21.2 .1 直接开平方法和因式分解法 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法和因式分解法，通过知识回顾环节复习平方根定义及因式分解练习，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生逐步过渡到新知探索。 其亮点在于注重方法对比与转化思想渗透，如通过“做一做”用两种方法解方程，结合错误辨析培养学生推理意识和运算能力。采用实例驱动教学，学生能深化对方法本质的理解，教师可借助丰富例题与训练提升教学效果。

直接开平方法和因式分解法 一元二次方程 1 1. 会用直接开平方法解形如 a(x－k)2 = b（a ≠ 0， ab ≥ 0）的方程. 2. 灵活应用因式分解法解一元二次方程. 3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用. 学习目标 1. 如果 x2 = a (a ≥ 0) ，则 x 就叫做 a 的________. 2. 如果 x2 = a (a ≥ 0) ，则 x = ______. 3. 如果 x2 = 64 (a ≥ 0) ，则 x = ______. 平方根 知识回顾 4. 把下列各式分解因式： （1）x2－3x （2）x2 + x + （3）2x2－x－3 x(x－3) 2 (2x－3)(x + 1) 知识回顾 解下列方程： （1）x2 = 4； （2）x2 －1 = 0 . 你是怎样解得？ 对于题（1），有这样的解法： 方程 x2 = 4 ， 意味着 x 是 4 的平方根，所以 即 x = x = x1 = 2 ，x2 = －2. 通常也表示成 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法. 探索新知 （2）x2 －1 = 0 . 对于题（2），有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x – 1)(x + 1) = 0 必有 x – 1 = 0 或 x + 1 = 0 分别解这两个一元一次方程，得 x1 = 1 ，x2 = －1. 先利用因式分解，将方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 思 考 （1）方程 x2 = 4 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？ x2 = 4 x2 － 4 = 0 (x + 2)(x－2) = 0 x1 = －2 ，x2 = 2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 移 移项使方程的右边为 0，即化为一般形式 分 将方程的左边分解因式 化 将一元二次方程转化为两个一元一次方程 解 解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解 思 考 （2）方程 x2－1 = 0 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？ x2－1 = 0 x2 = 1 x = x1 = －1 ，x2 = 1. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数 的形式； （2）开平方，将方程化为两个一元一次方程； （3）解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 做一做 使用两种方法解方程：x2 －900 = 0. （1）移项，得 x2 = 900， 直接开平方，得 x = ±30， ∴ x1 = 30，x2 = －30. （2）左边因式分解，得 x + 30 = 0 或 x – 30 = 0， 所以 得 x1 = 30，x2 = – 30. (x + 30)(x – 30) = 0， 例 1 解下列方程 （1）x2 – 2 = 0； （2）16x2 – 25 = 0 解 （1）移项，得 x2 = 2. 直接开平方，得 x =. 即 x1 = ，x2 = － . （2）16x2 – 25 = 0 （2）移项，得 16 x2 = 25. 方程两边都除以 16，得 x2 = . 直接开平方，得 x2 = . 即 x1 = ，x2 = － . 还有其他解法吗？ 16 x2 = 25 16 x2 －25 = 0 (4x + 5)(4x － 5) = 0 x1 = ，x2 = － . 例 2 解下列方程 （1）3x2 + 2x = 0；（2）5x(x – 3)－10(x－3) = 0. 解 （1）方程左边分解因式，得 x(3x + 2) = 0. 所以 x = 0 或 3x + 2 = 0. 得 x1 = 0，x2 = － . 例 2 解下列方程 （1）3x2 + 2x = 0；（2）5x(x – 3)－10(x－3) = 0. （2）方程左边分解因式，得 5(x－3)(x － 2) = 0. 所以 x－3 = 0 或 x － 2 = 0. 得 x1 = 3，x2 = 2 . 思 考 试写出一个一元二次方程，要求它的两根为 x1 = 2，x2 = 3. 符合条件的方程只有一个吗？如果还要求方程的二次项系数为 5，符合条件的方程是什么？ 符合两根 x1 = 2，x2 = 3 的方程不止一个. k(x－2)(x － 3) = 0. k 可以是不为 0 的任意实数. 当 k = 5时，方程二次项系数为 5. 1. 用直接开平方法解下列方程: （1）4x2 －25 ＝ 0； （2）(2x－3)2 －9＝0. 解 （1）移项，得 4x2 ＝ 25. 方程两边都除以 4，得 x2 ＝ . 直接开平方，得 x ＝± . 即 x1 ＝ ，x2 ＝－ . 用直接开平方法解下列方程: （1）4x2 －25 ＝ 0； （2）(2x－3)2 －9＝0. （2）原方程可以变形为 (2x－3)2 ＝ 9. 看成一个整体直接开方降次. 直接开平方，得 2x－3 ＝ ±3. 所以 2x－3 ＝ 3 或 2x－3＝－3. 即 x1 ＝ 3，x2 ＝ 0. 解下列方程： 【选自教材第23页 练习】 （1）x2 = 169； （2）45－x2 = 0； （4）x2 －2x = 0； （5）(t－2)(t + 1) = 0； （3）12y2 －25 = 0； （6）x(x + 1)－5x = 0. 解:（1）直接开平方，得 x ＝±13. 即 x1＝13，x2 ＝－13. （2）移项，得 x2 ＝ 45. 直接开平方，得 x ＝±. 即 x1 ＝，x2 ＝－. （1）x2 = 169； （2）45－x2 = 0； （4）x2 －2x = 0； （5）(t－2)(t + 1) = 0； （3）12y2 －25 = 0； （6）x(x + 1)－5x = 0. （3）移项，得 12y2 ＝ 25. 方程两边都除以 12，得 y2 ＝ . 直接开平方，得 y ＝± . 即 y1 ＝ ，y2 ＝－ . （4）方程左边分解因式， 得 x(x－2)＝ 0. 所以 x ＝ 0 或 x－2＝0. 得 x1 ＝ 0，x2 ＝ 2. （1）x2 = 169； （2）45－x2 = 0； （4）x2 －2x = 0； （5）(t－2)(t + 1) = 0； （3）12y2 －25 = 0； （6）x(x + 1)－5x = 0. （5）因为(t－2)(t + 1)＝ 0， 所以 t－2 ＝ 0 或 t + 1＝0. 得 t1 ＝ 2，t2 ＝－1. （6）方程左边分解因式， 得 x(x + 1－5) ＝ 0， 即 x(x－4) ＝ 0. 所以 x ＝ 0 或 x－4 ＝ 0. 得 x1 ＝ 0，x2 ＝ 4. 例 3 解下列方程 （1）(x + 1)2－4 = 0； （2）12(2－x)2－9 = 0. 两个方程都可以通过简单的变形，化为 ( )2 = a (a ≥ 0) 的形式，用直接开平方法求解. 分 析 解 （1）原方程可以变形为 例 3 解下列方程 （1）(x + 1)2－4 = 0； （2）12(2－x)2－9 = 0. (x + 1)2 = 4. 直接开平方，得 x + 1 = ±2. 所以 x1 = 1，x2 = －3. 你是这样解的吗？还有没有其他解法？ 例 3 解下列方程 （1）(x + 1)2－4 = 0； （2）12(2－x)2－9 = 0. （2）原方程可以变形为 直接开平方，得 所以 x1 = ________，x2 = ________. (2－x)2 = 2－x = 2－ 2 + 你知道吗？ 小明和小亮一起解方程： x(3x + 2) – 6(3x + 2) = 0. 小明将方程左边分解因式，得 (3x + 2)(x – 6) = 0， 所以 3x + 2 = 0 或 x – 6 = 0. 得 x1 = ，x2 = 6. 小亮的解法是这样的： 移项，得 x(3x + 2) = 6(3x + 2)， 方程两边都除以 (3x + 2)，得 x = 6. 小亮说：“我的方法多简便！” 可另一个根哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 3x + 2 可能为 0. 解下列方程: （1）2x2 －3x ＝ 0； （2）[整体思想] 5x(x－3)＝ x－3； （3）x2 + 16 ＝ 8x； （4）(2x－1)2 －9x2 ＝ 0. 解:（1）方程左边分解因式，得 x(2x－3) ＝ 0. 所以 x ＝ 0 或 2x－3 ＝ 0. 得 x1 ＝ 0，x2 ＝ . （2）移项，得 5x(x－3)－(x－3) ＝ 0. 方程左边分解因式，得 (x－3)(5x－1)＝ 0. 所以 x－3 ＝ 0 或 5x－1 ＝ 0. 得 x1 ＝ 3，x2 ＝ . 不用急于化成一般形式，能提公因式的先提公因式. （1）2x2 －3x ＝ 0； （2）[整体思想] 5x(x－3)＝ x－3； （3）x2 + 16 ＝ 8x； （4）(2x－1)2 －9x2 ＝ 0. （3）移项，得 x2 －8x + 16 ＝ 0. 方程左边分解因式，得(x－4)2 ＝ 0. 所以 x1 ＝ x2 ＝ 4. （4）方程左边分解因式，得 (2x－1 + 3x)(2x－1－3x)＝ 0， 即 (5x－1)(－x－1) ＝ 0. 所以 5x－1 ＝0 或－x－1＝ 0. 得 x1 ＝ ，x2 ＝－1. 解下列方程: 【选自教材第25页 练习】 解下列方程： （1）(x + 2)2 －16 = 0； （2）(2x + 3)2 －25 = 0； 解:（1）原方程可以变形为 (x + 2)2 ＝ 16. 直接开平方，得 x + 2 ＝ ±4. 所以 x1 ＝ 2，x2 ＝ －6. （2）原方程可以变形为 (2x + 3)2 ＝ 25. 直接开平方，得 2x + 3 ＝ ±5. 所以 x1 ＝ 1，x2 ＝ －4. 【选自教材第25页 练习】 解下列方程： （3）4(1－3x)2 = 1； （4）3(x － 1)2 －18 = 0. （3）整理，得 (1－3x)2 ＝ . 直接开平方，得 1－3x ＝± . 所以 x1 ＝ ，x2 ＝ . （4）整理，得 (x－1)2 ＝ 6. 直接开平方，得 x－1＝±. 所以 x1 ＝1 + ，x2 ＝ 1－. 1. 直接开平方法. 2. 因式分解法. 注意：直接开平方法只适用于能转化为 x2 = p 或 (mx + n)2 = p（m ≠ 0）形式的方程. 其有解的前提条件是 p ≥ 0. 注意：不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会造成丢根. 课堂小结 $