安徽省2025-2026学年高二下学期数学期末自编模拟考试卷（三）

**基本信息** 立足高考全范围，通过线性回归分析、立体几何折叠、函数新定义等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高二期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、抛物线、数列、向量等|注重基础概念与空间想象（如正方体外接球体积）| |多选|3/18|圆与直线、等差等比数列、概率|选项分层考查逻辑推理（如摸球获奖概率分析）| |填空|3/15|复数、双曲线、函数恒成立|强调符号运算与参数讨论（如含参函数不等式）| |解答|5/77|统计回归、解三角形、椭圆、立体几何折叠、函数新定义|突出综合应用：线性回归体现数据观念，立体几何折叠考查空间观念，新定义函数关联创新意识|

2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义，由集合在全集下的补集直接求解集合. 【详解】已知，，则不属于的实数满足，即. 2．若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 3．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 4．设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用、求投影向量 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    5．（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】平移后函数为，与关于轴对称可知函数值互为相反数，利用正弦相等得方程，排除不恒成立情形，得到的取值个数. 【详解】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 6．已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线方程，再结合切线过点得到关于切点横坐标的表达式，最后通过求导研究该表达式的单调性，进而求出的最大值. 【详解】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 7．将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分组分配问题、排列组合综合 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数，结合隔板法及排列组合综合问题列式求解. 【详解】不同的分配方案需要3步： 将6个相同的布娃娃分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一个布娃娃，有种方法； 将3个相同的陀螺分给3位小朋友，且不能全给同一位小朋友，有种； 将4只不同的风筝分给3位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝， 其中甲风筝必须给周周小朋友，有种， 所以不同的分配方案有（种）. 8．已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】锥体体积的有关计算、点到平面距离的向量求法、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体外接球的表面积为可得正方体棱长为，建立空间直角坐标系，根据点到直线距离、点到平面距离空间向量法结合计算求解. 【详解】设正方体的棱长为， 由题意可得，解得， 以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设， 因为，所以，所以， 设点到直线的距离为， ，，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 设三棱锥的高为，则， 因为， 所以四面体的体积为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 【答案】CD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据圆心不在直线上判断A，根据圆心到直线的距离为半径判断B，根据圆上的点到的距离的范围判断C，根据圆心到直线的距离为1求出的值判断D. 【详解】由题设可得圆的半径为2. 对于A，因为，故直线不过原点， 故不存在实数，使得圆关于对称，故A错误； 对于B，若相切，则圆心到直线的距离， 整理得，故，故B错误； 对于C，由B的分析可得圆心到直线的距离， 故圆上的动点到直线的距离的取值范围， 令，则， 故当时，圆上存在点到的距离为6，故C正确； 对于D，因为，故到的距离为， 结合C中的距离可得，故，故D正确. 10．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 【答案】AC 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】对于A，利用等差数列的定义判断；对于B，举反例，，再结合等比中项的性质即可判断；对于C，举例，，再结合等比数列的定义即可判断；对于D，利用反证法判断是否为关于的一次函数即可判断． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，， 对于A，由， 故数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，取，，则，前项分别为，，， 又，所以此时数列不为等比数列，故B错误； 对于C，取，，则，，则， 所以此时数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对于D，若存在，，使得数列为等差数列，则是关于的一次函数， 若，则，显然不可能是关于的一次函数； 若，则，显然不可能是关于的一次函数， 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误． 11．某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动．规则如下：第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；第次摸球（）：若在前次摸球中未出现编号为的球，则本次直接获得号球；否则，从盒中剩余的球中随机抽取一个；第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出．若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）．下列说法正确的是（    ） （参考公式：若，则） A．若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖 B．第2次摸到球的编号的期望为 C．在一轮活动中获奖的概率为 D．记随机变量为最终获奖时的活动轮数，则 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】A，由活动规则可知必获胜；B，分两种情况考虑，再用期望公式计算；C，通过递推数列求解；D，转化为数列的求和，再取极限值. 【详解】选项A，第 1 次摸到 1 号球；第 2 次：前 1 次没出现 2 号球，直接得 2 号球；第 3 次：前 2 次没出现 3 号球，直接得 3 号球；…… 第 9 次：前 8 次没出现 9 号球，直接得 9 号球；最后只剩 10 号球，第 10 次必摸到 10 号球，因此必获奖，A 正确； 选项B，第 2 次摸球分两种情况： 第 1 次未摸到 2 号球：第 2 次直接取 2 号球； 第1 次摸到 2 号球：从剩余 9 个球中随机摸一个，编号，每个的概率是， 所以第2次摸到球的编号的期望为，B正确； 选项C，一轮摸球活动中获得奖品，需要第 10 次获得 10 号球，记为个球时编号为的球留到最后的概率， 第 1 次抽到 1 号球，后续号球全按顺序，成功；第 1 次抽到号球，失败； 第 1 次抽到号球，第 2 至次获得相应编号小球， 第次从剩余未摸过的这个球中随机抽取，此子过程等价于规模为的原问题，且最大编号是，成功概率为 从而 ， 即，即， 则，可得在一轮摸球活动中能够获得奖品的概率为，C 错误； 选项D， ，D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知是虚数单位，复数______． 【答案】 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【详解】 13．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，等价变形恒成立的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则， 所以实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 【答案】(1) (2)更好 【知识点】求回归直线方程、决定系数的计算及分析 【分析】（1）根据线性回归方程相关基本量直接计算即可； （2）根据反映的残差平方和与拟合效果关系进行判断. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 所以， 所以， 所以y关于x的线性回归方程为 （2）因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好. 16．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量，，且． (1)求 ； (2)若 ，且 的周长为 ，求 ， ． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、垂直关系的向量表示 【分析】（1）先根据向量垂直，则数量积为0列式，再结合正弦定理和三角形内角和定理化简，可求角 . （2）利用余弦定理和三角形的周长列式，解方程组可得 ， ． 【详解】（1）因为，，且， 所以 ，即 ， 由正弦定理得， ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以， 因为 ，所以 （2）由余弦定理可得 ， 则 ①， 因为 ，且 的周长为 ， 所以 ，② 联立①②，解得 ． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆于点，，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，求的周长的取值范围； (3)在轴上是否存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，有为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点的坐标为 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据椭圆定义，由的周长求得，结合求得，即可写出椭圆方程； （2）利用椭圆中心对称性转化周长，联立方程组得到弦长表达式，借助的范围得到弦长的范围，进而得到周长的取值范围； （3）设点和直线，联立方程组后用韦达定理化简，用含项系数比值恒定，解出的值，验证得定点即可. 【详解】（1）由椭圆的定义可得的周长为，解得， 当时，，解得，则，解得， 则椭圆的标准方程为. （2）作出符合题意的图形如图所示，连接，，，，    设的周长为，由题意得， 联立方程组，得， 由韦达定理得，， 由弦长公式得 ， 因为，所以，可得， 得到，即， 则，故， 即，则. （3）设，，，当直线不是轴时的方程为， 则，， 联立椭圆方程，整理得， 所以，， 又，， 所以 ， 所以当且仅当，即时，（定值）， 即在轴上存在点使得为定值， 此时的坐标为或， 当点的坐标为，直线为轴时，， 此时， 当点的坐标为，直线为轴时，， 此时， 所以定点坐标为． 18．在中，，，点D，E分别在边 ，上，且，（），将 沿折起，点落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点 在线段上，且． (1) 若平面，求． (2)当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）作直线 交于点 ，利用线面平行的性质可得 ，进而可求得的值． （2）利用体积公式求得，记，利用导数可求得体积的最大值，确定，法一：延长交 于 ，连接交 于，设，利用向量的线性运算可求得的值；法二：建立空间直角坐标系，设，求得平面 的一个法向量，进而利用 可求得，进而可求得的值. 【详解】（1）作直线交于点，因为，所以． 因为平面，面 ，面平面， 所以，所以四边形 为平行四边形，所以，所以． （2）因为 ，，，所以平面， 在中，， ，所以， 又（ ），所以，所以， 因为，且 ，所以，所以， 因为四棱锥的体积 ， 记，，， 令，得，解得或（舍去）， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当时，四棱锥的体积最大，此时，，． 方法一： 如图，延长 交 于 ，连接交于， 设， 由解得， 则得，则， 即得 所以. 方法二： 如图，分别以 ，，所在直线为 ，， 轴建立空间直角坐标系. 则，，，，． 设，，，， 设平面法向量， 则，故可取， 由解得， 所以. 19．已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 【答案】(1)是关联， 任取，若， 则， 是关联． (2) (3)证明：必要性： 任取，满足，记， 由关联得到：， 由关联，，故， ， 又， ，结合得， ， ， 综上，，即是关联； 充分性： 对任意，故， ，故， 又， 两个同在区间内的数相加仍在区间内， 仅当时成立，即关联； 任取，若，则， 若，设，则， 由关联可得， 由结合关联可得， ， 综上，任取均满足， 即是关联． 【知识点】充要条件的证明、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据关联定义，结合已知条件证明结论； （2）根据关联定义，结合已知条件作出大致图象，结合图象解不等式； （3）根据关联定义，结合已知命题分别证明必要性和充分性，进而证明结论． 【详解】（1）是关联，证明：略 （2）依题意当时， ，即满足， 作出的大致图象， 由图象可知点， 原不等式的解集为． （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年安徽省高二期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 4．设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 7．将6个相同的布娃娃、3个相同的陀螺、4只不同的风筝分给3位小朋友，要求每一位小朋友至少有一个布娃娃，陀螺不能全给同一位小朋友，每一位小朋友至少有一只风筝，其中甲风筝必须给周周小朋友，则不同的分配方案有（   ） A．420种 B．840种 C．960种 D．1280种 8．已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．存在实数，使得圆关于对称 B．若与圆相切，则 C．存在实数，使圆上存在点到的距离为6 D．若与圆相交于A，B两点，且，则 10．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在，，使得数列为等比数列 D．存在，，使得数列为等差数列 11．某商场举办有奖摸球活动，盒中有编号为1到10的10个完全相同的小球，每次摸球后不放回，直到盒中无球为止，记为一轮活动．规则如下：第1次摸球：从10个球中随机抽取一个；第次摸球（）：若在前次摸球中未出现编号为的球，则本次直接获得号球；否则，从盒中剩余的球中随机抽取一个；第10次摸球：此时盒中仅剩1个球，直接取出．若第10次摸出的球编号为10，则本轮游戏结束并获奖；否则，本轮未获奖，可继续下一轮活动（每轮独立，每轮开始时球盒恢复为完整的1～10号球）．下列说法正确的是（    ） （参考公式：若，则） A．若第1次摸到1号球，则在该轮必能获奖 B．第2次摸到球的编号的期望为 C．在一轮活动中获奖的概率为 D．记随机变量为最终获奖时的活动轮数，则 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知是虚数单位，复数______． 13．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 14．已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出（单位：万元）和销售量（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出 1 2 4 6 11 13 19 销售量 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 (1)若用线性回归模型拟合与的关系，求出关于的线性回归方程； (2)若用模型拟合与的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好． 参考数据：，.附：，． 16．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量，，且． (1)求 ； (2)若 ，且 的周长为 ，求 ， ． 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线交椭圆于点，，且的周长为12． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆交于两点，求的周长的取值范围； (3)在轴上是否存在一定点，使得过点的任意直线与椭圆相交于两点，有为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．在中，，，点D，E分别在边 ，上，且，（），将 沿折起，点落在点的位置，连接，，得到如图所示的四棱锥，点 在线段上，且． (1) 若平面，求． (2)当四棱锥体积最大时，线段上是否存在点Q使得C，D，Q，F四点共面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知是定义在上的函数，若对任意的，均有，则称是关联． (1)判断和证明是否是关联？ (2)若是（3）关联，当时，，解不等式； (3)证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $