精品解析：安徽芜湖市第一中学2025-2026学年第二学期期末教学质量检测高二数学试卷

芜湖一中2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题，所以命题为. 2. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 32 B. 24 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】的系数为：. 3. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 4. 已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的性质进行判断． 【详解】必要性：若的值域为，则在定义域上的最大值为1，最小值为-1，则必要性成立， 充分性：若在定义域上的最大值为1，最小值为-1， 取，满足题意，但的值域为，则充分性不成立， 故“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的必要不充分条件． 5. 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ） A. 方式二比方式一先到学校 B. 方式一比方式二先到学校 C. 两种方式到学校的时间一样 D. 无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 6. 已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性及函数图象，分析选项即可. 【详解】由函数图象可知关于原点对称，所以是奇函数. 对于，，，故错误； 对于,，当时，，与图象不符，故错误； 对于，，当，与图象不符，故错误； 故选： 7. 教师用五个相同的奖品奖励三位学生，每个学生都必须得到奖品的奖励方法的种类数为（ ） A. 6 B. 36 C. 90 D. 150 【答案】A 【解析】 【详解】将五个相同的奖品排成一排，在中间的四个空位中插入两个隔板，共有种方法， 8. 已知，则数能被整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查时，则、、都能被整除，则能被整除，列举出的所有可能情况，并列举出每种情况下，列举出的所有情况，再结合计数原理和古典概型的概率公式计算即可. 【详解】考查时，则、、都能被整除， 接下来只需要考查能被整除即可， 但、、、为、、、的一个排列， 由于、、、都不能被整除，则不能被整除，所以能被整除， 则或或或或或或或， 当时，则或， 则当或或或或或或，都有种情况， 即当时，不同的排序方法种数为种， 故当时，每种排序方法种数都为种， 由古典概型的概率公式可知，数能被整除的概率为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 函数图象关于轴对称 C. 的值域为 D. 函数无零点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分式函数的定义域求法，奇偶性判断以及基本不等式推出函数的性质即可逐一判断. 【详解】由易得的定义域为，故A正确； 对于，都有， 因 ，， 即函数不是偶函数，图象不关于轴对称，故B错误； 同时，即函数为奇函数， 当时，，则时，有， 故的值域为，即C错误； 令，即，此方程无解， 则函数无零点，即D正确. 10. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接根据对立事件的概率、条件概率及全概率公式计算可得. 【详解】对选项A， 由对立事件概率的性质得，A正确； 对选项B ，根据条件概率公式：，变形得： ，B正确； 对选项C， 由全概率公式 ，得，C错误； 对选项D ，根据条件概率公式 ，D正确. 11. 已知函数则下列命题正确的有（ ） A. 若在定义域上是增函数，则 B. 若的极小值点与极小值均为0，则 C. 若有两个正的零点和极值0，则 D. 对，在函数的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用导数判断三次函数单调性，需保证导函数判别式，推导得；选项B，通过极小值点与极小值均为0列方程，求得，再结合导数与极值的关系验证时成立；选项C，设二重正零点形式的函数，展开对比系数后用均值不等式证明；选项D，利用三次函数的中心对称性，可知存在无数组对称点构成平行四边形. 【详解】选项A，，因为在定义域上是增函数，所以，即，取，，满足题意，但，则A错误； 选项B，若的极小值点与极小值均为0，则，此时， 极值点为和，若是极小值点，则需满足，此时在处取极小值0，符合条件，所以，B正确； 选项C，设有两个正的零点，且其中一个极值为，因为极值点处函数值为，所以该点对应的零点为二重根， 设这个二重正零点为，另一个正零点为，则，且， 于是，展开得 ，所以 ， 要证 ，即证， 也就是证 ， 由均值不等式， ，当且仅当时取等号，但，故， 两边立方得 ，所以 ，C正确； 选项D，对于三次函数， ，令， 则，因为，所以图象关于点成中心对称，， 因为，所以当时有，，即图象关于点中心对称. 任取图象上两点，作关于对称中心的对称点，则四点构成平行四边形，这样的取法有无数种，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性运算求解. 【详解】由题意可知：正态密度曲线的对称轴为，所以. 13. 已知，且，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求导判断函数的单调性，根据单调性即可求得不等式的解集. 【详解】函数的定义域为， 其导函数恒成立，故函数在上单调递增， 则由可得，解得， 即实数的取值范围为. 14. 已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记年的年份代码分别为，下表为年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 （1）依据表中数据，可知年份代码与市场规模呈线性相关，求出关于的经验回归方程． （2）预测年的市场规模． 附：经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为． 【答案】（1） （2）千亿元 【解析】 【分析】（1）先计算均值，再求和、求斜率，最后求截距，进而求出关于的经验回归方程； （2）利用回归方程做预测，找准目标年份对应的x取值，直接代入求值即可． 【小问1详解】 由题意， 可得， 得到， 故， 由，可得， 故关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意可得年的年份代号为6，即， 结合（1）的线性回归方程得， 所以预测年的市场规模为千亿元． 16. 已知函数的极小值点为． （1）求实数的值以及的单调区间； （2）求在区间上的最值．（参考数据：） 【答案】（1），单调递减区间为，单调递增区间为． （2）最小值为；最大值为． 【解析】 【分析】（1）直接由函数的极小值可得参数值，并通过导数可得函数的单调区间； （2）由（1）可得函数在的极值及单调性，进而可得函数的最值. 【小问1详解】 因为函数，所以函数的定义域为. 所以，因为函数的极小值点为，所以，解得. 再将导函数整理为， 令，解得，令，解得， 所以单调递减区间为，单调递增区间为． 因此，，单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极小值也是最小值， 且，， 所以，即. 因此，函数在区间上的最小值为，最大值为． 17. 已知集合 （1）求； （2）从中取出一个元素，求取出的元素属于集合的条件下，属于集合的概率； （3）从集合中各取一个元素，求取出的元素之和属于集合的概率． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据条件概率的运算公式进行求解即可； （3）根据古典概型运算公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知； 【小问2详解】 记取出的元素属于为事件，取出的元素属于为事件， 则； 【小问3详解】 从集合中各取一个元素共有种， 其中取出的元素之和属于集合的情况有：共种， 所以概率． 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）探究方程根的个数； （3）若在恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2），有一个根；，有两个根 （3） 【解析】 【分析】（1）求出曲线导数，将值代入导数和函数中，求出斜率和坐标，得直线方程. （2）化简函数，分离参数后，构建函数接着求导分析函数单调性并求出零点，根据参数的值，确定零点个数及范围. （3）先分类讨论底数的取值范围，舍去的无解情况；当时，利用指数与对数函数关于对称的性质等价转化不等式，两边取对数分离参数，结合已有结论得到的下界，进而解出的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 曲线在处的切线斜率， 又时，，切线方程为． 【小问2详解】 由得，由可取对数得， ，令 ， 在上单调递增，在上单调递减 在上，在上， 时，，有一个零点； 时，，有两个零点； 时，，有一个零点； 时，，有两个零点． ，有一个零点，即方程有一个根；，有两个零点，即方程有两个根. 【小问3详解】 由得 当时，不符合题意 当时，取对数得，结合与关于对称 ，取对数得 结合（2）中结论得， 19. 某公司举行团建活动，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积分，将每位参与活动的员工所得积分记为随机变量． （1）若，，求的概率； （2）求，，的概率； （3）求随机变量的数学期望． 【答案】（1） （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）若，则表示总共套了次，其中前次套中，第次没有套中，结合独立事件的概率公式可求得的值； （2）分别分析、、中，套圈的次数，以及套中、未套中的次数分配，结合独立重复试验的概率公式求解即可； （3）求出随机变量的分布列，根据分布列的概率之和为得出，等式两边对求导得，再对等式变形，结合离散型随机变量的期望公式化简可得出的值. 【小问1详解】 若，则表示总共套了次，其中前次套中，第次没有套中， 因此概率为. 【小问2详解】 表示总共套了次，前次均没有套中， 因此概率为， 表示总共套了次，其中前次中套中了次，第次没有套中， 因此概率为， 表示总共套了次，其中前次中套中了次，第次没有套中， 因此概率为． 【小问3详解】 结合（2）可得分布列为 X 1 P ， 由于分布列的概率和为，即， 等式关于恒成立，两边对求导得 ， 分组求和可得， 移项得， 变形得， 注意到，， 代入上式得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 芜湖一中2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 2. 在二项式的展开式中，的系数为（ ） A. 32 B. 24 C. 12 D. 8 3. 已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，“在定义域上的最大值为1，最小值为-1”是“的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（ ） A. 方式二比方式一先到学校 B. 方式一比方式二先到学校 C. 两种方式到学校的时间一样 D. 无法确定哪种方式先到学校 6. 已知 ，若函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是 （ ） A. B. C. D. 7. 教师用五个相同的奖品奖励三位学生，每个学生都必须得到奖品的奖励方法的种类数为（ ） A. 6 B. 36 C. 90 D. 150 8. 已知，则数能被整除的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 函数图象关于轴对称 C. 的值域为 D. 函数无零点 10. 已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数则下列命题正确的有（ ） A. 若在定义域上是增函数，则 B. 若的极小值点与极小值均为0，则 C. 若有两个正的零点和极值0，则 D. 对，在函数的图象上能构成平行四边形的四个点的组数有无数组 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量服从正态分布，则___________． 13. 已知，且，则实数的取值范围为___________． 14. 已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着居民生活水平提升、消费观念转变以及技术不断革新，智能小家电市场前景广阔，记年的年份代码分别为，下表为年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元）． 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模 （1）依据表中数据，可知年份代码与市场规模呈线性相关，求出关于的经验回归方程． （2）预测年的市场规模． 附：经验回归方程中斜率的最小二乘估计公式为． 16. 已知函数的极小值点为． （1）求实数的值以及的单调区间； （2）求在区间上的最值．（参考数据：） 17. 已知集合 （1）求； （2）从中取出一个元素，求取出的元素属于集合的条件下，属于集合的概率； （3）从集合中各取一个元素，求取出的元素之和属于集合的概率． 18. 已知函数 （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）探究方程根的个数； （3）若在恒成立，求的取值范围． 19. 某公司举行团建活动，其中有一项套圈活动备受欢迎，活动规则为每人累计次未套中时则停止套圈，否则可以继续套圈．若每人每次套中的概率为，且每次套中与否互不影响，每次套中后积分，将每位参与活动的员工所得积分记为随机变量． （1）若，，求的概率； （2）求，，的概率； （3）求随机变量的数学期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $