1.4.2第1课时用空间向量研究距离问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究距离问题，涵盖点到直线、点到平面等空间距离类型。通过情境导入提问“如何用向量方法求解距离”，衔接平面向量知识，以问题引导、公式推导、自我诊断为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过四棱锥中点到直线距离等典型例题展示通性通法，分层练习巩固。培养直观想象，教师可利用结构清晰的例题和步骤总结提升教学效率，学生能掌握转化思想和运算技能。

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行 的直线、相互平行的平面间的距离问题 数学抽象、 数学运算 2.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算 问题 数学抽象、 数学运算 3.体会向量方法在解决立体几何问题中的作用 数学运算、 直观想象 目录 数学·选择性必修第一册 第1课时 用空间向量研究距离问题 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与 另一个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离. 空间中常见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的 距离、相互平行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计 算距离是空间度量最基本的问题. 【问题】　如何用向量方法求解这些距离呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　点 P 到直线 l 的距离 如图，直线 l 的单位方向向量为 u ， A 是直线 l 上的定点， P 是直线 l 外 一点.设 ＝ a ，则向量 在直线 l 上的投影向量 ＝（ a · u ） u .在 Rt△ APQ 中，由勾股定理，得点 P 到直线 l 的距离为 PQ ＝ 　 　＝ 　 　. 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　点 P 到平面α的距离 　如图，已知平面α的法向量为 n ， A 是平面α内的定点， P 是平面α外 一点.过点 P 作平面α的垂线 l ，交平面α于点 Q ，则 n 是直线 l 的方向向 量，且点 P 到平面α的距离就是 在直线 l 上的投影 的长度.因此 PQ ＝ 　 　＝ ＝ 　 　. 　 　 提醒　线面距、面面距都可转化为点面距来求解. 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面α外一点 A 到平面α的距离，就是点 A 与平面α内一点 B 所 成向量 的长度. （　×　） （2）若直线 l ∥平面α，则直线 l 到平面α的距离就是直线 l 上的点到 平面α的距离. （　√　） （3）若平面α∥平面β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条 直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离. （　√　） × √ √ 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知直线 l 过定点 A （2，3，1），且 n ＝（0，1，1）为其一个方向 向量，则点 P （4，3，2）到直线 l 的距离为（　　） 解析：　 ＝（－2，0，－1），｜ ｜＝ ＝ ，则点 P 到直线 l 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. (2025秋·海沧区校级期末) 已知点1, 2, 1），，点在平面内，若平面的一个法向量-1, 0, 1)，则点到平面的距离为 （ ） 解析：　 A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 点到直线的距离 【例1】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PB ⊥平面 ABCD ， PB ＝ AB ＝2 BC ＝4， AB ⊥ BC ，则点 C 到直线 PA 的距离为（　　） D. 4 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　法一（向量法）　如图，以 B 为坐标原 点， BC ， BA ， BP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系.则 B （0，0，0）， C （2，0，0）， A （0，4，0）， P （0，0，4），故 ＝（2，0，－4）， ＝（0，4，－4），所以 上的投影向量的长度 d ＝ ＝ ＝2 ，故点 C 到直线 PA 的距离 h ＝ ＝ ＝2 ，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 法二（几何法）　如图，取 PA 的中点 M ，连接 BM ， CM ，因为 PB ⊥平面 ABCD ， BC ⊂平面 ABCD ，所 以 PB ⊥ BC ，又因为 AB ⊥ BC ， PB ∩ AB ＝ B ，所 以 BC ⊥平面 PAB ， PA ⊂平面 PAB ，所以 BC ⊥ PA ， 因为 M 是 PA 的中点， PB ＝ AB ，所以 BM ⊥ PA ，又 BC ⊥ PA ， BM ∩ BC ＝ B ，所以 PA ⊥平面 BCM ，又 CM ⊂平面 BCM ，所以 CM ⊥ PA ，即 CM 为点 C 到直线 PA 的距离.在等腰直角三角形 PAB 中， BM ＝ PB ＝2 ，在Rt△ BCM 中， CM ＝ ＝ ＝2 .故点 C 到直线 PA 的距离为2 .故选A. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的单位方向向量 u ； （3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量 a ； （4）利用公式 d ＝ 计算点到直线的距离. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 如图，在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，若 BB1＝2 ， AB ＝2，则点 C 到 直线 AB1的距离为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：设 AC 的中点为 O ，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B1（0， ，2 ）， C （－1，0，0）， ＝（－ 1， ，2 ＝（－2，0，0），所以点 C 到直线 AB1的距离为 ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 点到平面的距离 【例2】　（2024·徐州质检）如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的 长方体被截面 AEC1 F 所截而得到的，其中 AB ＝4， BC ＝2， CC1＝ 3， BE ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求｜ ｜； 解：以 D 为原点， DA ， DC ， DF 所在直线分 别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示空间直角 坐标系，则 D （0，0，0）， B （2，4，0）， A （2，0，0）， C （0，4，0）， E （2，4， 1）， C1（0，4，3）， ＝（0，4，1）. （1）设 F （0，0， a ），由 ＝ ，得（－2，0， a ）＝ （－2，0，2），所以 a ＝2，所以 F （0，0，2）， ＝（－ 2，－4，2），所以｜ ｜＝2 . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求点 C 到平面 AEC1 F 的距离. 解：设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 AEC1 F 的法向量， ＝（－ 2，0，2）， 由 取 z ＝1，则 n ＝（1，－ ，1），又 ＝（0，0，3）， 所以点 C 到平面 AEC1 F 的距离为 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 用向量法求点面距的步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系； （2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标（ ，平面α的法向量 n ）； （4）求距离 d ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 如图所示，已知四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1是底面边长为1的正四棱柱. 若点 C 到平面 AB1 D1的距离为 ，求正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的高. 目录 数学·选择性必修第一册 解：设正四棱柱的高为 h （ h ＞0），建立如图所示的空间直角坐标 系，有 A （0，0， h ）， B1（1，0，0）， D1（0，1，0）， C （1，1， h ），则 ＝（1，0，－ h ）， ＝（0，1，－ h ）， ＝（1， 1，0），设平面 AB1 D1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 取 z ＝1，得 n ＝（ h ， h ，1），所以点 C 到平面 AB1 D1的距离为 d ＝ ＝ ＝ ，解得 h ＝2. 故正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的高为2. 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 线线距、线面距和面面距 【例3】　如图，在直棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面为直角梯形， AB ∥ CD 且∠ ADC ＝90°， AD ＝1， CD ＝ ， BC ＝2， AA1＝2， E 是 CC1的中点，求直线 A1 B1与平面 ABE 的距离. 目录 数学·选择性必修第一册 解：∵ A1 B1∥ AB ， A1 B1⊄平面 ABE ， AB ⊂平面 ABE ， ∴ A1 B1∥平面 ABE ， ∴ A1 B1到平面 ABE 的距离就是点 A1到平面 ABE 的距离. 如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz ，则 A1（1，0，2）， A （1，0， 0）， E （0， ，1）， C （0， ，0），过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 F ，易得 BF ＝ ， 目录 数学·选择性必修第一册 ∴ B （1，2 ，0），∴ ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，－ ，1）. 设平面 ABE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）. 则 ∴ y ＝0， x ＝ z ，不妨取 n ＝（1，0，1）. ∵ ＝（0，0，2），∴点 A1到平面 ABE 的距离 d ＝ ＝ ＝ .∴直线 A1 B1与平面 ABE 的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　求直线、平面到它的平行平面的距离，先在直线、平面上找到一 点，然后转化为求点到平面的距离，且这个点要适当选取，以求解最 简便为准则. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，求平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间的距离. 解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 D （0，0， 0）， A1（1，0，1）， B （1，1，0）， D1（0，0，1）， ＝ （0，1，－1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，0，0）. 设平面 A1 BD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）. 目录 数学·选择性必修第一册 则 令 z ＝1，得 y ＝1， x ＝－1，所以 n ＝（－1，1，1）. 所以点 D1到平面 A1 BD 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 由题意可知平面 A1 BD ∥平面 B1 CD1，所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1间 的距离等于点 D1到平面 A1 BD 的距离，所以平面 A1 BD 与平面 B1 CD1 间的距离为 . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 已知 A （0，0，2）， B （1，0，2）， C （0，2，0），则点 A 到直 线 BC 的距离为（　　） B. 1 解析：　∵ A （0，0，2）， B （1，0，2）， C （0，2，0）， ∴ ＝（1，0，0）， ＝（－1，2，－2），∴点 A 到直线 BC 的距离 d ＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 2. (2025高二上·长兴月考) 已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为 ( )⁠. 解析：由，，又因为平面的一个法向量为，所以，，则点到平面的距离为. A. B.  C. D.  目录 数学·选择性必修第一册 3. 如图所示，在直二面角 D - AB - E 中，四边形 ABCD 是边长为2的正 方形，△ AEB 是等腰直角三角形，其中∠ AEB ＝90°，求点 D 到平 面 ACE 的距离. 目录 数学·选择性必修第一册 解：取 AB 的中点 O ，以 O 为原点，建立如图所示的空间 直角坐标系，则 A （0，－1，0）， E （1，0，0）， D （0，－1，2）， C （0，1，2），从而 ＝ （0，0，2）， ＝（1，1，0）， ＝（0，2，2）. 设平面 ACE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 令 y ＝1，则 x ＝－1， z ＝－1，所以 n ＝（－1，1，－1）为平面 ACE 的一个法向量.故点 D 到平面 ACE 的距离 d ＝ ＝｜ ｜＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 若 O 为坐标原点， ＝（1，1，－2）， ＝（3，2，8）， ＝（0，1，0），则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距离为（　　） 解析：　∵ ＝ ＋ ）＝ （4，3，6）＝ ＝（0，1，0），∴ ＝ － ＝ ， ∴｜ ｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·滨州月考）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为2，点 E 是 A1 B1的中点，则点 A 到直线 BE 的距离是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　建立空间直角坐标系如图所示，则 ＝ （0，2，0）， ＝（0，1，2），设∠ ABE ＝θ， 则 cos θ＝ ＝ ＝ ， sin θ＝ ＝ .故 A 到直线 BE 的距离 d ＝ ｜ ｜ sin θ＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 若三棱锥 P - ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足 PA ＝ PB ＝ PC ＝1， 则点 P 到平面 ABC 的距离是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　分别以 PA ， PB ， PC 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，1）.可 以求得平面 ABC 的一个法向量为 n ＝（1，1， 1），则 d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. （2024·苏州月考）如图，已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1， A1 A ＝ 5， AB ＝12，则直线 B1 C1到平面 A1 BCD1的距离是（　　） A. 5 B. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：以 D 为坐标原点， 的方向 分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立如图所示的空间 直角坐标系，则 C （0，12，0）， D1（0，0，5）. 设 AD ＝ x （ x ＞0），则 B （ x ，12，0）， B1（ x ，12，5）.设平面 A1 BCD1的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），由 n ⊥ ， n ⊥ ，得 n · ＝（ a ， b ， c ）·（－ x ，0，0）＝－ ax ＝0， n · ＝（ a ， b ， c ）·（0，－12，5）＝－12 b ＋5 c ＝0，所以 a ＝0， b ＝ c ，所以可取 n ＝（0，5，12）.又 ＝（0，0，－5），所以点 B1到平面 A1 BCD1的距离为 ＝ .因为 B1 C1∥平面 A1 BCD1，所以 B1 C1到平面 A1 BCD1的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）已知平面α的一个法向量为 n ＝（－2，－2，1），点 A （ x ，3，0）在平面α内，若点 P （－2，1，4）到平面α的距离 d ＝ ，则 x 的值可能为（　　） A. －1 B. －11 C. 1 D. 11 解析：　连接 PA （图略），由题意知 ＝（ x ＋2，2，－4）， ∴ d ＝ ＝ ＝ ，解得 x ＝－1 或 x ＝－11.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）如图，四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A1 O ⊥平面 ABCD ， AB ＝ AA1＝ ，以 O 为原 点， OB ， OC ， OA1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直 角坐标系，则下列说法正确的是（　　） B. 平面 OBB1的一个法向量为 n ＝（0，1，－1） C. A1 C ⊥平面 OBB1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　由题意得 O （0，0，0）， B （1，0，0）， C （0， 1，0）， A （0，－1，0）， A1（0，0，1）， B1（1，1，1），所 以 ＝（1，1，1），故A不正确； ＝（1，0，0），设平面 OBB1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 y ＝1，得 n ＝（0，1，－1），故B正确； ＝（0，1，－1）＝ n ，所以 A1 C ⊥平面 OBB1，故C正确；连接 OA （图略）， ＝ （0，－1，0），则点 A 到平面 OBB1的距离 d ＝ ＝ ＝ ，故D正确，故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 若两平行平面α，β分别经过坐标原点 O 和点 A （2，1，1），且两 平面的一个法向量 n ＝（－1，0，1），则两平面间的距离 是 ⁠. 解析：因为两平行平面α，β分别经过坐标原点 O 和点 A （2，1， 1），且两平面的一个法向量 n ＝（－1，0，1），则 ＝（2， 1，1），所以两平面间的距离 d ＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1的侧棱 AA1＝ ，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ＝1，则点 B1到平面 A1 BC 的距离为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，0）， A1（1，0， ）， B1（0，1， ）， C1（0，0， ），∴ ＝ （－1，1，－ ＝（－1，0，－ ＝（－1，1，0）.设平面 A1 BC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 令 z ＝1得 x ＝－ ， y ＝0，∴ n ＝（－ ，0，1）.∴点 B1到平面 A1 BC 的距离 d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ ABC ＝ ， D 是棱 AC 的中点，且 AB ＝ BC ＝ BB1＝1，则直线 AB1到平面 BC1 D 的距离为 ⁠. 　 解析：以 B 为原点， BC ， BA ， BB1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 B （0，0，0）， C1（1，0，1）， D （ ，0）， A （0，1，0）， B1（0，0，1），所以 ＝ （1，0，1）， ＝（ ，0）， ＝（0，－1，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 设平面 BC1 D 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 x ＝1，则 n ＝（1，－1，－1）.因为 · n ＝ 0×1＋（－1）×（－1）＋1×（－1）＝0，所以 ⊥ n ，又 AB1⊄ 平面 BC1 D ，所以 AB1∥平面 BC1 D . 设直线 AB1到平面 BC1 D 的距离 为 d ，因为 ＝（0，1，0），所以 d ＝ ＝ ＝ ，所以 直线 AB1到平面 BC1 D 的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. （2024·泉州质检）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA ⊥平面 ABCD ， PA ＝ AD ＝2， BD ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求证： BD ⊥平面 PAC ； 解：证明：以 A 为原点， AB ， AD ， AP 所在直 线分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，则 A （0，0，0）， D （0，2，0）， P （0，0，2），在Rt△ BAD 中， AD ＝2， BD ＝2 ，∴ AB ＝2，∴ B （2，0，0）， C （2，2，0），∴ ＝（0，0，2）， ＝（2，2，0）， ＝（－2，2，0）.∵ · ＝0， · ＝0，∴ BD ⊥ AP ， BD ⊥ AC . 又 AP ∩ AC ＝ A ，∴ BD ⊥平面 PAC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求点 C 到平面 PBD 的距离. 解：由（1）得 ＝（2，0，－2）， ＝（0，2，－2）， 设平面 PBD 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 ∴ x ＝ y ＝ z . 故平面 PBD 的一个法向量可取为 n ＝（1，1，1）. ∵ ＝（2，2，－2），∴点 C 到平面 PBD 的距离为 d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 在正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面边长为2，侧棱长为4，则点 B1到平面 AD1 C 的距离为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图，以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， C （0，2，0）， D1（0，0，4）， B1（2，2，4），∴ ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，4）， ＝（－2，－2，0）.设平面 AD1 C 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 取 z ＝1，则 x ＝ y ＝2，∴ n ＝（2，2，1），∴点 B1到 平面 AD1 C 的距离为 ＝ ，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 是边长为4的正三 角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，则下列说法 正确的有（　　） A. AC ⊥ PB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：取 AD 的中点为 E ，连接 PE . 因为 PA ＝ PD ，所以 PE ⊥ AD . 因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ， 所以 PE ⊥平面 ABCD . 以 E 为原点建立如图所示 的空间直角坐标系，则 A （2，0，0）， B （2，4，0）， C （－2，4，0）， D （－2，0，0）， P （0，0，2 ＝（－4，4，0）， ＝（2，4，－2 · ＝－8＋16＝8≠0，所以 AC 不垂直于 PB ，故A中说法错误； ＝（2，0，－2 ＝（－2，4，－2 ），所以点 C 到直线 PA 的距离 d1＝ ＝2 ，故B中说法正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ＝（0，－4，0），设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 z ＝1，得 x ＝－ ，所以 n ＝（－ ，0，1），则点 A 到平面 PDC 的距离 d2＝ ＝ ＝2 ＝ ， AB ⊄平面 PCD ，故 AB ∥平面 PCD ，所以直线 AB 到平面 PDC 的距离为2 ，故C中说法错误；设平面 PBC 的法向量为 m ＝（ a ， b ， c ），则 令 c ＝2，得 b ＝ ，所以 m ＝（0， ，2），所以点 D 到平面 PBC 的距离 d3＝ ＝ ＝ ，故D中说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册   　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：以 B 为坐标原点， BA ， BC 所在直线分别为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系，如图，则 B （0，0，0）， A （2，0，0）， P （2，0，2）， C （0，2，0），由 M 为 PC 的中点可得 M （1，1，1）， ＝（1，1，1）， ＝（2，0，0）， ＝（2，0，2）.设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ABM 的一个法向量，则 令 z ＝－1，可得 n ＝（0，1，－1），点 P 到平面 MAB 的距离 d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为线段 A1 B1的中点， F 为线段 AB 的中点. （1）求点 B 到直线 AC1的距离； 解：以 D1为坐标原点， D1 A1， D1 C1， D1 D 所在 直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，则 A （1，0，1）， B （1，1，1）， C （0，1，1）， C1（0，1，0）， E ， F ＝（0，1，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ＝（－1，1，－1）， ＝ ＝ ＝ ＝ . （1）取 a ＝ ＝（0，1，0）， u ＝ ＝ （－1， 1，－1），则 a2＝1， a · u ＝ . 所以点 B 到直线 AC1的距离为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求直线 FC 到平面 AEC1的距离. 解：因为 ＝ ＝ ，所以 FC ∥ EC1，又 EC1⊂平面 AEC1， FC ⊄平面 AEC1，所以 FC ∥平面 AEC1.所 以点 F 到平面 AEC1的距离为直线 FC 到平面 AEC1的距离.设 平面 AEC1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 取 z ＝1，则 x ＝1， y ＝2.所以 n ＝（1，2，1）是平面 AEC1 的一个法向量. 又因为 ＝ ，所以点 F 到平面 AEC1的距离为 ＝ ＝ . 即直线 FC 到平面 AEC1的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·济南月考）在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方 程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝0（ A ， B ， C ， D ∈R，且 A ， B ， C 不 同时为零），点 P （ x0， y0， z0）到平面α的距离 d ＝ ，则在底面边长与高都为2的正四棱锥 P - ABCD 中，底面中心 O 到侧面 PAB 的距离 d ＝（　　） C. 2 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　以底面中心 O 为坐标原点，建立空间 直角坐标系 Oxyz ，如图，则 O （0，0，0）， A （1，1，0）， B （－1，1，0）， P （0，0， 2）.设平面 PAB 的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝0， 将 A ， B ， P 三点的坐标代入计算得 A ＝0， B ＝ － D ， C ＝－ D ，所以方程可化为－ Dy － Dz ＋ D ＝0，即2 y ＋ z －2＝0，所以 d ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 如图，在四棱锥 P - ABCD 的平面展开图中，四边形 ABCD 是 边长为2的正方形，△ ADE 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形， ∠ HDC ＝∠ FAB ＝90°，求四棱锥 P - ABCD 外接球的球心到平 面 PBC 的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解：该几何体的直观图如图所示，分别取 AD ， BC 的中点 O ， M ，连接 OM ， PM ， PO ， ∵ PO ＝1， OM ＝2， PM ＝ ＝ ＝ ，∴ OP2＋ OM2＝ PM2，∴ OP ⊥ OM ， 又∵ PO ⊥ AD ，∴由线面垂直的判定定理得出 PO ⊥平面 ABCD ， 以点 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则 A （1，0，0）， B （1，2，0）， C （－1，2，0）， D （－1， 0，0）， P （0，0，1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 设四棱锥 P - ABCD 外接球的球心为 N （0，1， a ）， ∵ PN ＝ NA ，∴1＋（1－ a ）2＝1＋1＋ a2，解得 a ＝0. 设平面 PBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， ＝（1，2，－1）， ＝（－1，2，－1）， ＝（0，－1，1）， ⇒取 z ＝2，则 n ＝（0，1，2），则四棱锥 P - ABCD 外接球的球心到平面 PBC 的距离 d ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $