精品解析：安徽省合肥市第六中学等校2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年第一学期高二年级期末检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 120° C. 150° D. 2. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 在等比数列中，，则（    ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 4. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A. B. C. D. 5. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设是双曲线两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列说法错误的是 A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 如图，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法中正确的有（　　） A. 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p B. 若点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2为定值p2 C. D. 以线段AF为直径的圆与y轴相切 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. 若方程有个不等的实根，则 C 当时， D. 设，若对，，使得成立，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点和的直线的方程为________． 13. 函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为______． 14. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______． 三、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知正项数列满足且， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切，直线 （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的值. 17. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记 （1）求长，并求当为何值时，长度取得最小值； （2）当的长取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：对任意恒成立； （3）对于函数图象上不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二年级期末检测 数学试题卷 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 120° C. 150° D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程求出直线的斜率，即得倾斜角的正切值，从而求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得：， 故直线斜率， ，. 故选：C. 2. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 3. 在等比数列中，，则（    ） A 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再根据可得答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，可得q＝2，所以. 故选：A. 4. 已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，化简得出，利用双曲线的定义，得到点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支，即可求解其轨迹方程，得到答案. 【详解】设动圆的圆心M的坐标为，半径为， 则由题意可得， 相减可得，所以点M的轨迹是以为焦点的双曲线的左支， 由题意可得，所以， 故点M的轨迹方程为，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用，其中解答中根据圆与圆的位置关系，利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以为焦点的双曲线的左支是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 5. 若函数，满足且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得. 【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以. 故选：C 6. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故选：B 【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 7. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可. 【详解】由已知，不妨设， 则，因为， 所以点在以为直径的圆上， 即是以P为直角顶点的直角三角形， 故， 即，又， 所以， 解得，所以 故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 8. 已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及等差数列的判定与证明，可知是公差为的等差数列，根据数列的递推关系，数列的函数特征的计算，得结合对勾函数的单调性，计算求出实数的取值范围. 【详解】由，得. ，即， 是公差为的等差数列， ， ， 即，. . ，， 即， 即. 则，对于在上单调递减，上单调递增， 的最小值只能在或处取得， 当时，，当时，， ，所以 ，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列说法错误的是 A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件． 【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误， 对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确， 对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误， 对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误， 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大． 10. 如图，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法中正确的有（　　） A. 若AB⊥x轴，则|AB|＝2p B. 若点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2为定值p2 C. D. 以线段AF为直径的圆与y轴相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求出的坐标即可判断；对于BC，联立直线与抛物线的方程由根于系数的关系以及焦半径公式即可判断；对于D，由焦半径公式与中点坐标公式即可判断 【详解】对于A：若AB⊥x轴，则，代入抛物线方程可得， ∴， ∴|AB|＝2p，故A正确； 对于B：设直线AB的方程为x＝my，代入抛物线方程可得，， 整理得y2﹣2pmy﹣p2＝0， ∴y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣p2，故B错误； 对于C：由B选项可知，， ， 又∵， ∴， ∴，故C正确， 对于D：∵，AF的中点M的坐标为， ∴点M到y轴的距离为， ∴以线段AF为直径的圆与y轴相切，故D正确， 故选：ACD． 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. 若方程有个不等的实根，则 C. 当时， D. 设，若对，，使得成立，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对函数求导，利用导数探讨函数的单调性、图象及性质即可判断选项A，B，C； 求出函数在R上的值域，在上的值域，借助值域的包含关系即可判断作答. 【详解】函数的定义域为，，当或时，，当时，， 在，上都单调递减，在上单调递增，A不正确； 当时，的图象在x轴上方，且在时，，在上的图象在x轴下方， 显然是偶函数，在方程中，或时，方程有两个不等实根，时，方程无实根，时，方程有个不等的实根，B正确； 因，则有，即，于是得，C不正确； 当时，的值域为，当时，的值域为， 因对，，使得成立，从而得，即得，D正确. 故选：BD 【点睛】结论点睛：已知函数，，若，，有，则的值域是值域的子集, 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过点和直线的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两点， 利用两点式化简得到一般式方程即可. 【详解】由已知得直线的方程为，即． 13. 函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)＝f(x)sinx，，根据已知条件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式. 【详解】变形为， 变形， 故可令g(x)＝f(x)sinx，， 则， ∴g(x)在单调递减， 不等式即为g(x)＜g()， 则， 故答案为：. 14. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一点，直线与圆切于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由化简可得，由条件结合切线性质可得，，设双曲线的右焦点为，结合双曲线定义可得，根据关系，结合余弦定理可得，亦可做辅助线，利用三角形中位线和勾股定理求解，再由离心率定义求结论. 【详解】因为， 所以，所以， 因为直线与圆切于点，所以，， 又，所以， 所以，，， 设双曲线的右焦点为， 则， 又，故， 由余弦定理可得，， 所以， 所以， 又，，，， 所以， 所以，所以， 所以则双曲线的离心率. 另解：作，垂足为， 由，，于是为的中位线， 结合已知分析，，， 由勾股定理，即，整理得，其余同上. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知正项数列满足且， （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理可得，根据常数列的性质进行求解即可； （2）由（1）可得，利用分组求和法结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）由，得，可知数列是常数列， 所以，所以，所以； （2）由（1）可得， 则 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切，直线 （1）求圆的方程； （2）求直线被圆截得的最短弦长及此时的值. 【答案】（1） （2）最短弦长为，此时 【解析】 【分析】（1）由圆心在直线上，设出圆心坐标，然后利用圆与直线相切，且过点，得出圆心到直线的距离为圆心到点的距离且为圆的半径列出方程，解出，然后求出圆心和半径即可； （2）先求直线恒过的定点，画出图形，分析得出直线被圆截得的弦长最短时的位置，然后利用几何法求出最短弦长以及此时对应的值. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上，设圆的圆心为， 因为圆与直线相切，且过点， 所以有：，整理得， 解得，所以圆心，半径， 所以圆的方程为：. 【小问2详解】 ， 即， 由，得， 所以当，时，无论取何值，方程都成立， 即直线恒过定点， 如图，当时，直线被圆截得的弦长最短， 因为，所以当直线被圆截得的弦长最短时，直线的斜率为， 由直线， 斜率，即，解得：， 此时，， 所以弦长为：， 故当时，直线被圆截得的弦长最短， 最短弦长为，此时. 17. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记 （1）求的长，并求当为何值时，长度取得最小值； （2）当的长取得最小值时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）法一根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质得到，然后利用勾股定理求，并利用二次函数的性质求解最小时的取值，法二建立空间直角坐标系，写出关键点的坐标，运用两点间的距离公式求出，最后结合二次函数最值求解最小时的取值即可. （2）法一根据定义得到为平面与平面的夹角或其补角，然后利用余弦定理求余弦值，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量。再利用面面夹角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 法一：如图，过点作于点，连接， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为正方形边长为2，， 所以，，， 得到. 当时，长度取得最小值. 法二：因为四边形为正方形，所以，由题意知，， 如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为正方形，的边长都是2，所以 又，得到，， 所以 ， 由二次函数性质得当时，长度取得最小值. 【小问2详解】 法一：由已知得，当点，为，中点时的长最小， 取中点，连接，，，， 因为，为正方形，点，为，中点， 所以， 因为为中点，所以，， 因为平面平面， 所以为平面与平面的夹角或其补角， 而，，，， 在三角形中，根据余弦定理得，则面面夹角取的补角， 故平面与平面夹角的余弦值为. 法二：因为取最小值时，所以，， 当、分别为、为中点时，最短， 此时、，， 设平面的法向量为，，， 则，取，解得，，可得， 设平面的法向量为 所以，即，取，所以，， 所以平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，且点位于轴上方，设点关于轴的对称点为求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知椭圆过点，结合右焦点，列出关于的方程组求解即得； （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出三角形面积的函数关系，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 由题意得， 且易知椭圆过点，把点代入椭圆标准方程得， 解得或（舍），所以，， 则椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线不垂直于坐标轴，设直线方程为，， 设点，，，则，， 由消去得，， ，， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）求函数的最小值； （2）证明：对任意恒成立； （3）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称直线存在“伴侣切线”．特别地，当时，又称直线存在“中值伴侣切线”．试问：当时，对于函数图象上不同两点、，直线是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）函数不存在“中值伴侣切线”. 【解析】 【分析】（1）由函数得到分段函数，分别对每一段研究最值得到整个函数的最小值； （2）要证明对任意恒成立；，只要构造函数证明整式不等式恒成立即可； （3）假设函数存在“中值伴侣切线”，根据给定的新的定义得到函数，结合第（2）问的结论求解． 【详解】解：（1）时，， 令得得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 时，对恒成立 所以在单调递增，故. （2）由， 令，则， 因为,显然，所以在上单调递增, 显然有恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证． （3）当时，，， 假设函数存在“中值伴侣切线”. 设是曲线上的不同两点，且， 则，. 故直线AB的斜率： 曲线在点处的切线斜率： = 依题意得 化简可得 ， 即. 设 ()，上式化为,由（2）知时，恒成立. 所以在内不存在,使得成立. 综上所述，假设不成立. 所以函数不存在“中值伴侣切线” . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $