专题11一次函数与方程（组）.不等式及应用暑假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题11一次函数与方程(组).不等式及应用暑假预习讲义 1.数形结合理解关联：理清一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，能从函数图像解读方程、不等式的解。 2.掌握图像解法：会利用一次函数图像求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集；能通过两个一次函数图像交点坐标，写出对应二元一次方程组的解。 3.区分两种解题思路：既能用代数计算解方程、不等式，也能借助函数图像直观求解，掌握 “代数计算 + 图像读图” 两种方法。 4.函数建模解决实际问题：能从行程、收费、方案选择、销售利润等实际情境提取变量，列出一次函数关系式，确定自变量取值范围。 5.方案比较类题型突破：会结合函数增减性、图像交点，对比多种方案，选出最优省钱 / 省时方案，读懂图像中横、纵坐标、交点的实际意义。 6.规范答题步骤：解决应用题时做到设变量、列函数、结合题意分析、作答带单位；图像题能完整描述图像对应的数学含义。 7.预习整理要求：梳理函数与方程、不等式对应关系表格，标记图像读图、最优方案类难点；记录预习疑问，课堂重点听讲数形结合综合题型。 预习必备知 识点梳理 1.一次函数与一元一次方程 2.一次函数与一元一次不等式 3.一次函数与二元一次方程组 4.一次函数应用解题步骤 5.常见实际模型+核心公式 6.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线与坐标轴交点求解方程 2.方程的解与直线x轴交点判定 3.图象法解一元一次方程 4.直线坐标轴交点求不等式解集 5.两直线的交点求不等式解集 6.两直线交点与方程组的解 7.图象法解二元一次方程组 8.求直线围成的图形面积 9.分配方案问题 10.最大利润问题 11.行程问题 12.梯度计价问题 13.其他实际应用 14.一次函数与几何综合 强化题型 解答题6题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 .⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 直线参数关系 图像位置 方程组解的情况 k1≠k2 两直线相交，有 1 个交点 方程组有唯一一组解 k1=k2，b1≠b2 两直线平行，无交点 方程组无解 k1=k2，b1=b2) 两直线完全重合，无数公共点 方程组有无数组解 知识点04:一次函数应用解题步骤（通用） 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 标准正确要求 混淆图像解集 解kx+b>0取 x 轴下方图像 >0取直线 x 轴上方，<0取下方 方程组图像理解错误 认为平行直线有解 k相等截距不等时两直线平行，方程组无解 实际问题漏取值范围 求出函数后不考虑人数、长度不能为负数 自变量必须符合现实意义，标注取值范围 最优方案不分类讨论 只看交点，不分大小区间判断方案 以交点为临界，分x<m、x=m、x>m三段分析 图像坐标含义读错 把纵轴数值当成自变量 横轴为x，纵轴为y，交点横坐标是方程解 忽略k≠0限制 列式不考虑一次函数系数不为 0 实际建模、参数求值时保证一次项系数不为 0 题型1.直线与坐标轴交点求解方程 【典例】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线经过点，，则关于的方程的解是______． 【跟踪专练2】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型2.方程的解与直线x轴交点判定 【典例】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 【跟踪专练2】已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型3.图象法解一元一次方程 【典例】如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 【跟踪专练1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪专练2】如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 题型4.直线坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______． 【跟踪专练1】如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． . 【跟踪专练2】已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 题型5.两直线的交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_________． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型6.两直线交点与方程组的解 【典例】函数与的图像如图所示，则二元一次方程组的解是（      ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为_______． 【跟踪专练2】如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 题型7.图象法解二元一次方程组 【典例】以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为_________． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型8.求直线围成的图形面积 【典例】在直角坐标系中，点O是原点，且，，则的面积是________． 【跟踪专练1】如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】已知直线（k、b为常数，）经过点和点，将直线向右平移10个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型9.分配方案问题 【典例】A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【跟踪专练1】某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【跟踪专练2】某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 题型10.最大利润问题 【典例】某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高10元，已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同． (1)求甲、乙商品的进货单价； (2)若甲、乙两种商品共进货100件，甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，若甲、乙两种商品全部售完，设甲商品进货件， 利润为，求关于的函数关系式； (3)在条件（2）下，要求两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，并且不再考虑其他因素，哪种方案利润最大？最大利润是多少？ 【跟踪专练1】2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【跟踪专练2】2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 题型11.行程问题 【典例】在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【跟踪专练1】宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题： (1)野营点距离山脚 ． (2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标． (3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离． 【跟踪专练2】小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 题型12.梯度计价问题 【典例】小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【跟踪专练1】我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 【跟踪专练2】阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 题型13.其他实际应用 【典例】临近春节，某景区内举办灯展，原来每张门票的价格为100元，为了让更多的人们感受到传统文化的魅力，该景区推出优惠方案：每张门票打八折．某村委会组织村民去该景区看灯展．设观看灯展的人数为x人，购买门票的总金额为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一次函数的关系，部分数据如表所示： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … (1)根据表中数据，求该一次函数的表达式（不要求写出的取值范围）； (2)若一个人的身高为，求这个人的脚长． 【跟踪专练2】某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍．设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 题型14.一次函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 【跟踪专练1】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如图2，若点是轴上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，若，求点的坐标． 【跟踪专练2】如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 解答题 1．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 3．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 4．如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 5．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11一次函数与方程(组).不等式及应用暑假预习讲义 1.数形结合理解关联：理清一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，能从函数图像解读方程、不等式的解。 2.掌握图像解法：会利用一次函数图像求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集；能通过两个一次函数图像交点坐标，写出对应二元一次方程组的解。 3.区分两种解题思路：既能用代数计算解方程、不等式，也能借助函数图像直观求解，掌握 “代数计算 + 图像读图” 两种方法。 4.函数建模解决实际问题：能从行程、收费、方案选择、销售利润等实际情境提取变量，列出一次函数关系式，确定自变量取值范围。 5.方案比较类题型突破：会结合函数增减性、图像交点，对比多种方案，选出最优省钱 / 省时方案，读懂图像中横、纵坐标、交点的实际意义。 6.规范答题步骤：解决应用题时做到设变量、列函数、结合题意分析、作答带单位；图像题能完整描述图像对应的数学含义。 7.预习整理要求：梳理函数与方程、不等式对应关系表格，标记图像读图、最优方案类难点；记录预习疑问，课堂重点听讲数形结合综合题型。 预习必备知 识点梳理 1.一次函数与一元一次方程 2.一次函数与一元一次不等式 3.一次函数与二元一次方程组 4.一次函数应用解题步骤 5.常见实际模型+核心公式 6.易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线与坐标轴交点求解方程 2.方程的解与直线x轴交点判定 3.图象法解一元一次方程 4.直线坐标轴交点求不等式解集 5.两直线的交点求不等式解集 6.两直线交点与方程组的解 7.图象法解二元一次方程组 8.求直线围成的图形面积 9.分配方案问题 10.最大利润问题 11.行程问题 12.梯度计价问题 13.其他实际应用 14.一次函数与几何综合 强化题型 解答题6题 知识点01:一次函数与一元一次方程 1.形式对应 一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b 2.几何意义 方程 kx+b=0 的解 .⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。 3.结论 求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。 已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0​。 . 知识点02:一次函数与一元一次不等式. 1.对应关系 kx+b>0 ⇔ y>0 kx+b<0 ⇔ y<0 kx+b≥0 ⇔ y≥0 kx+b≤0 ⇔ y≤0 2.几何意义 y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。 y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。 3.快速判断（k>0 为例） 直线从左到右上升 x>x0时，y>0 x<x0时，y<0 知识点03:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 直线参数关系 图像位置 方程组解的情况 k1≠k2 两直线相交，有 1 个交点 方程组有唯一一组解 k1=k2，b1≠b2 两直线平行，无交点 方程组无解 k1=k2，b1=b2) 两直线完全重合，无数公共点 方程组有无数组解 知识点04:一次函数应用解题步骤（通用） 步骤序号 详细通用解题步骤 1 审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系 2 设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量 3 根据等量关系，列出一次函数解析式 4 结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围 5 根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算 6 结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值 7 整理过程，规范写出最终答案 知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背） 题型 核心等量关系 & 公式 分配方案问题 1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量 最大利润问题 1. 单件利润=售价−进价 2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本 3.总利润=总收入−总成本 行程问题 1. 路程 =速度×时间：s=vt 2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0 3.相遇：两者路程和 = 两地总距离 4.追及：两者路程差 = 初始间距 工程问题 1.工作总量=工作效率 × 工作时间 2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1） 梯度计价（分段计费） 总费用=各分段费用之和 单段费用= 本段单价 × 本段用量 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 标准正确要求 混淆图像解集 解kx+b>0取 x 轴下方图像 >0取直线 x 轴上方，<0取下方 方程组图像理解错误 认为平行直线有解 k相等截距不等时两直线平行，方程组无解 实际问题漏取值范围 求出函数后不考虑人数、长度不能为负数 自变量必须符合现实意义，标注取值范围 最优方案不分类讨论 只看交点，不分大小区间判断方案 以交点为临界，分x<m、x=m、x>m三段分析 图像坐标含义读错 把纵轴数值当成自变量 横轴为x，纵轴为y，交点横坐标是方程解 忽略k≠0限制 列式不考虑一次函数系数不为 0 实际建模、参数求值时保证一次项系数不为 0 题型1.直线与坐标轴交点求解方程 【典例】如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 【跟踪专练1】如图，直线经过点，，则关于的方程的解是______． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，写出函数值为0对应的自变量的值即可． 【详解】解：∵直线过点， 即当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 题型2.方程的解与直线x轴交点判定 【典例】若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处，则的长度为____________． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，折叠的性质，勾股定理等知识，求出点C坐标是解答本题的关键． 由直线解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出，，再由勾股定理可求出．由折叠可知，，，从而可求出．设，则，在中，利用勾股定理可列出关于x的方程，解出x，即可求解． 【详解】解：对于直线，令，则， 解得：， ∴， ∴． 令，则， ∴， ∴， ∴． 由折叠可知，，， ∴． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 【跟踪专练2】已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 题型3.图象法解一元一次方程 【典例】如图，直线与相交于点，则关于x的方程的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的综合应用，解题关键是理解方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值．结合图像可知，方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值，即可获得答案． 【详解】解：直线与相交于点， 方程的解，即为直线与的交点的横坐标的值， 方程的解为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据交点坐标为，分别代入两个解析式，构造等式，变形计算即可． 本题考查了直线的交点坐标，熟练掌握交点坐标的意义是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 故， 故， ， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 题型4.直线坐标轴交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为： 【跟踪专练1】如图，直线经过和两点，则不等式的解集为_____． . 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集确定 的符号以及直线与 轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 题型5.两直线的交点求不等式解集 【典例】如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集．求出一次函数与的图象交于点，根据两直线的位置关系即可求出答案． 【详解】解：把代入得到， 解得， ∴一次函数与的图象交于点， 由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：C 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及两条直线相交或平行问题，根据题意，得出的值，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为函数与的图象相交于点， 所以，， 两式相减得，， 则， 所以不等式可化为， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】一次函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数与的图象交点的横坐标为3，利用数形结合思想解答即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数与的图象交点的横坐标为3， ∵， ∴， 故选：B． 题型6.两直线交点与方程组的解 【典例】函数与的图像如图所示，则二元一次方程组的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组的解是对应两直线的交点坐标的横、纵坐标，据此即可解答． 【详解】解：由题意和图像可知，函数与的图像的交点坐标为， ∴二元一次方程组，即， ∴二元一次方程组的解为函数与的图像的交点坐标为，即方程组的解为：，选项D符合题意． 【跟踪专练1】如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，先利用待定系数法求出a的值，进而得到点P的坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案，掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴, ∴关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 题型7.图象法解二元一次方程组 【典例】以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程，关键是将方程转换成 将方程转换成，即可确定这条直线对应的一次函数表达式． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∴这条直线对应的一次函数表达式为； 故答案为：． 【跟踪专练1】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【跟踪专练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．则下列结论中：①随的增大而增大；②；③．当时，；④关于，的方程组的解为，正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质，结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：①、随的增大而增大，故选项①正确； ②．由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项②正确； ③．由图象可知：当时，，故选项③错误； ④．由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为；故选项④正确； 故正确的有①②④共三个， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 题型8.求直线围成的图形面积 【典例】在直角坐标系中，点O是原点，且，，则的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中点的坐标，设所在的直线为，利用待定系数法求出解析式，求出与y轴交点坐标，再根据求面积即可． 【详解】解：如图，与y轴交于点C， 设所在的直线解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴所在的直线解析式为， 令，则， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【跟踪专练2】已知直线（k、b为常数，）经过点和点，将直线向右平移10个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用、求一次函数的解析式、一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．先根据两点坐标求直线解析式，再根据平移规律得新直线解析式，然后求新直线与坐标轴的交点，最后计算三角形面积． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴代入得， 解得， ∴直线解析式为， 向右平移10个单位，新直线为， 当时，，则与y轴交于点， 当时，，解得，则与x轴交于点， ∴三角形面积， 故选：D． 题型9.分配方案问题 【典例】A县和B县春季分别急需化肥100吨和60吨，C县和D县分别储存化肥110吨和50吨，全部调配给A县和B县．运费如下表所示： 出发地 运费（元/吨） 目的地          C县          D县 A县 40 45 B县 35 50 (1)设从C县运到A县的化肥为x吨，则从C县运往B县的化肥为 吨，从D县运往A县的化肥为 吨，从D县运往B县的化肥为 吨； (2)求总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)求最低总运费，并说明运费最低时的运送方案． 【答案】(1)，， (2) (3)最低运费6350元；从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为60吨，D县的化肥全运往A县 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意和题目中的数据，可以写出总运费W（单位：元）关于x（单位：t）的函数解析式，并求出自变量x的取值范围； （3）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以求得最低总运费和此时的运送方案． 【详解】（1）解：从C县运往B县的化肥：， 从D县运往A县的化肥：， 从D县运往B县的化肥：； （2）解：， A县的化肥全从C县运进，则， D县的化肥全运往A县，则， 所以自变量x的取值范围是； （3）解：由（2）知：， ∴w与x成一次函数，，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小， （元）， 从C县运到A县的化肥为50吨，从C县运往B县的化肥为吨，从D县运往A县的化肥为吨，D县的化肥全运往A县． 【跟踪专练1】某通讯公司就手机流量套餐推出A，B，C三种方案（如表），三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数图象如图．结合表格和图象解答下列问题： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n (1)填空：表中m＝ ，n＝ ； (2)在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式； (3)在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 【答案】(1)3072，0.3 (2)y关于x的函数关系式为； (3)当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）利用待定系数法解答即可； （3）利用B方案当每月使用的流量不少于3072兆时的函数关系式即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，； 故答案为：3072，0.3； （2）解：设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为， 把代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：在B方案中，当每月使用的流量不少于3072兆时， 根据题意得：， 令， 解得， 由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算． 【跟踪专练2】某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息： 型号 载客量 租金单价 A 30人/辆 380元/辆 B 20人/辆 280元/辆 注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数． (1)设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)（且x为整数） (2)共有25种租车方案；租用A型号客车21辆，B型号客车41辆时最省钱 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式与不等式组． （1） 先根据总费用=A型车费用+B型车费用列出函数表达式，再根据载客量不小于总人数、车辆数非负确定x的取值范围； （2） 结合总费用不超过21940元的条件，列出不等式组，确定x的整数取值，得到租车方案，再根据一次函数的增减性确定最省钱方案． 【详解】（1）解： 租用A型号客车辆，则租用B型号客车辆， ． 总载客量需满足， ， ． 又为整数，且， 的取值范围是，且为整数． （2）解： 租车总费用不超过21940元， ， ． 结合（1）中，得，且为整数， 可取，共25种租车方案． 中，， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，． 答：一共有25种租车方案，租用A型车21辆、B型车41辆时最省钱． 题型10.最大利润问题 【典例】某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高10元，已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同． (1)求甲、乙商品的进货单价； (2)若甲、乙两种商品共进货100件，甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，若甲、乙两种商品全部售完，设甲商品进货件， 利润为，求关于的函数关系式； (3)在条件（2）下，要求两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，并且不再考虑其他因素，哪种方案利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲商品的进货单价为30元，乙商品的进货单价为20元； (2) (3)甲商品进货50件时，利润最大，最大利润是450元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，求一次函数的解析式，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设甲商品的进货单价为元，则乙商品的进货单价为元，再结合已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同，进行列式计算，即可作答． （2）根据甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售，销售一件甲商品利润为元，销售一件乙商品利润为6元，整理得，即可作答． （3）先整理得甲商品单价为元，乙商品单价为元，结合两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元，得，解得，运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设甲商品的进货单价为元， ∵甲的进货单价比乙的进货单价高10元， 则乙商品的进货单价为元， ∵已知20个甲商品的进货总价与30个乙商品的进货总价相同， ∴， 解得， ∴， ∴甲商品的进货单价为30元，乙商品的进货单价为20元； （2）解：∵甲商品按进价提高后的价格销售，乙商品按进价提高后的价格销售， ∴销售一件甲商品利润为（元）， ∴销售一件乙商品利润为（元）， ∴， 即y关于x的函数关系式为． （3）解：由（1）得甲商品的进货单价为30元，乙商品的进货单价为20元； 由（2）得销售一件甲商品利润为元，销售一件乙商品利润为元， ∴甲商品单价为（元），乙商品单价为（元）， ∵两种商品全部售完后的销售总额不低于2950元， ∴， 解得， ∵中的， ∴随x的增大而减小， 当时，有最大值，且为（元） 答：甲商品进货50件时，利润最大，最大利润是450元． 【跟踪专练1】2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． (1)求A，B两种型号机车的单价； (2)该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆，解题过程见详解 (2)购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元，解题过程见详解 【分析】（1）根据已知条件列二元一次方程组求解即可； （2）结合第（1）问的结果，先建立总利润与机车数量的一次函数关系式，然后根据条件确定自变量的取值范围，再利用函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得    解得 答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆； （2）解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则 ． 购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ， ． 又为非负整数， 的最大值为33． ， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值， 此时，， 所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元． 【点睛】本题综合考查了利用一次函数、二元一次方程组以及不等式解决实际问题．能够结合已知条件建立恰当的数学模型是解题的关键． 【跟踪专练2】2025年春晚吉祥物是“巳升升”，某文创店购进大、小两种型号的“巳升升”玩偶，价格如下表所示： 型号 大号“巳升升”玩偶 小号“巳升升”玩偶 进价/（元/个） 58 37 该文创店购进两种型号的“巳升升”玩偶共80个，大号的“巳升升”售价为88元/个，小号“巳升升”的售价为45元/个，设购进小号“巳升升”的玩偶x个，该文创店将玩偶全部售出后所获得的利润为w元． (1)写出w与x之间的函数表达式． (2)若购进小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，则该文创店所获得的最大利润为多少元？ (3)实际进货时，小号“巳升升”玩偶的进价下降元/个，且限制小号“巳升升”玩偶的购进数量不得超过40个．在（2）的条件下，若该文创店保持两种型号的“巳升升”玩偶售价均不变，要使全部售出后利润最大．求购进小号“巳升升”玩偶的数量． 【答案】(1) （，为整数） (2) 该文创店所获得的最大利润为元； (3) 当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 【分析】（1）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，即可解答； （2）利用一次函数的性质，结合小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即可解答； （3）根据利润单个大号玩偶的利润数量单个小号玩偶的利润数量，列出一次函数解析式，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意（，为整数）； （2）解：由（1）知， ∵， ∴随的增大而减小， ∵小号“巳升升”玩偶的数量不得低于35个，即， ∴当时，有最大值， 答：该文创店所获得的最大利润为元； （3）解：， ∵，且为整数，， ∴当时，，与的取值无关， 此时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数； 当时，即，则随的增大而增大， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为40个； 当时，即，则随的增大而减小， 此时，时，取最大值时，，则购进小号“巳升升”玩偶的数量为35个； 答：当时，购进小号“巳升升”玩偶35个；当时，购进小号“巳升升”玩偶的数量为35到40之间的任意整数；当时，购进小号“巳升升”玩偶40个． 题型11.行程问题 【典例】在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】(1)80,1.6 (2) (3)0.8 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，函数图像的识别， 对于（1），先观察图象可知A，B之间的距离为，B，C之间的距离为，即可得出答案；再求出海巡船的速度，即可求出时间； 对于（2），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（3），先根据待定系数法求出线段所表示的函数关系式， 再令两个函数值等于20得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：由图象可知A，C两海岛之间的距离是; 海巡船的速度是， 海巡船从A岛到达C岛用时， ∴； 故答案为：80，1.6； （2）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为； （3）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为． 当时，解得； 当时，解得， 则． 所以海巡船能接收到信号的时间是0.8小时． 【跟踪专练1】宁波北仑区九峰山景区是国家4A级风景区，是大家采风游玩的好去处，某校登山兴趣小队周末去九峰山游玩，从山脚出发，经过1.5个小时到达野营点，并在这野营休息了1.5小时，又经过2小时原路下山返回山脚处．如图，是小队距山脚的距离y（）关于小队登山时间x（h）的部分图象，若小队上山的速度为，请回答以下问题： (1)野营点距离山脚 ． (2)补全函数图象，并标注图象转折点A、点B的坐标． (3)请计算小队下山的函数表达式，并且计算当出发4.5小时后，小队距山脚的距离． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)，当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为 【分析】（1）根据时间乘速度即可求解； （2）根据题意即可补全函数图象； （3）利用待定系数法求得小队下山的函数表达式，再计算时，的值即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由题意，函数图象如下， ； （3）解：设小队下山的函数表达式为，代入，， ∴， ∴， ∴， 令时，， ∴当出发4.5小时后，小队距山脚的距离为． 【跟踪专练2】小敏上午8∶00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程（单位：）和所经过的时间（单位：）之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市停留了多长时间？ (2)请写出与的函数关系式； (3)小敏几点几分返回到家？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据观察横坐标，可得去超市的时间，根据观察纵坐标，可得去超市的路程，根据路程与时间的关系，可得答案；在超市逗留的时间即路程不变化所对应的时间段； （2）分类讨论：①当时，②当时，③设返回家时，逐个分析求解即可； （3）求出返回家时的函数解析式，当时，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：速度为：（米/分） 逗留的时间为：． （2）解：①由（1）可知，当时，y与x的函数解析式为， ②当时，； ③设返回家时，y与x的函数解析式为，把分别代入，得 ， 解得 ∴函数解析式为， 当时，， 解得， 综上所述，． （3）解：由（2）可知，当时，， ∴返回到家的时间为． 题型12.梯度计价问题 【典例】小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到，已知两个商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的8.5折卖．设购买练习本数量为x本，甲商店收费为元，乙商店收费为元．（） (1)分别求出，与x之间的关系式； (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为多少本？ (3)当购买的数量为22本时，应选择哪个商店更优惠？请说明理由． 【答案】(1)， (2)当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本 (3)应选择甲商店更优惠，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意正确建立函数解析式． （1）根据总价单价数量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）根据题意得，可得方程，再解方程即可； （3）将分别代入两个函数解析式，求出函数值，再比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ； （2）解：根据题意得， 即， 解得， 答：当甲、乙两个商店的收费相同时，所买练习本为20本． （3）解：应选择甲商店更优惠，理由如下： 买22本练习本， 甲商店的费用为元， 乙商店的费用为元． ∵， ∴应选择甲商店更优惠． 【跟踪专练1】我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)该户居民12月用了11吨水． 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数的函数值，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可求出该户居民12月的用水量超过6吨，把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：∵， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在中，当时，，解得， 答：该户居民 月用了11吨水． 【跟踪专练2】阶梯电价的收费方式如下：第一档为每户每月用电量不超过240度，电价为每度0.6元；第二档为用电量超过240度但不超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.05元；第三档为用电量超过400度，超过部分电价在第一档基础上每度增加0.3元． (1)若某户某月用电300度，该交多少电费？ (2)设用电量为x度，电费为y元，求y关于x的函数表达式； (3)某居民家10月份的电费为222元，请计算该居民家10月份的用电量． 【答案】(1)该交183元电费 (2)y＝ (3)该居民家10月份的用电量为360度 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意可直接列式进行求解； （2）根据题意可分当时，当时和当时，然后分类求解即可； （3）先判断出该居民家10月份的电费为第二档，再根据（2）中函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： （元）； 答：该交183元电费； （2）解：设电费为y元， ①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，y关于x的函数表达式为； （3）解：当时，； 当时，； ∵， ∴该居民家10月份的电费为第二档， 当时，则， 解得； 答：该居民家10月份用电360度． 题型13.其他实际应用 【典例】临近春节，某景区内举办灯展，原来每张门票的价格为100元，为了让更多的人们感受到传统文化的魅力，该景区推出优惠方案：每张门票打八折．某村委会组织村民去该景区看灯展．设观看灯展的人数为x人，购买门票的总金额为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)（x为非负整数） (2)4000 【分析】本题考查正比例函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意列出y与x之间的函数关系式即可； （2）将代入（x为非负整数）计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 （x为非负整数）． 答：y与x之间的函数关系式为（x为非负整数）； （2）解：当时， （元）． 答：当时，求y的值为4000． 【跟踪专练1】某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一次函数的关系，部分数据如表所示： 脚长 … 23 24 25 26 27 28 … 身高 … 156 163 170 177 184 191 … (1)根据表中数据，求该一次函数的表达式（不要求写出的取值范围）； (2)若一个人的身高为，求这个人的脚长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出一次函数的解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中代数式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设该一次函数的表达式为， 把代入，得，解得， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴当时，， 即这个人的脚长为． 【跟踪专练2】某学校开设了智能机器人编程的校本课程，为了更好地教学，学校准备购买，两种型号的机器人模型，且两种机器人模型都要购买．其中，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，购买台型机器人模型和购买台型机器人模型的费用相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买型和型机器人模型共台，且购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍．设购买型机器人模型台，购买，两种型号机器人模型共花费元，求出关于的表达式，并求出购买多少台型机器人模型时，取值最小？最小是多少？ 【答案】(1)型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； (2)购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 【分析】（1）设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，结合题意建立一元一次方程求解即可； （2）设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台，先利用不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数表达式，结合一次函数的性质得出的最小值． 【详解】（1）解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； （2）解：设购买型机器人模型台，则购买型机器人模型台， 根据题意得， 解得， ， 根据题意得， ， 随着的增大而增大， 时，最小，， 答：购买台型机器人模型时，取值最小，最小是元． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是从题目中提取关键信息建立方程． 题型14.一次函数与几何综合 【典例】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，根据的面积是面积的2倍，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴或； ∴或． 【跟踪专练1】如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如图2，若点是轴上一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点坐标为或 【分析】（1）先求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求解直线的函数表达式即可； （2）设，则，，结合，即可求出对应的值，得出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入中得， ∴点坐标为， 将，分别代入中得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）解：设，则，， ∴， 即， 解得或， ∴点坐标为或. 【跟踪专练2】如图，直线交轴，轴分别为A、B，点为轴上的一个动点，过点作直线于点． (1)求出点A、B的坐标，以及线段长． (2)当点与点重合时，求的面积． (3)连接，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据解析式，分别令和，求出的坐标，勾股定理求出的长即可； （2）根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）知：，； ∴，， ∵过点作直线AB于点且点与点重合， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：设，由（1）知：，； 当为等腰三角形时，分种情况： ①时，则，解得或， ∴或 ②当时，则，解得， ∴； ③当时， ∵轴， ∴， ∴； 综上：或或或. 解答题 1．定义：一次函数（且）和一次函数互为“逆反函数”，如和互为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B两点． (1)请直接写出一次函数的“逆反函数”的解析式为______；点在“逆反函数”的函数图象上，则的值是______； (2)若一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点，求出点坐标并写出不等式组的解集． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）由新定义求出直线的表达式，代入即可求解； （2）根据题意可得点D是两个函数的交点，联立解析式，可得点D的坐标，再观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的“逆反函数”的解析式为； ∵点在“逆反函数”的函数图象上， ∴，解得：； 故答案为：，； （2）解：∵一次函数的图象上一点又是它的“逆反函数”的函数图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式：， 解得：， 即点， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且在x轴的下方， ∴不等式组的解集为． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求A，B两点的坐标． (2)若将直线向左平移3个单位长度，求平移后的直线所对应的函数表达式． (3)若P为y轴上一点，将直线沿AP翻折，使得点B刚好落在坐标轴上，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意分别令，得出，，根据勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得平移后的直线与轴的交点为，设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入，即可求解； （3）设点关于的对称点为，，分在轴负半轴，在轴正半轴，当在轴正半轴，三种情况，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，，当时，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得直线解析式为， ∵将直线向左平移个单位长度，， ∴平移后的直线与轴的交点为， 设平移后的直线所对应的函数表达式为，代入得， ， ∴， ∴平移后的直线所对应的函数表达式为． （3）解：设点关于的对称点为，， 当在轴负半轴时，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当在轴正半轴时，， ∴点与点重合，即， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，轴对称的性质，一次函数的平移以及勾股定理，分类讨论是解（3）的关键． 3．如图，已知一次函数的图象经过点和点，且与正比例函数的图象相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． （1）直接根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数与正比例函数的图象相交于点列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得：， 即直线的解析式为； （2）解：∵一次函数与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， 即点的坐标为． 4．如图，一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)求出当一次函数的函数值大于正比例函数的函数值时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把点代入，可求得n值；把点代入，求的值即可； （2）根据函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点， ， ， ， 解得． （2）解：一次函数与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且一次函数的函数值大于正比例函数的函数值， ． 5．如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 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