2025-2026学年度高二下学期数学期末考试练习卷

**基本信息** 覆盖高中数学核心模块，注重现实情境与逻辑推理，如统计题结合学生阅读时长调研，导数题考查极值点证明，体现用数学思维分析解决问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、数列|第8题引入严格凸函数定义，考查创新应用| |多选|4/20|抛物线、不等式、三角函数|第12题线性变换结合旋转变换，考查数学抽象| |填空|4/20|函数单调性、等比数列、切线|第16题正方体动态外接球问题，考查空间观念| |解答|6/70|数列、解三角形、统计、立体几何、椭圆、导数|第19题统计结合现实调研，第22题导数极值点证明，考查逻辑推理与数据意识|

2025-2026学年度高二下学期练习卷 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列的前项和为，满足，，若数列中存在最小项，则正整数的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知函数，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间上有定义： 若对，且，恒有，则称为上的严格凸函数。 则下列函数在上为严格凸函数的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9. 关于抛物线，下列说法正确的有（ ） A. 焦点到准线的距离为2 B. 过焦点的最短弦长为4 C. 抛物线上任意一点到焦点的距离最小值为1 D. 直线与抛物线相切 10. 已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图像关于直线对称 D. 函数值域为 12. 在平面直角坐标系中，定义线性变换满足（为常数），若变换将点变为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 变换将点变为 C. 点经过变换后的坐标为 D. 该变换为平面旋转变换 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________。 14. 已知等比数列满足，，则公比________。 15. 若直线与曲线相切，则________。 16. 已知正方体棱长为1，点在体对角线上运动，则三棱锥的外接球表面积的最小值为________。 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分） 已知正项数列的前项和为，且满足。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和。 18.（12分） 在中，角的对边分别为，已知。 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值与周长的最大值。 19.（12分） 某高校社团开展调研，统计了100名学生的日均课外阅读时长，将时长（单位：min）分为四组，对应的频数分别为20、35、30、15。 （1）求这100名学生日均阅读时长的中位数与方差； （2）用样本频率估计总体，从全校学生中随机抽取3人，记阅读时长不低于40min的人数为，求的分布列与数学期望。 20.（12分） 四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，底面，且。 （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值。 21.（12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点。 （1）若直线的斜率为1，求弦长； （2）设点为坐标平面内一点，满足，求四边形面积的最大值。 22.（12分） 已知函数（）。 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个极值点，且，证明：。 参考答案与详细解析 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. C 解析：求解集合，，补集为。 2. D 解析：，化简得，共轭复数对应点在第四象限。 3. C 解析：由垂直得，代入得夹角余弦值，夹角为。 4. B 解析：求得，无最小项，修正得本题数列公差为负，最小。 5. B 解析：齐次式上下同除，代入得结果。 6. A 解析：直线过定点，定点在圆内，圆心到直线最大距离对应弦长最小，得。 7. B 解析：求导，分析符号得递增区间。 8. A 解析：严格凸函数即二阶导数恒正，仅满足凸函数定义，其余为凹函数。 二、多项选择题（每小题5分，共20分） 9. BC 解析：A距离为4，D直线与抛物线相交非相切，BC正确。 10. ABCD 解析：均值不等式、权方和不等式、平方不等式逐一验证，全部成立。 11. ABD 解析：化简，C不满足对称轴性质，ABD正确。 12. ABD 解析：由已知得，为60°旋转变换，C坐标计算错误，ABD正确。 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 解析：分段函数单调递减，联立三段单调性条件求解。 14. 或 解析：利用等比中项联立方程求解。 15. 解析：设切点求导，联立切线方程与曲线方程得。 16. 解析：分析外接球半径变化，求得最小表面积。 四、解答题（酌情给分） 17.（10分） 解：（1）当时，，得， 当时，， 化简得，数列为正项数列，故， 为等差数列，。（4分） （2）， 裂项相消得。（10分） 18.（12分） 解：（1）由正弦定理化边为角，， ，化简得，。（4分） （2）余弦定理， 由基本不等式得，， 周长，求得周长最大值。（12分） 19.（12分） 解：（1）中位数：， 计算均值、方差得方差为51。（6分） （2）随机抽取1人，时长不低于40min的概率，， 列出分布列，数学期望。（12分） 20.（12分） （1）证明：，，， 得平面，又平面，故面面垂直。（6分） （2）建系求法向量，计算得二面角余弦值为。（12分） 21.（12分） 解：（1），联立与椭圆方程，弦长公式得。（4分） （2）设直线，联立方程，由平行四边形面积公式， 求得面积最大值为。（12分） 22.（12分） 解：（1）定义域，， 结合二次函数根分布，分类讨论范围得单调区间。（6分） （2）由极值点条件得，代换化简， 构造函数证明，得证。（12分） 学科网（北京）股份有限公司 $