20.2 二次根式的乘除 课件 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次根式的乘法，通过计算√4×√25与√(4×25)等实例导入，引导学生观察结果发现规律，搭建从具体运算到抽象法则的学习支架，帮助理解√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）的形成过程。 其特色在于以问题驱动探究，通过实例观察培养数学眼光，证明过程运用积的乘方法则强化推理意识，例题与训练结合化简、条件分析提升数学语言表达能力。采用“观察-猜想-证明-应用”教学法，助力学生掌握法则，教师可高效开展教学。

二次根式的乘法 二次根式 20 华东师大版·九年级数学上册 1 理解 （a ≥ 0，b ≥ 0），并利用它们进行计算和化简. 学习目标 计算： （1） ； （2） . = ； = . 观察计算的结果，你能发现什么？ 新课导入 ， . 从计算的结果，我们发现 一般地，设 a ≥ 0，b ≥ 0，有 你能证明这个结论吗？ 探索新知 证 明 一方面， 2 2 （积的乘方法则） = ab（算术平方根的意义） 另一方面， ≥ 0. 根据算术平方根的意义，可得 是 ab 的算术平方根 概 括 二次根式的乘法法则 （a ≥ 0，b ≥ 0） 这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根 . 例 1 计算： 解 （1）； （1） ； （2） . （2）. 1. 计算： （1）×(－3)； （2）×. 解（1）原式 = = =9 = （2）原式 = = = = 2. 化简 的结果是（ ） A. B. C. D. = = C 3. 等式 成立的条件是 A. x ≥ 1 B. x ≥ –1 C. –1 ≤ x ≤ 1 D. x ≥ 1 或 x ≤ –1 （ ） 解：由 x – 1 ≥ 0，x + 1 ≥ 0 得 x ≥ 1 A 4. 下列各等式成立的是（ ） A.×2 = 8 B.×4 = 20 C.×3 = 7 B.×4 = 20 40 20 12 D 二次根式的乘法法则 （a ≥ 0，b ≥ 0） 这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根 . 课堂小结 $积的算术平方根 二次根式 20 华东师大版·九年级数学上册 1 1. 理解 （a ≥ 0，b ≥ 0） ； 2. 运用 （a ≥ 0，b ≥ 0）. 学习目标 计算： （1） ； （2） . （1）原式 = ； （2）原式 = . （a ≥ 0，b ≥ 0） 知识回顾 一般地，对二次根式的乘法规定为 （a ≥ 0，b ≥ 0）. 反过来， （a ≥ 0，b ≥ 0） 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 探索新知 例 2 化简 ，使被开方数不含完全平方的因数. 12 = 22×3 完全平方的因数 22 解 1. 比较下列各式，并将所得的结果化简： （1）； （2）. 解（1）原式 = =× =3 ； （2）原式 = = = 2. 判断下列各式是否正确，不正确的请改正: （1）； （2） × 积的算术平方 根应用的条件：a ≥ 0，b ≥ 0 = 2×3 = 6 × = = = = = 4 3. 化简： ； ； ； . 解（1）原式 = =× =2 ； （2）原式 = =× = ； 3. 化简： ； ； ； . （3）原式 = =× =2 ； （4）原式 = =× = ； 4. 自由落体的公式为 （g 为重力加速度，它的 值为 10 m/s2），若物体下落的高度为 120 m，则下 落的时间是________s. s = gt2 s = gt2 t = = = 2 （a ≥ 0，b ≥ 0） 这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积. 课堂小结 $二次根式的除法 二次根式 20 华东师大版·九年级数学上册 1 1. 理解 和 ， 并运用它们进行计算. 2. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是 最简二次根式的化成最简二次根式. 学习目标 （a ≥ 0，b ≥ 0） 二次根式的乘法规定 及逆向公式 （a ≥ 0，b ≥ 0） 两个根式相除，怎样进行计算呢？ 商的算术平方根又等于多少？ 知识回顾 （1） = 化简： （2） = （3） = 你发现了什么规律？ 探索新知 规 律 利用计算器计算填空： 一般地，有 概 括 这里为什么要求 a ≥ 0，b > 0？ 分母不能为 0. 这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根. 例 3 计算： 解 （1） （1）； （2）. （2） 还可以怎么化简？ （2） 上述“概括”中的等式，也可以写成 这就是说，商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商. 利用这个性质可以进行二次根式的化简. 例 4 化简 ，使分母中不含二次根式， 解 = 并且被开方数中不含字母. 二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来。 = = = . 按照书中例题化简要求，化简后的二次根式有这些特点： （1）被开方数中不含分母； （2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于 2. = = 2 像这样的二次根式称为最简二次根式. 哪些是最简二次根式： ，，， 二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了. 如例 4， 分母有理化 化简： （2）； 解（1）原式 = = = ； （2）原式 = = = （1）3； （4） （3）； （3）原式 = =； （4）原式 = = =. 1. 化简： ； ； ； . 解（1）原式 = =3 ； （2）原式 = = ； 【选自教材第8页 练习 第1题】 （3）原式 = = ； （4）原式 = = . 2. 计算： ； . 【选自教材第8页 练习 第2题】 解（1）原式 = × =× =× = （2）原式 = = = = 3. 现有一张 A4 纸，其尺寸是 210 mm×297 mm，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问：剪下的正方形的边长是多少？（先用最简二次根式表示，再用计算器计算，精确到 0.1 mm） 【选自教材第8页 练习 第3题】 正方形的边长 = = = = = = = 二次根式的除法 反过来， 二次根式的化简 1. 被开方数有分母时，注意分母的取值范围； 2. 进行二次根式乘除运算或化简时，结果要 尽可能化简. 课堂小结 $