第13讲 幂函数（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

第13讲 幂函数 预习目标 知识回顾 1．掌握幂函数标准定义，牢记三大识别特征，能快速区分幂函数与其他函数。 2．熟记五类常见幂函数的定义域、奇偶、单调性质，记住所有幂函数过定点(1,1)。 3．分清与时幂函数在第一象限的图像增减、凹凸与渐近线特点。 4．熟练掌握幂函数画图步骤，借助奇偶性补全二、三象限完整函数图像。 1．掌握奇偶函数定义、图像特征，牢记定义域对称是判断奇偶性的前提，熟练两步判定法。 2．熟记奇偶函数核心性质，掌握f(0)=0结论与对称区间单调性变化规律。 3．理解奇偶函数四则运算规则，灵活运用奇偶性求值、比较大小、求解相关题型。 新知导图 预习精讲 想一想 观察给出5个函数解析式，总结共同特征 (1) (2) (3) (4)，变形为 (5)，变形为 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征：①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 【即学即练】 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 知识点03 幂函数通用性质 1.公共基础特征：所有幂函数在上均有定义，图像恒过定点。 2.当时 ①图像过坐标原点；②在上单调递增；③，图像上凸；，图像下凸。 3.当时 ①在上单调递减；②第一象限图像趋势：，图像无限靠近轴正半轴；，图像无限靠近轴正半轴。 【即学即练】 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 知识点04 幂函数图像绘制步骤 1.先画出函数在第一象限内的图像。 2.判断定义域范围： ①若定义域仅为或，图像绘制完成； ②若x<0时函数有意义，先判定函数奇偶性： 若为偶函数：图像关于y轴对称，补画第二象限图像； 若为奇函数：图像关于原点对称，补画第三象限图像。 【即学即练】 5．（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 6．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 题型速练 题型01 判断函数是否为幂函数 【例1】（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【例2】“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点 1.忽略系数不为1的情况，如、不属于幂函数。 2.底数含常数、多项式，如、不是幂函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【变式1-3】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02 求幂函数的解析式或函数值 【例3】已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【例4】若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 易错点 1.设式时误添加系数，写成，造成计算错误。 2.代入带分数、负指数计算时，乘方、开方运算化简出错。 3.求值前不判断自变量是否在定义域内，出现无意义式子。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知幂函数的图象经过点，则_________． 【变式2-2】已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【变式2-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是_______________ 题型03 幂函数的定义域 【例5】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【例6】已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 必记结论 1.：为正整数，定义域；为正分数，分奇偶分母判断正负是否可取。 2.：转化为分式形式，分母不为0，；分数指数同时兼顾根式要求。 3.所有幂函数在上一定有定义。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的定义域为______. 【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 题型04 幂函数的值域 【例7】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【例8】若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 必记结论 1.时，无论取何常数，，函数值恒正。 2.、定义域包含0，则值域包含0；值域恒大于0。 3.结合奇偶性判断部分函数取值正负，完整写出值域。 【小试牛刀】 【变式4-1】（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数，的值域为__________. 【变式4-3】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 题型05 幂函数的图象 【例9】幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【例10】在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 易错点 1.作图不分段，直接画出完整图像，忽略定义域不存在的区间。 2.混淆奇偶函数对称方式，补画象限出错。 3.忘记图像无限靠近坐标轴，画出与坐标轴相交。 【小试牛刀】 【变式5-1】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型06 幂函数过定点问题 【例11】函数的图象过定点______. 【例12】设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【小试牛刀】 【变式6-1】函数的图像恒过点________________． 【变式6-2】已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【变式6-3】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型07 幂函数或与其相关的复合函数的单调性问题 【例13】若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【例14】（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 必记结论 1.基础幂函数：，单调递增；，单调递减。 2.复合函数遵循“同增异减”法则，内层、外层单调性一致则整体递增，相反则递减。 3.结合奇偶性推导上单调区间。 【小试牛刀】 【变式7-1】（多选）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【变式7-2】（多选）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 题型08 利用幂函数的单调性比较大小 【例15】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例16】已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 必记结论 1.同指数不同底数：构造对应幂函数，利用第一象限单调性比较。 2.同底数不同指数：构造指数函数辅助对比。 3.底数正负分开讨论，负数需结合奇偶性转化为正数比较。 【小试牛刀】 【变式8-1】下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式8-3】（多选）已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型09 利用幂函数的单调性解不等式 【例17】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例18】已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 必记结论 1.先统一两边形式为幂函数结构，根据正负确定增减，脱去幂符号。 2.脱符号后同步列出定义域限制条件，保证式子有意义。 3.底数为负数时，结合奇偶性转换为正数再求解。 【小试牛刀】 【变式9-1】设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【变式9-2】已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型10 幂函数的性质综合 【例19】已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例20】已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【小试牛刀】 【变式10-1】已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【变式10-2】已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【变式10-3】已知幂函数在区间上是严格增函数． (1)求该函数的表达式； (2)幂函数为偶函数，记，求函数在区间上的最大值． 基础过关 1．若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（   ） A．减函数 B．增函数 C．偶函数 D．奇函数 2．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 3．幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 4．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（多选）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 8．（多选）当时，幂函数的图象不可能经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 10．已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 11．已知幂函数，写出函数定义域，对称性，单调区间，值域，并做出大致图像．    12．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 能力提升 13．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 14．设函数在区间的最大值为M，最小值为m，则________． 15．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 16．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 17．若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 挑战一刻 18．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 20．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 21．已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 幂函数 预习目标 知识回顾 1．掌握幂函数标准定义，牢记三大识别特征，能快速区分幂函数与其他函数。 2．熟记五类常见幂函数的定义域、奇偶、单调性质，记住所有幂函数过定点(1,1)。 3．分清与时幂函数在第一象限的图像增减、凹凸与渐近线特点。 4．熟练掌握幂函数画图步骤，借助奇偶性补全二、三象限完整函数图像。 1．掌握奇偶函数定义、图像特征，牢记定义域对称是判断奇偶性的前提，熟练两步判定法。 2．熟记奇偶函数核心性质，掌握f(0)=0结论与对称区间单调性变化规律。 3．理解奇偶函数四则运算规则，灵活运用奇偶性求值、比较大小、求解相关题型。 新知导图 预习精讲 想一想 观察给出5个函数解析式，总结共同特征 (1) (2) (3) (4)，变形为 (5)，变形为 知识点01 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． 幂函数的特征：①中前的系数为“1”；②中的底数是单个的自变量“”；③中是常数 【即学即练】 1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项不满足底数为单独的x的特征，所以不是幂函数； B选项不满足系数为1的特征，所以不是幂函数； C选项不符合y＝xα的单一形式，所以不是幂函数； D选项是幂函数. 2．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为：____________. 【答案】 【详解】设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点， 所以 ，即，解得 ，即， 则，定义域为 . 故所求幂函数的解析式为：. 知识点02 常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上递增 上递增， 上递减 在上递增 在上递增 上递增 上递减 定点 知识点03 幂函数通用性质 1.公共基础特征：所有幂函数在上均有定义，图像恒过定点。 2.当时 ①图像过坐标原点；②在上单调递增；③，图像上凸；，图像下凸。 3.当时 ①在上单调递减；②第一象限图像趋势：，图像无限靠近轴正半轴；，图像无限靠近轴正半轴。 【即学即练】 3．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，故C选项错误，D选项错误； 函数是奇函数，所以函数图象关于原点对称，故B选项错误；A选项正确； 4．若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递增， 且时，当增大时，图象越来越平缓，所以； 当时，在上单调递减， 不妨令，根据题图可得，所以； 综上可得. 知识点04 幂函数图像绘制步骤 1.先画出函数在第一象限内的图像。 2.判断定义域范围： ①若定义域仅为或，图像绘制完成； ②若x<0时函数有意义，先判定函数奇偶性： 若为偶函数：图像关于y轴对称，补画第二象限图像； 若为奇函数：图像关于原点对称，补画第三象限图像。 【即学即练】 5．（多选）关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 6．已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【答案】 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除， 图象关于轴对称，故函数是偶函数， 时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数； ． 题型速练 题型01 判断函数是否为幂函数 【例1】（多选）下列函数中是幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 【例2】“”是“函数为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为幂函数，则，解得， 所以“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 易错点 1.忽略系数不为1的情况，如、不属于幂函数。 2.底数含常数、多项式，如、不是幂函数。 【小试牛刀】 【变式1-1】下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-2】下列函数中是幂函数的是（    ） ① ；②；③ ；④；⑤ ；⑥ . A．① ③ ⑤ B．① ② ⑤ C．③ ⑤ D．只有⑤ 【答案】C 【详解】的系数是而不是1，故①不是幂函数； 是指数函数，故②不是幂函数； 的底数是而不是，故④不是幂函数； 是两个幂函数和的形式，故⑥也不是幂函数； 而和具有幂函数的形式，故③ ⑤是幂函数. 故选：C. 【变式1-3】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 题型02 求幂函数的解析式或函数值 【例3】已知幂函数的图象过点，则的值是（   ） A．64 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题意得，，则，则. 【例4】若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 易错点 1.设式时误添加系数，写成，造成计算错误。 2.代入带分数、负指数计算时，乘方、开方运算化简出错。 3.求值前不判断自变量是否在定义域内，出现无意义式子。 【小试牛刀】 【变式2-1】已知幂函数的图象经过点，则_________． 【答案】27 【详解】由题知：，，所以. . 【变式2-2】已知幂函数的定义域为，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】因为为幂函数， 所以，即，解得，或， 所以或 又函数的定义域为，所以，， 所以， 故选：D 【变式2-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是_______________ 【答案】 【详解】设，代入点得， 所以， 所以，， 则，， 令，则， 所以， 函数的值域是. 题型03 幂函数的定义域 【例5】下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 【例6】已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 必记结论 1.：为正整数，定义域；为正分数，分奇偶分母判断正负是否可取。 2.：转化为分式形式，分母不为0，；分数指数同时兼顾根式要求。 3.所有幂函数在上一定有定义。 【小试牛刀】 【变式3-1】函数的定义域为______. 【答案】 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 【变式3-3】已知幂函数的图象过点，则的定义域为___________． 【答案】 【详解】设， 代入点，可得，解得， 所以， 要使有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 题型04 幂函数的值域 【例7】已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域为______． 【答案】 【详解】将点代入可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 【例8】若，则满足幂函数的定义域与值域相同的构成集合，则集合的非空真子集个数为（    ） A．14 B．7 C．23 D．11 【答案】A 【详解】当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域为，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为，符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 当时，，定义域为R，值域为，不符合题意； 当时，，定义域和值域都为R，符合题意； 所以集合，则集合的非空真子集个数为. 故选：A. 必记结论 1.时，无论取何常数，，函数值恒正。 2.、定义域包含0，则值域包含0；值域恒大于0。 3.结合奇偶性判断部分函数取值正负，完整写出值域。 【小试牛刀】 【变式4-1】（多选）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 【变式4-2】函数，的值域为__________. 【答案】 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由函数单调递增， ①当时，若，有， 而，此时函数的值域不是； ②当时，若，有，而， 若函数的值域为，必有，可得． 则实数的取值范围为． 故答案为： 题型05 幂函数的图象 【例9】幂函数的图象经过（    ），且在第一象限内（    ） A．第一、二象限    单调递减 B．第一、三象限    单调递减 C．第一、二象限    单调递增 D．第一、三象限    单调递增 【答案】C 【详解】幂函数的定义域为，由，得函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又，则该函数图象在轴及上方， 而，则函数在上单调递增， 所以幂函数的图象经过第一、二象限，且在第一象限内单调递增. 【例10】在同一坐标系内，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、三、四象限. 幂函数：若，在递增且“上凸”，无此选项. 若，是偶函数，图像为开口向上的抛物线，对应选项C. 若，在递增且“下凸”，无此选项. 当时： 直线：斜率，轴截距，故直线过一、二、四象限，无此选项. 幂函数：在递减，对应选项A、D，但A中直线截距为负，D中直线截距为负，均与矛盾. 综上，只有选项C符合条件. 易错点 1.作图不分段，直接画出完整图像，忽略定义域不存在的区间。 2.混淆奇偶函数对称方式，补画象限出错。 3.忘记图像无限靠近坐标轴，画出与坐标轴相交。 【小试牛刀】 【变式5-1】函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，则满足，解得， 即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，排除BD选项， 又由幂函数的性质，可得在上单调递减， 所以选项A的图象符合题意. 【变式5-2】图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 【变式5-3】已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知，所以， 根据幂函数的性质可知函数和在第一象限分别是单调递增、单调递减，显然只有B项正确. 故选：B 题型06 幂函数过定点问题 【例11】函数的图象过定点______. 【答案】 【详解】由，解得，代入函数，可得， 所以函数图象恒过定点. 【例12】设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【答案】B 【详解】设，， 由幂函数图像可知，，故至少存在一个解； ②若，在0处都有定义，则，故可能存在解， ③若，同为奇函数或者偶函数，由对称性可知，或，故可能存在解， 综上所述：中的元素个数的可能是：1,2,3. 故选:B. 【小试牛刀】 【变式6-1】函数的图像恒过点________________． 【答案】 【详解】令得，此时，所以的图象恒过. 【变式6-2】已知函数（为常数）的图象恒过定点，则___________． 【答案】3 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 【变式6-3】已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数的图象过定点，即有， 所以， 即的图象经过定点. 故选：B. 题型07 幂函数或与其相关的复合函数的单调性问题 【例13】若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 【例14】（多选）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【详解】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 必记结论 1.基础幂函数：，单调递增；，单调递减。 2.复合函数遵循“同增异减”法则，内层、外层单调性一致则整体递增，相反则递减。 3.结合奇偶性推导上单调区间。 【小试牛刀】 【变式7-1】（多选）已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 【答案】BD 【详解】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． 【变式7-2】（多选）若函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】函数在定义域上为增函数. 选项A：因为，则， 又函数为增函数，所以，即， 所以，A正确； 选项B：令. 取，，则，， 此时，即，也即，B错误； 选项C：因为函数为增函数，函数为增函数，所以函数也为增函数， 因为，所以，C正确； 选项D：函数简图如下： 函数在上为凸函数，此时； 函数在上为凹函数，此时，D错误. 故选：AC. 【变式7-3】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 题型08 利用幂函数的单调性比较大小 【例15】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 【例16】已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由点在幂函数的图象上，可得，解得， 所以，函数在上单调递减， 因为，所以，即， 又因为，所以. 故选：D. 必记结论 1.同指数不同底数：构造对应幂函数，利用第一象限单调性比较。 2.同底数不同指数：构造指数函数辅助对比。 3.底数正负分开讨论，负数需结合奇偶性转化为正数比较。 【小试牛刀】 【变式8-1】下列比较大小中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 且为偶函数，所以， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递减， 因为所以，故C正确； 对于D，令，由幂函数性质可知时，在第一象限内函数单调递增， 且为奇函数，所以， 因为，所以，所以，故D错误. 故选：D. 【变式8-2】（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BD 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 【变式8-3】（多选）已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】令，故在单调递减， 当时，此时，即，故， 当，此时，故，故B错误， 令，则为上的增函数，故，有，故A正确， 由于，，故，C错误，D正确， 故选：AD 题型09 利用幂函数的单调性解不等式 【例17】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 【例18】已知幂函数的图象经过点，且，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】设幂函数的解析式为，由题意可得：， 即幂函数的解析式为：， 则即：， 得：，求解不等式组可得实数的取值范围是. 故答案为： 必记结论 1.先统一两边形式为幂函数结构，根据正负确定增减，脱去幂符号。 2.脱符号后同步列出定义域限制条件，保证式子有意义。 3.底数为负数时，结合奇偶性转换为正数再求解。 【小试牛刀】 【变式9-1】设是幂函数，若，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得，所以． 易知是增函数. 因为，所以，解得． 故答案为：. 【变式9-2】已知幂函数，且，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由为幂函数可知：或， 又，故在单调递减，故，所以， 则得，即，整理得， 解得或或， 实数的取值范围是. 故选：D. 【变式9-3】已知函数（且）的图象恒过定点，幂函数的图象过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数（且）的图象恒过定点， 设幂函数，， 因为幂函数的图象过点， 则，解得，即， 显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数， 由幂函数的单调性的性质，函数在上单调递增， 则，即，即， 整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 题型10 幂函数的性质综合 【例19】已知函数，不等式对于恒成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 当时，. 所以对，总有. 所以函数为奇函数. 当时，，在上单调递减. 结合奇函数的性质和函数图象可得函数在上单调递减. 所以， 所以，恒成立. 又（当且仅当时取等号）. 所以，可得. 即实数的取值范围为. 【例20】已知幂函数的定义域为. (1)求； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，定义域为，符合题意， 当时，定义域为，不符合题意， 故. （2）由（1）得，所以在上单调递增， 所以由可得， 所以， 所以，解得. 【小试牛刀】 【变式10-1】已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 【变式10-2】已知幂函数在区间上单调递增，函数是定义域为的奇函数，且满足时，. (1)求的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. 【分析】 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，， 所以时，. 因为函数是定义在R上的奇函数，所以，， 当时，，则. 故. ∴. （2）由（1）中的解析式易证在上是增函数. ， ， ，即 当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 【变式10-3】已知幂函数在区间上是严格增函数． (1)求该函数的表达式； (2)幂函数为偶函数，记，求函数在区间上的最大值． 【答案】(1)或； (2)， 【分析】 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以有，解得，又，所以或1或2， 当或2时，；当1时，； 综上，该幂函数的表达式为或； （2）由幂函数为偶函数，可知，所以， 则函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，g(x)在上单调递减，所以； ②当时，g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以； ③当时，g(x)在上单调递增，所以； 综上， g(x)在上的最大值为 基础过关 1．若幂函数的图象经过点，则在定义域内为（   ） A．减函数 B．增函数 C．偶函数 D．奇函数 【答案】B 【详解】由题意得,得,即幂函数, 则函数在时单调递增,A错误，B正确. 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数,C，D错误. 故选：B 2．函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B 3．幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数在上单调递增， 由幂函数的定义及单调性得，解得． 故选：B 4．已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设幂函数， 因为的图象过点， 所以，解得， 所以且在上是增函数，奇函数， 又， 所以， 所以，解得， 故选：B 5．已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 6．已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 7．（多选）已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 8．（多选）当时，幂函数的图象不可能经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【详解】因为经过第一、三象限；经过第一象限； 经过第一、三象限；经过第一、三象限； 所以不可能经过的象限是第二、四象限 故选：BD． 9．已知幂函数的图象关于轴对称，则__________. 【答案】 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于轴对称. 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符. 所以， 10．已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【详解】由题意得，，解得，. 11．已知幂函数，写出函数定义域，对称性，单调区间，值域，并做出大致图像．    【答案】 定义域是R，函数图象关于轴对称，增区间是，减区间是，值域是.    【详解】列表： 0 1 2 3 2.08 1.59 1 0 1 1.59 2.08 描点，用光滑曲线连接各点，得到函数图象，如图所示， 函数定义域是R，函数图象关于轴对称，增区间是，减区间是，值域是．    12．已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值： (2)若函数在上的最小值为1，求实数的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】 【详解】（1）由题可得，即，解得或1， 当时，在上单调递减，不合题意； 当时，在上单调递增，合题意. 综上，. （2）由（1），所以，，对称轴， 当时，在上单调递增，所以，不合题意； 当时，在上单调递减，所以， ，解得，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，又，所以； 综上，. 能力提升 13．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：C 14．设函数在区间的最大值为M，最小值为m，则________． 【答案】4050 【详解】， 令， 则当时，，， 又，即为奇函数， 则，由题意得，故， 故答案为：4050． 15．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 16．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为函数是幂函数， 则， 解得或， 因为对任意，，且，满足， 所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍， 所以时，， 对于A，取时，，可能成立； 对于B，取时，，可能成立； 对于C，取时，，可能成立； 对于D，因为，则，则， 由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 17．若函数为幂函数，且在单调递增． (1)求实数的值； (2)设函数，是否存在实数，使得当时恒成立，若存在，求的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为函数为幂函数，且在单调递增， 所以，解得. （2）由（1）得，则是一元二次函数， 当时恒成立，只需即可， 当时，在上单调递增， ， 解得，与矛盾，此时无解； 当时，在单调递减，在单调递增， ，解得， 当时，在上单调递减， ， 解得，与矛盾，此时无解； 综上. 挑战一刻 18．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 19．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为___________． 【答案】-1 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 20．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为， 当时，的取值集合为，此时的值域，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，其函数值集合为， 因为函数的值域为，则有，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 21．已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【分析】 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以，解得，故， 所以， 当时，，根据对勾函数的单调性， 所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）可知， ①当时，因为函数、在上均为减函数， 则函数在上单调递减，则，解得（舍去）； ②当时，函数在上单调递减， 此时，不符合题意； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）， 当时，即当时，函数在上单调递减， 此时，解得（舍去）． 综上所述，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $