精品解析： 山西省朔州市怀仁市2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山西省朔州市怀仁市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A. 3，3，5 B. 4，5，6 C. 7，24，25 D. 2，3， 3. 一次函数的图象与y轴的交点坐标为（    ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（    ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 5. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点O；③作射线，分别交于点E，交的延长线于点；若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 根据《国家体质健康标准》，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑出男生、女生各5人进行训练，经多次测试得到这10名学生的成绩单位：秒如下： 男生：，，，， 女生：，，，， 根据以上数据，得到的推断正确的是（    ） A. 5名女生中成绩最好的是秒 B. 女生成绩的中位数为秒 C. 男生成绩的众数为秒 D. 5名女生的成绩均为优秀等次 8. 如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（    ） A. y是x的正比例函数 B. C. 当时， D. 当时， 9. 若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对角线的几何特征是（ ） A. 对角线互相垂直平分 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 10. 如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（    ） A. B. C. 4 D. 6 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将化成最简二次根式的结果为______． 12. 已知y是x的函数，该函数具有如下特征：①它的图象是一条不经过原点的直线；②它的图象经过第二、四象限．写出一个满足以上两个特征的函数解析式：_________． 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员______去参赛，更有把握赢得比赛． 14. 两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 15. 如图，在边长为4的正方形中，分别是边的中点，点G在线段上，交于点．若，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 18. 如图，E，F分别是的边，上的点，．求证：． 19. 如图， 直线 与直线 相交于点． （1）求， 的值； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 20. 素有“山西燕麦之乡”之称的右玉县凭借1600米的高海拔、2800小时的年日照时间以及的平均昼夜温差，成为中国优质燕麦的黄金产区，“右玉燕麦”还获得国家农产品地理标志登记保护． 【数据收集】 为了解右玉县不同区域种植燕麦“晋燕8号”的情况，某调查组从A，B两个区域随机选取了10块种植区，它们单位面积的亩产量千克/亩如下： A区域：170，165，168，166，169，164，165，166，171，166 B区域：163，167，168，168，171，173，165，164，161，160 【数据分析】 A区域和B区域“晋燕8号”亩产量数据分析 平均数 中位数 众数 方差 A区域 167 166 b c B区域 166 a 168 根据以上信息，解决下列问题： （1）表中______，______，______； （2）调查组成员小文认为A区域“晋燕8号”种植亩产量的平均数高于B区域，因此A区域“晋燕8号”的种植情况更好，成员小明认为小文只从平均数分析是片面的，请你结合表中数据，帮助小文进一步阐述理由； （3）为了更全面地了解A区域燕麦的种植情况，调查组又对A区域内种植的两个新品种“坝夜1号”和“白燕2号”展开研究，并聘请专家对这两种燕麦的三个重要指标造行评分，结果如下表单位：分，满分10分： 产量与适应性 品质与用途 种植成本 坝夜1号 7 9 6 白燕2号 9 8 7 调查组将“产量与适应性”“品质与用途”“种植成本”分别赋权2、5、3，再去看数据，请你帮助调查组分析：该地区更适宜种植哪种燕麦？ 21. 小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： （1）如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； （2）求的面积． 22. 项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： （1）根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； （2）如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： （3）“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们以矩形为背景．以“探究图形的性质”为主题，开展数学活动．如图①，在矩形中（），E是对角线上的点，且，过点E作于点F，过点C作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并证明； 深入探究： （2）将图①中沿射线平移，得到，点E，C，G分别对应点，，； ①如图②．当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，线段，分别与直线BC交于点，点M，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，当点在射线上某一位置时，重复①的操作，在此过程中平面内是否存在一点N，使得以，H，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出该矩形的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山西省朔州市怀仁市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，即可得出答案． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A. 3，3，5 B. 4，5，6 C. 7，24，25 D. 2，3， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数定义，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可． 【详解】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 一次函数的图象与y轴的交点坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出y值，进而可得出一次函数的图象与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，， 一次函数的图象与y轴的交点坐标为， 故选：B． 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（    ） A. 15 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，由矩形的性质得，，且，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点O， ，，且， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 5. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系； 根据一次函数的增减性和与y轴交于负半轴可得，． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为y随x的增大而减小， 所以， 因为一次函数的图象与y轴交于负半轴， 所以， 故选：D． 6. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点O；③作射线，分别交于点E，交的延长线于点；若，，则下列结论不一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行四边形的性质，由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，，进而可得，则．结合，可得，则，可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ， 故A选项正确，不符合题意； 四边形为平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故B，C选项正确，不符合题意； 结合已知条件不能得出， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 7. 根据《国家体质健康标准》，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过秒、秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑出男生、女生各5人进行训练，经多次测试得到这10名学生的成绩单位：秒如下： 男生：，，，， 女生：，，，， 根据以上数据，得到的推断正确的是（    ） A. 5名女生中成绩最好的是秒 B. 女生成绩的中位数为秒 C. 男生成绩的众数为秒 D. 5名女生的成绩均为优秀等次 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数、统计调查等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键．根据男生与女生的成绩、中位数和众数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：跑步成绩最好的用时最少， 所以5名女生中成绩最好的是秒，选项A正确； 把女生成绩按从小到大进行排序为，，，，， 所以女生成绩的中位数为，选项B错误； 男生成绩中，出现次数最多的是秒， 所以男生成绩的众数为秒，则选项C错误； 因为， 所以5名女生的成绩中，得分为秒的成绩不属于优秀等次，则选项D错误； 故选：A． 8. 如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（    ） A. y是x的正比例函数 B. C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格的数据以及利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由表格可知：x每增加1，y增加， 是x的一次函数，且， 选项A不正确； 设， 把代入中得：， 解得， 所以y关于x的函数解析式为：， 选项B正确； 当时，， 当时，， 选项C，D不正确； 故选：B． 9. 若顺次连接四边形各边的中点，所得到的四边形是菱形，则原四边形对角线的几何特征是（ ） A. 对角线互相垂直平分 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点分别是边，，，的中点，利用三角形中位线定理与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形． 【详解】解：如图： 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理可得：，，， 当时，，此时，四边形为菱形， 当中点四边形是菱形时，原四边形的对角线相等， 故选：D ． 10. 如图①，动点P从菱形的顶点A出发，沿边匀速运动，到达点C时P停止；设点P运动的路程为x，它与对角线交点O之间的距离为，如图②是y与x之间的函数图象，当点P运动至边的中点时，函数值y等于（    ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题函数图象，勾股定理，可先根据函数图象确定菱形的边长，再求出相关线段长度，最后利用勾股定理求出当点P运动到中点时的长． 【详解】解：根据函数图象，可得，， 由菱形，得，， ， 当点P运动至边的中点时，是的中位线， ， 故选：A． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 将化成最简二次根式的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 已知y是x的函数，该函数具有如下特征：①它的图象是一条不经过原点的直线；②它的图象经过第二、四象限．写出一个满足以上两个特征的函数解析式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查函数的表示法，根据所要求的函数特征，写出符合要求的函数解析式即可． 【详解】解：由题知， 因为函数的图象是一条不经过原点的直线，且经过第二、四象限， 所以该函数的解析式可以是： 故答案为：（答案不唯一） 13. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人射击10次，成绩的平均数单位：环和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 环 根据表中数据，你认为应该推荐运动员______去参赛，更有把握赢得比赛． 【答案】乙 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，首先比较平均数，选平均数最大的并且方差较小运动员的参赛即可． 【详解】解：由表中数据可知：乙的平均数最高，成绩最好；虽然丙的方差最小，但其平均数过低，而乙的方差也较小，发挥稳定；综合考虑，应推荐运动员乙去参赛 故答案为：乙． 14. 两张宽度均为的纸条如图所示交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，得出四边形是菱形是解题的关键．作交的延长线于点E，交的延长线于点F，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解四边形的周长． 【详解】解：如图，作交的延长线于点E，交的延长线于点F， 四边形是两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起的重合部分， ，，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，在边长为4的正方形中，分别是边的中点，点G在线段上，交于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质以及点分别是边的中点可得，可证得，在中，利用勾股定理可得，由可得，根据三角形的面积公式得，由此求解出的长，由已知条件可知是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，且边长为4， ，， 点分别是边的中点， ，， ， 在和中， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 在中，， ， 由三角形的面积公式得：， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的等面积法，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识，灵活运用是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， 对于（1），先根据二次根式的除法计算，再根据二次根式的加减法法则计算； 对于（2），先根据乘法分配律计算，再计算二次根式的加减法即可； 对于（3），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 17. 如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形，然后由，列式计算即可． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 答：这块四边形空地的面积为． 18. 如图，E，F分别是的边，上的点，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由四边形是平行四边形可得，由可知，由此可得四边形是平行四边形，即可证得． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ． 19. 如图， 直线 与直线 相交于点． （1）求， 的值； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， 的值分别为，； （2）． 【解析】 【分析】（）把点坐标代入可得的值，继而代入可求的值； （）根据两函数图象的交点横坐标即可得答案； 本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线过点， ∴， ∴点， ∵直线过点， ∴，解得：， ∴， 的值分别为，； 【小问2详解】 根据图象可知的解集为． 20. 素有“山西燕麦之乡”之称的右玉县凭借1600米的高海拔、2800小时的年日照时间以及的平均昼夜温差，成为中国优质燕麦的黄金产区，“右玉燕麦”还获得国家农产品地理标志登记保护． 【数据收集】 为了解右玉县不同区域种植燕麦“晋燕8号”的情况，某调查组从A，B两个区域随机选取了10块种植区，它们单位面积的亩产量千克/亩如下： A区域：170，165，168，166，169，164，165，166，171，166 B区域：163，167，168，168，171，173，165，164，161，160 【数据分析】 A区域和B区域“晋燕8号”亩产量数据分析 平均数 中位数 众数 方差 A区域 167 166 b c B区域 166 a 168 根据以上信息，解决下列问题： （1）表中______，______，______； （2）调查组成员小文认为A区域“晋燕8号”种植亩产量的平均数高于B区域，因此A区域“晋燕8号”的种植情况更好，成员小明认为小文只从平均数分析是片面的，请你结合表中数据，帮助小文进一步阐述理由； （3）为了更全面地了解A区域燕麦的种植情况，调查组又对A区域内种植的两个新品种“坝夜1号”和“白燕2号”展开研究，并聘请专家对这两种燕麦的三个重要指标造行评分，结果如下表单位：分，满分10分： 产量与适应性 品质与用途 种植成本 坝夜1号 7 9 6 白燕2号 9 8 7 调查组将“产量与适应性”“品质与用途”“种植成本”分别赋权2、5、3，再去看数据，请你帮助调查组分析：该地区更适宜种植哪种燕麦？ 【答案】（1）166，166，5 （2）理由见解析 （3）该地区更适宜种植“白燕2号” 【解析】 【分析】（1）根据根据众数、中位数、方差概念可求出的值； （2）根据方差的性质进行解答； （3）分别计算“坝夜1号”和“白燕2号”的加权平均数进行比较即可解答． 【小问1详解】 ， A区域中166出现的次数最多，所以， 故答案为：166，166，5； 【小问2详解】 由于区域种植亩产量的方差小于B区域，产量较为稳定， 所以小文只从平均数分析是片面的； 【小问3详解】 “坝夜1号”得分为：（分）； “白燕2号”得分为：（分） 因为，所以该地区更适宜种植“白燕2号”． 【点睛】本题主要考查了众数、中位数的概念，方差的概念与性质，加权平均数，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21. 小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： （1）如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； （2）求的面积． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：． 22. 项目式学习 问题背景：人体中蕴含着丰富的数学规律，从宏观结构到微观分子，例如：头顶到肚脐与肚脐到脚底的比例接近黄金比：多数器官呈左右对称……某数学活动小组对以下问题展开了探究． 数据收集：经过调查发现，当人的大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离d是身高y的函数，人的身高y和脚长x之间也近似存在一个函数关系如图①该小组同学收集了大量不同人群的相关数据，并将数据整理得到下表部分数据不完整： 脚长 … m … 身高（平均值） … 160 165 170 175 180 … 指尖距离 … 20 … 建立模型： （1）根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的______函数（填“一次”或“正比例”），则指间距离d与身高y的函数解析式为______； （2）如图②，小组同学描出了表中数据对应的点，观察图象、写出人的身高y和脚长x之间的函数解析式______，表格中的数据______. 问题解决： （3）“光明”中学计划开展一次学生素质拓展训练，为了合理分配场地，将每个团队位置划分为一个长方形，数学小组利用上面研究得出的结论测量长方形空地的长和宽．已知成员A的身高为．她测得长方形的长约为13个脚长，成员B的身高为．他测得长方形的宽约为13个指尖距离，求长方形空地的长和宽．（结果保留整数） 【答案】（1）一次， （2），25 （3）长方形空地的长约为，宽约为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，待定系数法求函数解析式，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据表中数据呈现的规律判断出为一次函数，设，把和代入解出即可； （2）设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，把，代入解出人的身高y和脚长x之间的函数解析式为，再把，代入求解即可； （3）将代入，求解出长方形空地的长，再将代入即可求解出长方形空地的宽． 【小问1详解】 解：根据表中数据呈现的规律，判断两指尖的距离d是身高y的一次函数， 设， 把和代入得， 解得， 指间距离d与身高y的函数解析式为， 故答案为：一次，； 【小问2详解】 解：设人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 人的身高y和脚长x之间的函数解析式为， 把，代入得， 故答案为：，25； 【小问3详解】 解：将代入，得， 解得， 所以长方形空地的长为， 将代入，得， 所以长方形空地的宽为， 答：长方形空地的长约为，宽约为． 23. 综合与实践 问题情境： 数学活动课上，同学们以矩形为背景．以“探究图形的性质”为主题，开展数学活动．如图①，在矩形中（），E是对角线上的点，且，过点E作于点F，过点C作的平行线，与的延长线交于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并证明； 深入探究： （2）将图①中沿射线平移，得到，点E，C，G分别对应点，，； ①如图②．当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，线段，分别与直线BC交于点，点M，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，，当点在射线上某一位置时，重复①的操作，在此过程中平面内是否存在一点N，使得以，H，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出该矩形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，理由见解析；②48或 【解析】 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定四边形是菱形； （2）①根据平移、翻折的性质得到，，通过证明得到，再利用线段的和差关系证得结论； ②在矩形中，，，根据勾股定理得到，过点D作于点P．当点在线段上，且时，四边形为矩形，当点在线段的延长线上，且时，四边形为矩形，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）四边形是菱形， 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）①，理由如下： 由平移可知，，， ， ， ， 由翻折可知，，， 又， ， ， ，即， ； ②在矩形中，，，根据勾股定理得到， 如图，过点D作于点 ， ， 在中，由勾股定理，得， ， ； 如图，当点在线段上，且时，四边形为矩形， 此时，， ； 如图，当点在线段的延长线上，且时，四边形为矩形， 此时，，， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $