1.6相似三角形的应用（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的应用，通过台北101大楼、三清山等现实情境导入，引导学生思考无法直接测量的高度与宽度问题，从三角形中位线、全等三角形知识过渡到相似三角形，搭建递进式学习支架。 其亮点在于以真实问题（如河宽测量、树高计算）培养数学眼光，引导学生抽象为相似三角形模型体现数学思维，通过标杆、影子、平面镜反射等多种测量方法展示数学语言。典例与应用结合，帮助学生提升建模能力，教师可借助清晰流程与案例优化教学。

第1章 图形的相似 1.6 相似三角形的应用 导入新课 世界上最高的楼 ——台北101大楼 世界上最宽的河 ——亚马孙河 世界上有许多建筑许多高山，也有许多大河，在我们无法到达其顶端，也无法跨越到对岸时，如何才能利用所学过的数学知识知道“建筑、高山有多高，河有多宽”呢? 今天，我们学习用相似三角形的相关知识解决它们的高度或宽度 世界自然遗产、世界地质公园 ——江西省三清山 学 习 目 标 1 2 通能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度（重点） 进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力（难点） 新知探究 思 考 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 小组合作，解决下列问题 问题1： 从三角形的中位线的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 问题2： 从全等三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 问题3： 结合问题1和问题2，从相似三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 新知探究 问题1： 从三角形的中位线的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 问题2： 从全等三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ E D C C E D 取一点C,连接AC,BC 分别取AC、BC的中点E、D,连接DE，测量DE. 取一点C,连接AC,BC 在AC、BC的延长线上分别取点D、E，使得CD=AC,CE=BC.测量DE. 三角形的中位线定理 三角形全等 新知探究 C E D 连接并延长 AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点 E，使得==k(k 为正整数)，连接DE,测量DE即可。 问题3： 结合问题1和问题2，从相似三角形的角度思考，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 三角形相似 新知探究 做一做 如图，如果==2，且测得DE的长为50 m，则A，B两点间的距离为多少？ 解：∵==2，∠ACB=∠DCE， ∴△ABC∽△DEC． ∴=2． ∵ DE=50 m， ∴ AB=2DE=100m. C E D 例 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、 准星(A)、靶心点(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到 A'，如图所示.已知 OA = 0.2 m，OB = 50 m，AA' = 0.0005 m，求小明射击到的点 B' 偏离靶心点 B 的长度 BB'（近似地认为 AA'∥BB' ）.  典例分析 解：∵AA′∥BB′， ∴△OAA′∽△OBB′． ∴= ， ∴OA=0.2m,OB=50m,AA′=0.0005m. ∴ BB′=0.125m. 答:李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′为0.125m. 新知探究 相似三角形解决实际问题 总结归纳 实际问题 数学问题 相似三角形 列比例式求解 解释实际结果 抽象 构造 基础巩固题 新知应用 1、如图所示，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(　　) A．60m B．40m　 C．30m D．20m B 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解. 基础巩固题 新知应用 2. 如图，晓研同学测量旗杆AB的高度，在地面上竖一根2.4米长的竹竿DE，并在同一时刻下测得DE ，AB在地面上的影长EF=1.8米，BC=5.4米，则旗杆AB 长为（ ） A. 6.4米 B. 7.2米 C. 8米 D. 9.6米 B 测高方法1： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决. 基础巩固题 新知应用 3、如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是　　米(平面镜的厚度忽略不计)． 8 测高方法2： 测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 基础巩固题 新知应用 4.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______. 4米 物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高的方法3 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 基础巩固题 新知应用 5.如图，某路口栏杆的短臂长为1m，长臂长为6m.当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高多少米？ O A B C D 解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△ODC. ∵OA=1m，AB=0.5m， OD=6m， ∴CD=3m. 答：长臂端点升高3m. 基础巩固题 新知应用 6.小红同学用自制的直角三角形纸板 DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边 DE=80cm，EF=40cm,测得AC=1.5m，CD=8m，求树高AB. 解：∵∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D， ∴△DEF∽△DCB. ∵DE=80cm，EF=40cm， CD=8m=800cm， ∴BC=400cm=4m， 答：树高AB为5.5m. ∴AB=4+1.5=5.5m. 注意：统一单位 能力提升题 新知应用 9.周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线. 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB. 能力提升题 新知应用 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，即＝， 解得AB＝17(m). 经检验，AB＝17是原分式方程的解. 答：河宽AB的长为17 m. 能力提升题 新知应用 8、如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度. A E C D F B N 分析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A作AN∥BD交ID于N，交EF于M，则可得△AEM∽△ACN. 能力提升题 新知应用 解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，因为人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°, ∴AB∥EF∥CD, ∴∠EMA=∠CNA. ∵∠EAM=∠CAN, ∴△AEM∽△ACN , ∴ . ∵AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , ∴ , ∴CN=3.6m， ∴CD=3.6+1.6=5.2（m）. 故树的高度为5.2m. A E C D F B N 能力提升题 新知应用 10.这是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处水平放一平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好照到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙CD的高度. 解：由题意可得∠APE＝∠CPE，∴∠APB＝∠CPD， 故该古城墙CD的高度为8米. ∴ ，∴CD＝8米， ∵AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米， ∴ ， ∴△ABP∽△CDP， ∴∠ABP＝∠CDP＝90°， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， 课堂小结 相似三角形的应用 求两点间的距离或物体的宽 求物体的高 思想：转化为相似三角形的问题 方法：构造相似三角形，作垂线 感谢聆听! 【思路分析】　∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥CD，∴∠A＝∠D，∴△BAE∽△CDE，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(BE,CE)，∵BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，∴eq \f(AB,20)＝eq \f(20,10)，∴AB＝40m $