课时分层检测(5) 空间向量运算的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

位正交基底，设DA=i,D心=j,DD,-k,! 所以Q点的坐标为（一4，一1，一6）或(2，： 5,0). 向量EF可用单位正交基底(i,j,k} 表示。 !6(-4,3,2)[图为点D(0,0,0),DB1= :EF=E励+D元+C市，E与DA共线， (4,3,2),所以B(4,3,2),即AD=4,CD =3,DD1=2,所以A(4,0,0),C1(0,3,2), C市与CA共线， 因此AC=(一4,3,2).] .设ED=入DA1,CF=uCA 则EF-λDA1+DC+CA 7.35[由题知，b-a=(1+,21-1,0), =x(DA+DD )+DC+(DA-DC) .b-a2=(1+t)2+(2t-1)2+02=51 =(+)DA+(1-)DC+ADD =(+)i+(1-4)j+k, : -2+2--）+号b-a :EF LA D,EF⊥AC, 即EF⊥AD,EF⊥AC, =bam-3g5] ∴，EF·AD=0,EF·AC-0, :8.17或-1[由题知，a·b=-2-λ-2=1 又AD=-i-k,AC=-i+j, --4,a=√1+2+4=√5+F,b1 号V4于1+I=6,故cos120°-a6 5[(a+)i+(1-4j+k]·(-i-k)=0,: -λ-4 {[(a+)i+(1-)j+k]·(-i+j)=0 √/5+λ2·√6 2,解得入=17或1= 整理得{仁+分十180. 1.1 1 9.解由题意知A(1,0,1),B(1,1,0),C(0, 即21=0解得 =一3 1,0),D(1,1,1) λ+24=1， 2 PB=2AP得P(,号) 所以M 1 -1,3,- 号)以PM 亦的坐标是（行号一） -213 3 (2)证明 :BD =BD+DD=-i-j (2)当点P是面对角线AB的中点时， +k, P1,,)点Q在面对角我DC上遮 动，设点Q(a,1,a),a∈[0,1]，则PQ E=一 丽， a-+(1-）+(a-) 即EF与BD1共线， 又EF与BD1无公共点， ,所 ∴.EF∥BD. 课时分层检测（五） 基础达标练 以当a-是时，PQ取得藏小值写，此时 1.A[.a-b+2c=(9,3,0), ab+2c=V√g+3+0-3√0.]： 点Q(1,） 2.B[设b=(x,y,z),各选项给出的向量的10.解(1)设正三棱柱的侧棱长为h, 模都是√2，且a=√2. 由题意得A(0,-1,0),B(√3,0,0)，C(0, 1,0),B1(5,0,h),C1(0,1,h), 2 即x一x=1,结合远项知B项满足.] 则AB1=(5,1,h),BC=(-√3,1，h), 因为AB1⊥BC1,所以AB1·BC=-3+ 3.C[由题喜得AB中点M(2,是3又 1+h2=0, C01,0,所以ai-(2,3故M到 所以h=√2 (2)由(1)可知AB=(W3,1,N2), C的距离为CM=|CM BC=(-√3,1,0)， +(分)）+3- 所以AB·BC=-3十1=一2. 2 因为AB11=√6，BC=2, 4.A[根据公式cos(a,b)=a:b a b 所以cosA店，BC)=二2 2√ 61 x+8-10 所以异面直线AB:与BC所成角的余弦！ /x2+16+25×√/1+4+4 61 x-2 值为汽 号解得工=一3.故能力提升练 +41 选A.] i1.BC[如图，以D 为原点，DA,DC, 5,B[设Q(x,y,z),则PQ=(x+1,y-2,z DD1所在直线分 +3),由题知M=(1,1,1),又P0= 别为x轴、y轴、z 3MN且PQ∥M不，所以Pd=-3M或 轴，建立空间直角 坐标系Dxyz,则 PQ=3 MN, /x+1=3, D(0,0,0),Ea, (z+3=-3 (2+3=3, /x=-4, (x=2, 解得y=-1,或y=5, (z=-6 (=0, AD的中点H,则H号，0，@连接 220 HG,则HG = =-武+FG.:EG,HG,FG过同- 点G,∴.E,F,G,H四点共面，又HG与 BD相交，B,D1与平面EFG相交，故 A不正确；B(a,a,0),D1(0,0,a),A(a 0,0),B(a,a,a),C(0,a,0),.BD,= (-a,-a,a),AB1=(0,a,a),AC=(-a, a,0),则BD,·AB1=0,BD,·AC=0, .BD⊥AB,BD1⊥AC,即BD1⊥AB, BD1⊥AC,又AB,∩AC=A,.BD⊥平 面ACB,故B正确：壶=(0，-号 受）d=(-a,-4,ao萨，那 E本.BD 萨BD, a V 2 ·√3 3 tan(Ei,BD〉= 3 号西直线 3 EF与BD,所成角的正切值为9，故C正 确；易知四面体ACB,D,的体积等于正方 体的体积减去四个正三棱锥的体积，即a -4×号×号d=子a,故D不正确.故 远B、C.] (-，-)(-号) [由已知 得a=5(-2)+3+1×(-号） 3一号，因为口与b的夹角为艳角，所以 a·b<0, 即3一号<0，所以1< 151 若a与b的夹角为180°，则存在A<0. 使a=b(λ<0)， 即631)=-2-号) 5=-2 所以3=以， 6 所以=一5 故t的取值范图是 6.521 平行3 4 。[以 9 D为原点，DA, DC,DD1所在的 直线为工轴、y 轴、x轴，建立如 D 图所示的空间直 角坐标系Dxyz 易得D(0,0,0),A1(1,0,1),E0,1, z)B(1,1,0),因为P,Q均在平面 1 A1BC1D内，所以可设P(a,b,1),Q(m n,)从而A立=(-1,1，-号）萨 (a-1,b-1,1),B0=(m-1,m-1,1). BA.CB :6.4[a∥B,∴存在实数，使(1,2，-2) 因为BP⊥AE,BQ⊥AE, '.cos(BA,CB>= √30 =λ(-2，一4，k),.k=4.了 面.A应-a一0-》号 BA CB 10 :7.(1,0,-1)(答案不唯一）[易得0(0,0， =0, 所以 成·AE=-m-1)+6r-D-号 故A,B与B,C所成角的余孩值为Y圆 0),C(0,1,0),B1(1,1,1),∴.C=(0,1, =01 (3)证明 由(1)中建立的坐标系得C,(0, 0),OB=(1,1,1).设n=(x,y,z),OC ·n=y=0,OB1·n=x十y十z=0,故y= 1b-a= 解得 交所以P=(n一b,一， 0.2.N1,0.M合÷2） 0,x=一，取x=1,故x=一1.平面 1 O0CB1的一个法向量为n=(1,0,-1)(答 n-m= 2 0),又DB=(1,1,0),且P年DB,所以PQ i-(）G=1. 案不唯一).] 与BD的位置关系是平行.由以上分析可！ -1),B=(1,-1,1), [设M(x,y,x),因为AB 知，b一a= 2,AP=V√(a-1)+= GiB成=号×1+ 2 ×(-1)+0× =(1,-1,0),BM=(x,y,x-1),CM= (x-1,y-2,十3)，由题意，得 1=0, √a-r+(a+）-√2-a+哥 4x-1-(y-2)=0, CN.BN=1×1+0X(-1)+(-1)X1 所以x= 2y =0. z-1=0, (-）+,当a= 时，AP ∴.CMLB,CN⊥B, ∴.BN⊥CM,BN⊥CN, 2=1,所以点M的坐标为 -2 有最小值，最小值为3平] 又.C1M∩CV=C,CMC平面C,MN, CVC平面C,MN, 4.解如图，以D为原 D ∴BN⊥平面CMN !9.证明如图所示，取 点，DA,DC,DD所 课时分层检测（六） BC的中，点O,连 在直线分别为x轴 接A0. y轴、z轴建立空间直 基础达标练 因为△ABC为正三 角坐标系，设正方体 1.B[AB=(3,0,-2)= (9,0,-6),故i 角形，所以AO⊥BC 的棱长为a,则D(0, 3 因为在正三棱柱 0,0),B(a,a,0),C 选B.」 2.C[l⊥a,v与平面a平行， ABC-A1B,C中，平 (0,a,0),A1(a,0, 面ABC⊥平面 a),C1(0,a,a). .Wv,即u·v=0, BCCB,所以AO⊥平面BCCB,取 (1)证明设E(0,a,e),则A1它-(-a,a, ∴.1×3+(-3)×(-2)+x×1=0,∴2= BC的中点O,连接0O,以O为原点， -9. e-a),又BD=(-a,-a,0),A1E.Bd3.B[建立如图空 OB,OO,OA分别为x轴、y轴、x轴的正 方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), =0.A1E⊥Bd,即AE⊥BD. 间直角坐标系， D(-1,1,0),A1(0,2,3),A(0,0,5), (2)E为CC1的中点.理由如下： 设正方形ABCD 的边长为1，PA B1(1,2,0).所以AB=(1,2,-V3),BA 假设点E是CC1的中点，则E0,a, =a,则B(1,0, =(-1,2,N3),BD=(-2,1,0).图为AB ·BA,=1×(-1)+2×2+(-W3)×3 受)如图，设BD的中点为0，连接OE,! 0,E(7,1. =0,AB,.BD=1×(-2)+2×1+( 0,P(0,0,a).设F(0,y,0),则BF 0A,则0（号，0）=（号 3)X0=0.所以AB1⊥BA,AB⊥BD, 即AB⊥BA1,AB1⊥BD.又因为BA1∩ (-1y,0,P=（1,-@为BF BD=B,所以AB1⊥平面ABD 能力提升练 =(-a,-a,0),所以Oi.Bd=0,.O正 ⊥PE,即脉.P成=(-)X 十y=0,:1.ABC[以D为原点，以DA,D元，DD为 ⊥BD,即OE⊥BD.易知OA:⊥BD, 方向向量建立空间直角坐标系Dxyz(图 解得y=，即F(0,,0）是AD的中 略)，设AD=2,则有关，点及向量的坐标 ∴∠AOE为二面角A1-BD-E的平面 为：A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,2,1),F(1, 点，故品-1故选B] 0,0),G2,0,1),B1(2,2,2),D(0,0,2), a 4.A[因为n1·AB=0,n1·AC=0,ABn D1F-(1,0,-2),B1C=(-2,0,-2), a2 4一 4 2=0, AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量，· FG=(1,0,1),D1E=(2,2,-1),D1A= 又平面a与平面ABC不重合，所以平面a (2,0,-2). ∴.OAO正.则∠AOE=90,.平面 与平面ABC平行，故选A.] 设平面AD1E的法向量为n=(x,y,z), A,BDL平面EBD,∴.当点E为CC的中5，B[如图所示，以 点时，满足平面ABD⊥平面EBD D为坐标原点， D 则”：DA=0即径-2=0 {n·D1E=0,{2x+2y-x=0, 5.解(1)如图所示，建立空 DA,DC,DD1所 取x=2,则x=2,y=-1,n=(2,-1,2). 间直角坐标系Cxvz 在直线分别为x, 依题意得B(0,1,0), y,之轴，建立空间 D1F.BC=(1,0,-2)·(-2,0,-2)= N(1,0,1),.1B1= 直角坐标系，设正 2≠0，故A不正确：周为号≠号，故PG∥ √/(1-0)2+(0-1)2+(1-0) 方体的棱长为3， D,E不成立，故B不正确； =3, 则E(1,0,1),F (2,1,0),A1(3,0,3),A(3,0,0),C(0,3, FG·D1E=(1,0,1)·(2,2,-1)=1≠0， .线段BN的长为√. 0),D(0,0,0),B(3,3,0),D(0,0,3), 故FG⊥平面AD,E不成立，故C不正确； (2)由(1)中建立的坐标系得A1(1,0,2), C(0,0,0),B(0,1,2), ∴EF-(1,1,-1),AC=(-3,3,0),AD BF·n=(-1,-2,0)·(2,-1,2)=0,又 BFt平面ADE,故BF∥平面AD,E,故 ∴.BA=(1,-1,2),CB1=(0,1,2), =(-3,0,-3),BD=(-3,-3,3). D正确.故远ABC.] .BA.CB=1X0+(-1)X1+2X2 :EF·AC=0,EF·A1D=0,.EF⊥ =3. AC,EFAD,A错误，B正确；BD22:3(4》=(1,-3.-号）心 又BA1=6,CB,1=5, =-3EF,.BD∥EF,即EF∥BD, .C、D错误，] {a·AC-0, 221班级 姓名 得分 课时分层检测（五） 空间向量运算的坐标表示 :6.如图，以长方体ABCD D …0 基础达标练0一 A1B1CD1的顶点D为坐 1.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3, 标原点，过D的三条棱所 1,0),则|a-b+2c|等于 ( 在的直线为坐标轴，建立 A.3/10 B.2√10 空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3,2)，则 C.√10 D.5 AC1的坐标为 2.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a7.已知a=(1-t,1-t,),b=(2,l,),则|b-a的 成60°夹角的是 ) 最小值为 A.（-1,1,0) B.(1,-1,0) :8.若a=(-1,入，-2)，b=(2,-1,1),a与b的夹 C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 角为120°，则入的值为 3.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB9.如图，以棱长为1的正方体 的中点M到C的距离CM的值为( ) 的三条棱所在直线为坐标 A.⑤3 4 R号 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,点P在线段AB上， e嚼 D.3 点Q在线段DC上. (1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为 4.若向量a=(x,-4,-5),b=(1,-2,2),且 M时，求PM; a与b的夹角的余弦值为 ,则实数x的 (2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对 6 角线DC上运动时，探究PQ的最小值， 值为 ( A.-3 B.11 C.3 D.-3或11 5.已知M(1,2,3),N(2,3,4),P(-1,2,-3), 若1PQ1=3|MW|且PQ∥MN,则Q点的坐 标为 A.(2,5,0) B.(-4,-1,-6)或(2,5,0) C.(3,4,1) D.(3,4,1)或(-3，-2，-5) 119 班级 姓名 得分 10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1, 点，满足BP⊥A1E,BQ⊥A1E.若P,Q均在平 底面边长AB=2,AB1⊥BC1, 面A1BC1D1内，则PQ与BD的位置关系是 点O,O分别是边AC,AC ;AP的最小值为 的中点，建立如图所示的空间 4.如图，已知正方体ABCD D 直角坐标系 A1B1C1D1,点E为棱CC上 (1)求三棱柱的侧棱长； 的动点。 (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值， (1)求证：A1E⊥BD: (2)若平面ABD⊥平面EBD,试确定点E的 位置. 0 能力提升练 1.(多选)如图，已知正方体 ;5.如图，在直三棱柱ABC ABCD-A1B1C1D1的棱长 A1B1C1中，CA=CB=1, 为a,点E,F,G分别为棱 ∠BCA=90°，棱AA1=2, AB,AA1,C1D1的中点，下 M,N分别为A1B1,A1A的 列结论中正确的是 中点 A.B1D1∥平面EFG (1)求BN的长； B.BD1⊥平面ACB1 (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； C异面直线EF与BD,所成角的正切值为马 (3)求证：BN⊥平面CMN. D.四面体ACBD的体积等于a3 2.已知向量a=(5,3,1),b=（-2,t,- )若a 与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，E 为CC的中点，P,Q是正方体表面上相异的两 120