1.1.3 集合的基本运算-2026-2027学年高一数学人教B版必修第一册教学设计

该高中数学教学设计聚焦集合的基本运算，涵盖交集、并集、补集的概念、性质及运算。通过科学兴趣小组招募、意见征求会等生活化情境问题导入，衔接集合基本概念，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架。 资料以情境驱动和多表征结合为特色，用维恩图、数轴直观呈现运算（数学眼光），引导学生类比交集性质推导并集性质（数学思维），将“且”“或”转化为集合语言（数学语言）。实例如菱形与矩形交集为正方形，提升学生抽象能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程与多样化工具。

1.1.3 集合的基本运算 【课程基本信息】 年级 高一 课题 集合的基本运算 课时 1课时 授课教师 【教学目标】 1.理解并集、交集、全集、补集的概念. 2.会求并集、交集、补集，并能解决一些集合综合运算的问题. 3.会用符号、维恩图和数轴表示集合运算. 【教学重点】 会求并集、交集、补集. 【教学难点】 用符号、维恩图和数轴表示集合运算. 【教学过程】 一、交集 情境与问题：学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求： （1）中考的物理成绩不低于80分； （2）中考的数学成绩不低于70分． 如果满足条件（1）的同学组成的集合记为P，满足条件（2）的同学组成的集合记为M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合为S，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 设计意图：结合身边的事物举例，引出交集的概念，理解充满数学信息的现实世界中. 可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M. 交集的概念：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集．记作：A∩B. 读法：A交B. 交集维恩图表示：两个集合的交集可用如图所示的阴影部分形象地表示. 交集运算的概念：从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算. 上述情境与问题中的集合满足P∩M=S. 例如：{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}； 在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为{(x，y)|x=0}∩{(x，y)|y=0}={(0，0)}. 设计意图：通过举例子，更好地理解交集的概念. 想一想：如果集合A，B没有公共元素，那么它们的交集是什么？ 当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=. 交集的性质：交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有： (1)A∩B=B∩A； (2)A∩A=A； (3)A∩=∩A=； (4)如果A⊆B，则A∩B=A，反之也成立. 集合的交集语言描述：我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解. 例如：平面直角坐标系中的点(x，y)在第一象限的条件是：横坐标大于0且纵坐标大于0，用集合的语言可以表示为{(x，y)|x>0}∩{(x，y)|y>0}={(x，y)|x>0，y>0}，也就是说，为了保证(x，y)在第一象限，条件横坐标大于0且纵坐标大于0要同时成立. 二、并集 情境与问题：某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70分或英语低于70分的同学参加.如果记语文成绩低于70分的同学组成的集合为M，英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢？ 可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N. 设计意图：结合身边的事物举例，引出并集的概念，理解充满数学信息的现实世界中. 教师提问：通过交集的概念，尝试总结并集的概念. 并集的概念：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作：A∪B. 读法：A并B. 并集运算：两个集合的并集可用图(1)或(2)所示的阴影部分形象地表示．由A，B构造出A∪B，通常称为并集运算． 例如：{1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6} 设计意图：通过举例子，更好地理解并集的概念. 注意：同时属于A和B的元素，在A∪B中只出现一次. 上述情境与问题中的集合满足N∪M=P. 尝试与发现：类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有： 1.A∪B=B∪A； 2.A∪A=A； 3.A∪=∪A=A； 4.如果A⊆B，则A∪B=B. 注意：第4条反之也成立. 集合的并集语言描述：我们经常使用“或”可以借助集合的并集来理解.例如：x≥0的含义是x>0或x=0，这可以用集合语言表示为{x|x≥0}={x|x>0或x=0}={x| x>0∪x=0}，也就是说，为了保证x≥0，条件x>0与x=0只要有一个成立即可. 探索与研究：(1)设有限集M所含元素的个数用card(M)表示，并规定card()= 0．已知A={x|x是兴趣小组的成员}，B={x|x是数学兴趣小组的成员}，且card(A)=20，card(B)=8，card(A∩B)=4，你能求出card(A∪B)吗？ card(A∪B)=16+4+4=24. (2)设A，B为两个有限集，讨论card(A)，card(B)，card(A∩B)，card(A∪B)之间的关系． card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 三、补集 情境与问题：如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所有女同学组成的集合记为F，那么： (1)这三个集合之间有什么联系？ 集合M和集合F都是集合S的子集. (2)如果x∈S且xM，你能得到什么结论？ 如果x∈S且xM，则一定有x∈F. 全集的概念：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示. 教师提问：通过交集和并集的概念，总结补集的概念. 补集的概念：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集.记作：∁UA. 读法：A在U中的补集. 补集的运算：由全集U及其子集A得到∁UA，通常称为补集运算. 补集的维恩图表示：集合的补集也可用维恩图形象地表示，其中全集通常用矩形区域代表，如图所示： 教师提问：根据上面的概念中，情境与问题的两个集合满足什么？ 上述情境与问题中的集合满足∁SF=M，∁SM=F. 例如：如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则∁UA={2，4，6}. 注意：此时∁UA仍是U的一个子集，因此∁U(∁UA)也是有意义的，此例中的∁UA (∁UA)={1，3，5}=A. 补集的性质：事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质： (1)A∪(∁UA)=U； (2)A∩(∁UA)=； (3)∁U(∁UA)=A. 探索与研究：给定三个集合A，B，C，式子(A∪B)∩C的意义是什么？(A∩C)∪(B∩C)呢？作维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究(A∩B)∪C和(A∪C)∩(B∪C)之间的关系. (A∪B)∩C的意义是：集合A或B中的元素，同时又在集合C中的元素构成的集合； (A∩C)∪(B∩C)的意义是：集合A与C的公共元素，与集合B与C的公共元素构成的集合； 集合(A∪B)∩C可用图中区域①②③表示； 结论：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C). 集合(A∪C)∩(B∪C)可用图中圆C内部和区域④表示； 结论：(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C). 【课堂例题】 例1：求下列每对集合的交集： (1)A={1，-3}，B={-1，-3}； (2)C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8}； (3)E=(1，3]，F=[-2，2). 解：(1)因为A和B的公共元素只有-3，所以A∩B={-3}. (2)因为C和D没有公共元素，所以C∩D=. (3)在数轴上表示出区间E和F，如图所示，由图可知E∩F=(1，2). 例2：已知A={x|x是菱形}，B={x|x是矩形}，求A∩B. 解：A∩B={x|x是菱形}∩{x|x是矩形}＝{x|x是正方形}. 例3：已知区间A=(-3，1)，B=[-2，3]，求A∩B，A∪B． 解：在数轴上表示出A和B，如图所示. 由图可知A∩B=[-2，1)，A∪B=(-3，3]. 例4：已知U={x∈N|x≤7}，A={x∈U|x2≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}，求∁UA，∁UB，(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∩B). 分析：注意U中的元素都是自然数，而且A，B都是U的子集. 解：不难看出U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3}.因此 ，，，. 例5：已知A=(-1，+∞)，B=(-∞，2]，求∁RA，∁RB. 解：在数轴上表示出A和B，如图所示. 由图可知∁RA=(-∞，-1]，∁RB=(2，+∞). 【课堂巩固】 1.若全集，集合，，则( ) A. B. C. D. 2.已知全集，集合，，则集合( ) A. B. C. D. 3.设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是( ) A. B. C. D. 【小结作业】 19页的课后习题 【板书设计】 1.1.3 集合的基本运算 1.交集的概念及性质 2.并集的概念及性质 3.补集的概念及性质 4.全集的概念及性质 【教学反思】 课后 反思 优点： 不足： 改进措施： 课堂 评价 学科网（北京）股份有限公司 $