ＋ ＋ · ＋ · ＝0＋ ＋0＋0＝ ＝1，又∵｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ，∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ，∴＜ ＞＝60°. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 利用数量积求线段长度 【例3】　已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱） ABC - A1 B1 C1 的各棱长都为2， E ， F 分别是 AB ， A1 C1的中点，求 EF 的长. 目录 数学·选择性必修第一册 解：如图所示，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， 由题意知｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝2， 且＜ a ， b ＞＝60°，＜ a ， c ＞＝＜ b ， c ＞＝90°. 因为 ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＝ － a ＋ b ＋ c ， 所以｜ ｜2＝ a2＋ b2＋ c2＋2（－ a · b ＋ b · c － a · c ）＝ ×22＋ ×22＋22＋2×（－ ）×2×2 cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以 EF ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用数量积求线段长度的步骤 （1）将线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜ a ｜＝ 得所求长度. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·宿迁月考）已知空间向量 a ， b ， c 两两夹角为60°，其模都 为1，则｜ a － b ＋2 c ｜＝（　　） B. 5 C. 6 解析： 　∵｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝1，＜ a ， b ＞＝＜ b ， c ＞＝ ＜ c ， a ＞＝60°，∴ a · b ＝ b · c ＝ a · c ＝ ， a2＝ b2＝ c2＝1，∴｜ a － b ＋2 c ｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 题型四 利用数量积证明垂直问题 【例4】　已知空间四边形 OABC 中，∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ，且 OA ＝ OB ＝ OC ， M ， N 分别是 OA ， BC 的中点， G 是 MN 的中点， 求证： OG ⊥ BC . 目录 数学·选择性必修第一册 证明：连接 ON （图略），设∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ＝θ， 又设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， 则｜ a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜. 又 ＝ ＋ ）＝ ＝ （ a ＋ b ＋ c ）， ＝ c － b . ∴ · ＝ （ a ＋ b ＋ c ）·（ c － b ） ＝ （ a · c － a · b ＋ b · c － b2＋ c2－ b · c ） ＝ （｜ a ｜2· cos θ－｜ a ｜2· cos θ－｜ a ｜2＋｜ a ｜2）＝0. ∴ ⊥ ，即 OG ⊥ BC . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用数量积证明垂直问题的步骤 （1）把几何问题转化为向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0； （4）将向量问题回归到几何问题. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，∠ DAB ＝60°， AB ＝2 AD ， PD ⊥底面 ABCD . 求证： PA ⊥ BD . 目录 数学·选择性必修第一册 证明：在△ ADB 中，∠ DAB ＝60°， AB ＝2 AD ， 由余弦定理得， BD ＝ AD ，所以 AD2＋ BD2＝ AB2， 所以 DA ⊥ BD ，则 · ＝0. 由 PD ⊥底面 ABCD ，知 PD ⊥ BD ，则 · ＝0. 又 ＝ ＋ ， 所以 · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝0，即 PA ⊥ BD . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列各组向量的夹角为 45°的是（　　） 解析：A　 的夹角为45°. 的夹角为135°， 的夹角为90°， 的夹角为180°，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 2. (2025秋·青山区校级月考) 已知空间向量，，若，则（　　） 解析： ∵a=(−1,2,4)，， ，得，.. A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 3. 在三棱锥 P - ABC 中，∠ PAB ＝∠ ABC ＝ ，＜ ， ＞＝ ， PA ＝2， AB ＝1， BC ＝3，则 PC ＝（　　） B. 2 D. 1 解析： 　由已知得 ＝ ＋ ＋ ，所以｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝22＋12＋32＋2×2×1×（－ ）＋2×2×3×（－ ）＋2×1×3×（－ ）＝3，所以｜ ｜＝ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 如图，在空间四边形 OABC 中， OB ＝ OC ， AB ＝ AC ，求证： OA ⊥ BC . 证明：因为 OB ＝ OC ， AB ＝ AC ， OA ＝ OA ， 所以△ OAC ≌△ OAB ，所以∠ AOC ＝∠ AOB . 又 · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝｜ ｜·｜ ｜ cos ∠ AOC －｜ ｜·｜ ｜· cos ∠ AOB ＝0， 所以 ⊥ ，即 OA ⊥ BC . 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知两异面直线的方向向量分别为 a ， b ，且｜ a ｜＝｜ b ｜＝1， a · b ＝－ ，则两直线的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：B　设向量 a ， b 的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝－ ，所以 θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·常州月考）已知｜ a ｜＝1，且 a － b 与 a 垂直，且 a 与 b 的 夹角为45°，则｜ b ｜＝（　　） A. 1 D. 2 解析： 　∵ a － b 与 a 垂直，∴（ a － b ）· a ＝0，∴ a · a － a · b ＝｜ a ｜2－｜ a ｜｜ b ｜ cos ＜ a ， b ＞＝0.∴1－｜ b ｜× ＝0， 解得｜ b ｜＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 如图，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝120°， PA ＝ AB ＝ BC ＝6， 则 PC ＝（　　） B. 6 C. 12 D. 144 解析： 　因为 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝36＋36＋36＋2×36 cos 60° ＝144，所以 PC ＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·临沂月考）设平面上有四个互异的点 A ， B ， C ， D ，已知 （ ＋ －2 ）·（ － ）＝0，则△ ABC 是（　　） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解析： 　因为 ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ） ＝ ＋ ＋ ）·（ － ）＝｜ ｜2－｜ ｜2＝0，所以｜ ｜＝｜ ｜，即△ ABC 是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）设 a ， b ， c 是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给 出下列命题，其中正确的是（　　） A. （ a · b ）· c －（ c · a ）· b ＝0 B. ｜ a ｜－｜ b ｜＜｜ a － b ｜ C. （ b · a ）· c －（ c · a ）· b 一定不与 c 垂直 D. （3 a ＋2 b ）·（3 a －2 b ）＝9｜ a ｜2－4｜ b ｜2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　A项，∵（ a · b ）· c 是表示与向量 c 共线的向量，而 （ c · a ）· b 是表示与向量 b 共线的向量，∴A错误；B项，∵ a ， b 是两个不共线的向量，根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜ a ｜－｜ b ｜＜｜ a － b ｜，∴B正确；C项，∵[（ b · a ）· c － （ c · a ）· b ]· c ＝（ b · a ）· c · c －（ c · a ）· b · c ＝0可能成立，∴C错 误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3 a ＋2 b ）·（3 a －2 b ）＝9｜ a ｜2－4｜ b ｜2，∴D正确，故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·镇江质检）如图所示，已知空间四边形每条边和 对角线长都为 a ，点 E ， F ， G 分别是 AB ， AD ， DC 的中点，则下 列向量的数量积等于 a2的是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 对于A，2 · ＝2 a2 cos 120°＝－ a2，错误；对于 B，2 · ＝2 · ＝2 a2 cos 60°＝ a2，正确；对于C，2 · ＝ · ＝ a2，正确；对于D，2 · ＝ · ＝－ · ＝－ a2，错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知 a ， b 是空间两个向量，若｜ a ｜＝2，｜ b ｜＝2，｜ a － b ｜ ＝ ，则 cos ＜ a ， b ＞＝ 　 　. 解析：将｜ a － b ｜＝ 两边平方，得（ a － b ）2＝7.因为｜ a ｜＝ 2，｜ b ｜＝2，所以 a · b ＝ .又 a · b ＝｜ a ｜｜ b ｜· cos ＜ a ， b ＞， 故 cos ＜ a ， b ＞＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等， E 是 BC 的中点，则 · ＝ ， · · .（填“＜”“＝”或 “＞”） 0　 ＜　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：由题易知 AE ⊥ BC ，所以 · ＝0，而 · ＝（ ＋ ）· ＝ ·（ － ）＋ · ＝｜ ｜·｜ ｜· cos 120°－｜ ｜·｜ ｜· cos 120°＋ ｜ ｜·｜ ｜· cos 120°＜ 0，所以 · ＜ · . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 如图，已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC ＝120°， PA ＝ AB ＝ BC ＝6， 则向量 在 上的投影向量为 ⁠. 解析：因为 · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝0＋6×6× ＋62＝ 54，所以向量 · ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AA1＝2， AD ＝4， E 为侧面 AA1 B1 B 的中心， F 为 A1 D1的中点，求下列向量的数量积： （1） · ； 解：如图，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则｜ a ｜＝｜ c ｜＝2，｜ b ｜＝4， a · b ＝ b · c ＝ c · a ＝0. （1） · ＝ ·（ ＋ ）＝ b ·［ （ c － a ）＋ b ］＝｜ b ｜2＝42＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2） · . 解： · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ）＝ ·（ a ＋ c ）＝｜ c ｜2－｜ a ｜2＝22－22＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. （2024·许昌月考）已知 a ， b 是异面直线，点 A ， B ∈ a ，点 C ， D ∈ b ， AC ⊥ b ， BD ⊥ b ，且 AB ＝2， CD ＝1，则 a 与 b 所成的 角是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ · ＝（ ＋ ＋ ）· ＝ · ＋ ＋ · ＝0＋12＋0＝1，又｜ ｜ ＝2，｜ ｜＝1.∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ . ∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴ a 与 b 所成的角是60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，有下列说法，其中正确的 有（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　如图，（ ＋ ＋ ）2＝ （ ＋ ＋ ）2＝ ＝3 ，故A 正确； ·（ － ）＝ · ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝0，故B正确； 夹角的补角，而△ ACD1为正三角形，所以 的夹角为60°，故 的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为 ｜ ｜·｜ ｜·｜ ｜，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. 在四面体 OABC 中，棱 OA ， OB ， OC 两两垂直，且 OA ＝1， OB ＝2， OC ＝3， G 为△ ABC 的重心，则 ·（ ＋ ＋ ） ＝ ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：因为 G 为△ ABC 的重心，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ）＝ ＋ － ）＋（ － ）]＝ ＋ ＋ .因为棱 OA ， OB ， OC 两两垂直，且 OA ＝1， OB ＝ 2， OC ＝3，所以 · ＝ · ＝ · ＝0，所以 ·（ ＋ ＋ ）＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＋ ＋ ＝ ×22＋ ×32＋ ×12＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·中山月考）如图，正四棱锥 P - ABCD 的各棱长都为 a . （1）用向量法证明 BD ⊥ PC ； 解： 证明：∵ ＝ ＋ ， ∴ · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＋｜ ｜ ｜ ｜ cos 120°＝ a2－ a2＝0.∴ BD ⊥ PC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求｜ ＋ ｜的值. 解：∵ ＋ ＝ ＋ ＋ ， ∴｜ ＋ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋2 · ＝ a2＋ a2＋ a2＋0＋2 a2 cos 60° ＋2 a2 cos 60°＝5 a2，∴｜ ＋ ｜＝ a . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. 如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一条 侧棱， Pi （ i ＝1，2，…，8）是上底面上其余的八个点，则 · （ i ＝1，2，…，8）的不同值的个数为（　　） A. 8 B. 4 解析：D　 · ＝ ·（ ＋ ）＝ ＋ · ，∵ AB ⊥平面 BP2 P8 P6，∴ ⊥ ， ∴ · ＝0，∴ · ＝｜ ｜2＝1，则 · （ i ＝1，2，…，8）的不同值的个数为1. C. 2 D. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 若正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2， MN 是它内切球的一条弦 （把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦）， P 为正方体表面 上的动点，当弦 MN 最长时，求 · 的最大值. 解：如图所示，设球心为 O ，连接 PO ，则当 弦 MN 的长度最大时， MN 为球的直径，由向 量线性运算可知 · ＝（ ＋ ）· （ ＋ ）＝ ＋ · ＋ · ＋ · ＝ ＋ ·（ ＋ ）＋ · ，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，则球的半径为1， ＋ ＝0， · ＝－1，所以 ＋ ·（ ＋ ）＋ · ＝ －1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 而｜ ｜∈[1， －1∈[0， 2]，即 · ∈[0，2]， 所以 · 的最大值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $