2025-2026学年初升高衔接第11讲 方程的根与零点教案

初升高精品教案 教学课题 第11讲 方程的根与零点 教学目标 1.理解根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念。2对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；3通过用“二分法”求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学 重难点 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； ②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解． 新课教学 1．方程的根与函数的零点 （1）函数零点 概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。 二次函数的零点： １）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点； ２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点； ３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤： 对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： （1）确定区间，，验证·，给定精度； （2）求区间，的中点； （3）计算： ①若=，则就是函数的零点； ②若·<，则令=（此时零点）； ③若·<，则令=（此时零点）； （4）判断是否达到精度； 即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4。 注：函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使的实数； 从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标； 若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点； 若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。 精讲精练 例1.（1）函数的零点为 ；（2）函数的零点为 . 例2.观察下面函数的图象， 在区间上 零点； 0； 在区间上 零点； 0； 在区间上 零点； 0. 例3.求函数的零点的个数. 例4．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) 例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（ ） A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到； B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点； C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点； D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解； 例6.函数的零点一定位于区间（ ）. A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 例7.已知函数图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 －3.51 1.02 2.37 1.56 －0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 思维总结 1．函数零点的求法： ①（代数法）求方程的实数根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 当堂检测 1．函数的零点的个数是 个。 2．若一次函数有一个零点2，那么函数的零点是 。 3．如果函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________． 4．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为 . 5．已知，则函数的零点个数是 。 6、设函数对都满足，且方程恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为 7. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）. A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点 C. 没有零点 D. 至多有一个零点 8. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）. 9.函数的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 10.若函数在上连续，且同时满足，．则（ ）. A. 在上有零点 B. 在上有零点 C. 在上无零点 D. 在上无零点 11.方程的实数根的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数个 12. 下列函数：① y=； ② ； ③ y= x2；④ y= |x| －1. 其中有2个零点的函数的序号是　 . 13.已知二次函数。 （1）若的解集是，求实数的值； （2）若为整数，，且函数在（－2，－1）上恰有一个零点，求a的值. 课后作业 一、选择题 1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　) A．至少有一实根　　　　 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根 3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 f(x) 123.56 21.45 －7.82 11.57 －53.76 －126.49 函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．(2012～2013山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)为(　　) A．一定有零点 B．可能有两个零点 C．一定有没有零点 D．至少有一个零点 5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是(　　) A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5 C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6 6．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 7．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　) A．－1和 B．1和－ C.和 D．－和－ 8．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有________个零点． 10．方程10x＋x－2＝0解的个数为________． 11．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则m的取值范围是______________． 12．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是____________． 三、解答题 13．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表： x 1 2 3 f(x) 136.136 15.552 －3.92 x 4 5 6 f(x) 10.88 －52.488 －232.064 求函数f(x)含有零点的区间． 14．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝x2＋x＋2； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝3x＋1－7； (5)f(x)＝log5(2x－3)． 15．若函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a在(－1,0)及(0，)内各有一个零点，求实数a的范围． 总结： 课堂收获: 关键点： 作业评价： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$