2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 课件第一章 1.2　空间向量基本定理

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖基底概念、正交分解及坐标表示，通过目标导航明确课标要求，小试身手题目衔接共线向量等旧知，为课堂探究基底判断、向量表示搭建学习支架。 其亮点在于以“课堂探究”为例，通过例1假设法推理基底共面问题培养数学思维，例2用基底表示平行六面体中向量强化数学语言表达，方法总结系统梳理步骤，助力学生构建知识体系，教师可提升教学效率，学生加深空间向量理解。

1.2　空间向量基本定理 [目标导航] 课标要求 1.了解空间向量基本定理及其意义 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(难点) 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点) 2 新知导学·素养启迪 条件 如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量p 结论 存在 ,使得p=xa+yb+zc 新知梳理 1.空间向量基本定理 (1)定理 不共面 唯一的有序实数组(x,y,z) (2)基底与基向量 如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc, x,y,z∈R},这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量. 2.空间向量的正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两 ,且长度都为 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示. (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个两两 的向量,叫做把空间向量进行正交分解. 垂直 1 垂直 小试身手 1.如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则(　 　) A.a与b共线 B.a与b同向 C.a与b反向 D.a与b共面 A 2.下列说法中正确的是(　 　) A.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B.空间的基底有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}的基向量对应相等 解析:只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底,基底不唯一,因此选项A,B,D均不正确,C正确,故选C. C 3.设a,b,c是三个不共面向量,现从①a-b,②a+b-c 中选出一个使其与a,b构成空间的一个基底,则可以选择的向量为　　　　(填写代号).  ② 课堂探究·素养培育 [例1] 若{a,b,c}是空间的一个基底,判断{a+b,b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底. 基底的概念 D 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 用基底表示向量 解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点D, 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 当堂即练·素养达成 D 当堂即练 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(　 　) A.重合 B.垂直 C.平行 D.无法确定 B C 0 解析:因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底,λe1+μe2+ve3=0,所以由空间向量基本定理可知,λ=μ=v=0,所以λ2+μ2+v2=0. 1.正确理解基底的概念 基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量,与任意两个非零向量都共面,所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量. 2.用基底表示向量的方法 用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则及向量的平行四边形法则、三角形法则把向量表示成几个基向量的和. 课堂小结 感谢观看 解:假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), 所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c.因为{a,b,c}为空间的一个基底,所以a,b,c不共面,所以此方程组无解. 所以a+b,b+c,c+a不共面.所以{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底. 即时训练11:O,A,B,C为空间四个点,且{,,}为空间的一个基底,则(　　) A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点中任意三点不共线 D.O,A,B,C四点不共面 解析:由于{,,}为空间的一个基底,所以,,不共面, 因此,O,A,B,C四点一定不共面,故选D. [例2] 如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,P是CA1的中点,M是CD1的中点,N是C1D1的中点,点Q是CA1上的点,且CQ∶QA1=4∶1,=a, =b,=c,用基底 {a,b,c} 表示以下向量. (1); 解:连接AC,AC1. (1)=(+) =(++) =(a+b+c) =a+b+c. (2); 解: (2)=(+) =(+2+) =(a+2b+c) =a+b+c. (3); 解: (3)=(+) =[(++)+(+)] =a+b+c. (4). 解: (4)=+=+(-) =+=++ =a+b+c. 即时训练21:在三棱锥OABC中,G是△ABC的重心.设=a,=b, =c,以a,b,c为基向量表示,则=　　 　　.  a+b+c 所以=2, 即-=2(-), 所以=+, 又=(+), 所以=a+b+c. 1.若O,A,B,C为空间四点,且向量,,不能构成空间的一个基底,则(　 　) A.,,共线 B.,共线 C.,共线 D.O,A,B,C四点共面 解析:由,,不能构成基底,知,,三向量共面, 所以O,A,B,C四点共面. 解析:连接C1E,则=++, =+=-(+). 设正方体的棱长为1, 于是·=(++)·(--)=0--0+0-0-+1-0-0=0, 故⊥,即AC1与CE垂直. 3.在四面体ABCD中,M为棱CD的中点,E为线段AM的中点,若=a+ b+c,则等于(　 　) A. B.1 C.2 D.3 解析:如图, =+=+=+(-)=+(+)-=+ +=++×=++(-)=++, 又=a+b+c,所以a=,b=,c=,则=2.故选C. 4.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,若λe1+μ e2+ve3=0,则λ2+μ2+v2=　　　　.  $