1.2空间向量基本定理课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，通过复习平面向量基本定理，引导学生类比从二维到三维，探究空间向量需三个不共面向量表示，构建“回顾-类比-猜想-验证”的学习支架。 其亮点在于以类比探究培养数学思维，结合平行六面体证垂直、正方体求夹角等例题，引导学生用数学语言表达空间关系，总结“选基底-表向量-用公式”步骤，提升空间观念与应用意识，助力学生系统掌握，方便教师教学。

1.2 空间向量 基本定理(1) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 平面向量基本定理 回顾 什么是平面向量基本定理？它的作用是什么？ 复习 若 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使＝＋． 若 , 不共线，则把{，}叫做表示这一平面内所有向量的基底． 问题1 根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 ，来表示. 类似地，空间中任意一个向量能否通过有限个向量线性表示？至少需要几个呢？ 共线 ⇒ 一个向量 共面 ⇒ 两个向量 三个？ 三个向量共面 三个向量不共面 追问2 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？ ？ 追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？两个不共线的向量还够用吗？ 至少需要三个向量 如图，设为空间中三个两两垂直的向量， 对于任意一个空间向量=设为在 所确定的平面α上的投影向量， 则=+ 先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况讨论. 探究 猜想：任意一个空间向量都可以由三个不共面的向量来表示. P Q O α P Q O α x y z 由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序数对， 使得. 从而. （书11） 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 我们称分别为向量在上的分向量. 空间向量基本定理 问题3 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？ 授新 一、 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. ●叫做基向量； ●叫做空间向量的一个基底； ●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把向量进行正交分解. 不共面说明它们为非零向量 基底不唯一 O 6 向量共线充要条件 平面向量基本定理 空间向量基本定理 向量 ( ≠ 0)与向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 ＝λ. 如果1，2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使 ＝λ11＋λ22． 如果三个向量， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 ＝x＋y＋z． 一维 二维 三维 {} {1，2} { ，，} 总结 例题书12 O A B C M N P . . 例1 如图示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 Q 定基底 ↓ 将未知化归为已知 总结 1 空间向量基本定理 2 类比平面向量的研究方法 类比 猜想 证明或转化 推广 空间向量基本定理 基 底 基向量 单位正交基底 正交分解 9 1.2 空间向量 基本定理(2) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 空间向量基本定理 回顾 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. ●叫做基向量； ●叫做空间向量的一个基底； ●如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1， 那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示， 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把向量进行正交分解. 不共面说明它们为非零向量 基底不唯一 O 11 例题 应用1—证垂直 A C D B C1 D1 B1 A1 N M 例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5， ∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1． 例题 应用1—证垂直 A C D B C1 D1 B1 A1 N M 例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝4，AD＝4，AA1＝5， ∠DAB＝60°，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝60°，M，N 分别为 D1C1，C1B1 的中点．求证 ：MN⊥AC1． 判断向量垂直 例题 应用2—证平行 例2 如图示， 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D'，D'D的中点. (1) 求证：EF//AC； B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 判断向量平行 例题 应用2—证平行 例2 如图示， 正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E, F, G分别为C'D′, A'D'，D'D的中点. (2) 求CE与AG所成角的余弦值. B D C A′ B′ C′ D′ A G F E 求向量夹角 练习 书本P14 1. 已知四面体OABC，OB = OC, ∠AOB =∠AOC = θ. 求证: OA⊥BC . C O B A 16 练习 书本P14 2. 如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB = 2，AD = 2，AA' = 3，∠BAD =∠BAA' = ∠DAA' = 60°. 求BC'与CA'所成角的余弦值. A C D B C′ D′ B′ A′ 练习 书本P14 3. 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，CD′和DC′相交于点O，连接AO. 求证：AO⊥CD'. B D C A′ B′ C′ D′ A O 6、如图，平行六面体的底面是菱形， 且， 求证：平面. 习题1.2 书本P15 证明：由题意，，各棱长均相等 设，， 则，， 又 所以且，又， 所以 练习 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M, N别是CC1，B1C1中点. 求证：MN平面A1BD. 证法一：（线面平行的判定） 又 <m>平面 <m>， <m>平面 <m>， 平面 <m> 总结  用基底解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤 4. 最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角. 1. 选基底． 2. 用基底表示出向量. 3. ①用||＝求长度， ②用＝λ ⇔∥， ③用·＝0⇔⊥， ④用cos θ＝||||(·)求夹角． 21 【导练】—— 举一反三·随堂落实 1．下列可使a，b，c构成空间的一个基底的条件是(　　) A．b＝λc B．a，b，c两两垂直 C．a＝mb＋nc D．a＋b＋c＝0 答案：B 解析：对于A，由于b＝λc，所以b，c共线，则a，b，c共面，不能构成基底，故A错误；对于B，a，b，c两两垂直，则a，b，c不共面，能构成基底，故B正确；对于CD，a＝mb＋nc，a＋b＋c＝0⇒a＝－b－c，都得到a，b，c共面，不能构成基底，故CD错误． 返回导航 22 2．在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为B1C1的中点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是(　　) A．－a＋b＋c B．a＋b＋c C．－a－b＋c D．a－b＋c 答案：A 返回导航 23 解析：如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，由M为B1C1的中点，则＝－＋c. 返回导航 24 3．已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有＝－2＋4＋m，则实数m的值为(　　) A．2　　　　B．0　　　　C．－1　　　　D．1 答案：C 解析：由题意，Q，A，B，C四点共面，又，所以－2＋4＋m＝1，即m＝－1. 返回导航 25 4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 垂直 返回导航 26 解析：以{}为空间一组基底， 则＝· ＝·＝·＝＝0，所以⊥，即AM⊥ON. 返回导航 27 下次见！ $