8.2 立方根 暑期专项练习2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 人教版七年级下册立方根暑期同步练，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到创新应用的知识进阶，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|立方根概念、性质及简单运算|单选题1-8考查立方根定义与性质，解答题16-17强化基本计算，夯实基础| |中档|综合应用与逻辑推理|单选题9-10结合数轴化简、多知识点判断，填空题14-15涉及体积应用，提升推理能力| |提升|拓展探究与创新思维|解答题20规律归纳，填空题13模仿华罗庚算理，培养数学眼光与创新意识|

8.2 立方根 暑期专项练习2025-2026学年人教版 七年级数学下册 一、单选题 1．小明在用计算器计算一个无理数的近似值时，不慎将墨水滴在了算式上，只能看到如下内容：，则涂黑的部分应为（    ） A．200 B．350 C．490 D．500 2．已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 3．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 4．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 5．若的算术平方根是2，是27的立方根，则的值为（   ） A． B． C． D．0 6．已知是整数，则满足条件的正整数最小是（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 8．下列说法正确的是（     ） A．负数没有立方根 B．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 C．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 D．一个不为的数的立方根与被开方数同号 9．如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（   ） A． B． C． D． 10．下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（     ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题 11．根据下面表格中的数据规律，填空： x … 0.2026 2.026 20.26 202.6 2026 … … 0.4501 1.423 4.501 14.23 45.01 … … 0.5873 1.265 2.726 5.873 12.65 … 若，，则_______． 12．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8．图中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，则正方形的边长为______． 13．据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定636056的立方根为______． 14．已知，则的值是________． 15．若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 三、解答题 16．计算 (1)； (2)． 17．把下列各数的序号填在相应的大括号内：①0，②，③，④3.1415926，⑤，⑥，⑦，⑧1.26，⑨，⑩0.13030030003…（相邻两个3之间的0逐次加1） (1)整数集合：{             }； (2)正实数集合：{             }； (3)无理数集合：{             }； (4)非负整数集合：{             }． 18．某校科技社团设计了一款智能计算器，该计算器具有特殊的“变换数对”功能． 定义：对于输入的数对，其中．计算器会先将进行开立方运算得到，即，再将的算术平方根取相反数得到，即，最后输出两个结果和，将这两个输出结果称为数对的“变换数对”． 例如：数对的“变换数对”为和． (1)下列选项不可能为某数对的“变换数对”结果的是________； A． B． C． D． (2)若输入数对，则输出的“变换数对”结果为________； (3)社团成员小明输入某个数对后，发现输出的“变换数对”其中一个结果是，求和的值． 19．已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值； (2)求的立方根． 20．阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D C B B D C C 1．B 【分析】本题考查立方根，分别求各选项的立方根即可求解． 【详解】解：A、，与7相差较大，故不符合题意； B、，最接近7，故符合题意； C、，与7相差较大，故不符合题意； D、，与7相差较大，故不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【详解】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 3．B 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 4．D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 5．C 【分析】先根据算术平方根的定义求出的值，再根据立方根的定义求出的值，最后代入计算结果，选出对应选项． 【详解】解：的算术平方根是， ， ． 是的立方根， ， ， ． ． 6．B 【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个整数的立方， 又∵要求满足条件的正整数最小， ∴正整数最小是，此时，符合题意． 7．B 【分析】本题考查平方根和立方根的运算性质，根据平方根、立方根的定义对各选项逐一计算即可判断对错． 【详解】解：对于选项A，表示的平方根，结果为，不等于，A错误； 对于选项B，根据立方根的性质，负数的立方根是负数，可得，，B正确； 对于选项C，表示的算术平方根，结果为，不是，C错误； 对于选项D，，不等于，D错误． 8．D 【详解】解：∵负数有立方根，例如，∴A选项错误； ∵负数有立方根，但负数没有平方根，∴ B选项错误； ∵任意数都只有一个立方根，∴ C选项错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，因此不为的数的立方根与被开方数同号，∴ D选项正确． 9．C 【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可． 【详解】解：由数轴可得， 则，， 原式 ， 故选：C． 10．C 【分析】根据立方根与平方根的定义可以判断①③④⑧，根据平行线的性质与垂线的性质可以判断②⑥，根据邻补角与角平分线的定义可以判断⑤，根据平行线的性质可以判断⑦，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根． 【详解】解：①立方根等于算术平方根的是0和1，故①不正确， ②在同一个平面内，经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； ③，故③不正确， ④若，则，故④不正确， ⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，故⑤正确； ⑥同一平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，⑥不正确， ⑦若ab，，那么，⑦正确 ⑧是的平方根，⑧不正确 有6个不正确， 故选C 【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，平行线的性质与垂线的性质，邻补角与角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 11． 【详解】解：由表格可得，被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点相应地向右或者向左移动一位；被开方数的小数点向右或者向左移动三位，它的立方根的小数点相应地向右或者向左移动一位， ∴，， ∴． 12． 【分析】先求出每个小正方体的边长，再求出魔方侧面的面积，则可得正方形的面积，由此即可得． 【详解】解：∵8个同样大小的正方体组成的魔方的体积为8， ∴每个小正方体的体积为， ∴每个小正方体的边长为， ∴魔方侧面正方形的边长为， ∴魔方侧面的面积为， 又∵正方形的面积是魔方侧面面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为． 13．86 【分析】按照题干给出的方法分步确定立方根即可． 【详解】解：，，， 的立方根是一个两位数； 的个位数字是，且只有个位数字为的数的立方，个位数字是， 的立方根的个位数字是； 划去后面的三位数，得到数， ，，， 的立方根的十位数字是； ∴的立方根为． 14．/ 【详解】解：∵， ∴ 15．（） 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可． 【详解】解：∵立方体的棱长为10， ∴原体积为． 由题意得，体积减小V后，新体积为， 由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即． ∴棱长应减少． 故答案为：（）． 16．(1)11 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．(1)①③⑨ (2)③④⑥⑦⑧⑩ (3)⑤⑥⑦⑩ (4)①③ 【分析】先化简题中可开方的数，再根据不同类型数的定义分类即可得到结果． 【详解】（1）解：先化简各数：，， 整数集合：{①③⑨}； （2）解：正实数集合：{③④⑥⑦⑧⑩}； （3）解：无理数集合：{⑤⑥⑦⑩}； （4）解：非负整数集合：{①③}． 18．(1)B (2) 和 (3) 【分析】（1）根据的取值范围判断选项即可； （2）按定义计算出和，即可写出变换数对； （3）分两种情况讨论输出数对的对应关系，排除不符合定义的情况，逆推计算得到和的值． 【详解】（1）解：由定义得，对任意输入数对，，因此， 任意输出的变换数对为或，因此任意变换数对中必有一个数不大于0， 选项A、，，可能； 选项B、，两个数都大于0，不可能； 选项C、，可能； 选项D、，两个数都不大于0，可能； （2）解：输入数对，则， ∴，， ∴输出的变换数对为和； （3）解：已知其中一个输出结果是， 分两种情况讨论： 若，则与矛盾，此情况舍去； 若， 由，得， 由，得，两边平方得，满足， 因此． 19．(1)的值为1 (2)的立方根是2 【分析】（1）根据平方根的定义计算即可得出结果； （2）先求出，再结合立方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）∵和是正数的平方根 ∴， 解得， ∴的值为1； （2）解：由（1）得的值为1， ∴，， ∵， ∴，则， ∵， ∴的立方根是2． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $