第14讲 对数与对数函数 讲义-2026年初升高数学衔接

第13讲 指数与指数函数 基●础●知●识 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 2、对数的基本性质 （1）当，且时，. （2）负数和0没有对数，即. （3）特殊值：1的对数是0，即，且； 底数的对数是1，即，且. 二、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 三、对数的运算性质 1、运算性质：，且 （1）； （2）； （3） 2、换底公式 3、可用换底公式证明以下结论： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 4、掌握对数运算中的两个恒等式 （1） （2） 四、对数函数的概念 1、定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，定义域为. 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数为底的对数函数. 五、对数函数的图象 图象 性质 定义域 值域 R 过定点 恒过定点，即时， 函数值的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 [小结]当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，越大，图象向右越靠近轴；时，越小，图象向右越靠近轴. 六、比较对数式的大小的方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论； （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； （3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 四、比较指数式的大小的关系 （1）若底数为同一常数则可，由指数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论； （2）若底数不同，幂数相同，则可根据幂函数的单调性比较大小 五、解对数不等式的方法 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论. （2）形如的不等式，需先将化为以为底的对数式的形式，借助的单调性求解. 题●型●破●译 题型01 对数定义的理解 【典例01】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 【变式01】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的底大于零且不等于1，真数大于零列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】由对数的概念得，解得或， 故的取值范围是. 故选：D. 【变式02】若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 题型02 指数对数的互化 【典例01】已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【变式01】已知，，则（   ） A．16 B．27 C．37 D．54 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数运算法则化简求值即可. 【详解】. 故选：D. 【变式02】设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据题意得，再结合同底数幂的乘法的运算法则进行求解. 【详解】由题意知，， 所以， 故选：D. 题型03 对数运算 【典例01】计算下列各式的值 (1)计算的值. (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用对数的运算法则求解即可. （2）利用指数幂的运算法则结合完全平方公式求解即可. 【详解】（1）由题意得. （2）因为，所以， 则，解得. 【变式01】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【变式02】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)6 (2) (3)4 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据对数及指数的运算法则及性质化简求值即可. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式 题型04 换底公式的运用 【典例01】已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算、运用换底公式证明恒等式、指数式与对数式的互化 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 【变式01】（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【知识点】运用换底公式化简计算、运用换底公式证明恒等式 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 【变式02】设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】对数的运算、运用换底公式证明恒等式、运用换底公式化简计算 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 题型05 对数函数的判断 【典例01】函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 【变式01】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【答案】C 【知识点】对数函数的概念判断与求值、求对数函数的解析式 【分析】本题考查的是对数函数的定义，根据定义求出符合条件的参数. 【详解】函数是对数函数， 且， 解可得或，，故选：C． 【变式02】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数的定义可得. 【详解】形如，且的函数为对数函数，故B正确. 故选：B. 题型06 求对数函数解析式 【典例01】已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数函数的解析式 【分析】代入点的坐标求出的值，再根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为对数函数（且）的图象过点， 所以，即，所以，则. 故选：C 【变式01】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、求对数函数的解析式 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 【变式02】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【知识点】求对数函数的解析式 【解析】设函数为，再根据图象过点可得，即可解出，得到该对数函数的解析式． 【详解】设函数为，依题可知，，解得，所以该对数函数的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查待定系数法求对数函数的解析式，属于容易题． 题型07 求对数函数的定义域 【典例01】．函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【详解】要使函数有意义，则需，解得且， 所以函数的定义域为 【变式01】函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数表达式中根式、分式、对数的定义域要求列不等式组，求解不等式组得到函数定义域． 【详解】由题意得解得， 所以的定义域为． 故选A． 【变式02】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据具体函数定义域的求法列式求解即可. 【详解】根据题意，函数，所以，解得． 故选：C. 题型08 求对数函数值域 【典例01】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数的运算性质的应用 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 【变式01】函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数函数在区间上的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 【变式02】函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的值域、求二次函数的值域或最值、对数的运算、求对数函数在区间上的值域 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 题型09 对数函数图像问题 【典例01】函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、根据函数是指数函数求参数 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 【变式01】已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 【变式02】函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的图象和性质，分析已知函数的定义域、图象经过点及单调性，进而判断选项． 【详解】的定义域为，解得，渐近线为， ，，故函数过点， 的底数，单调递增， 综上，选项B中图象符合函数图象的性质，故B正确． 故选：B． 题型10 对数函数过定点问题 【典例01】函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 【变式01】函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、对数型函数图象过定点问题 【分析】先利用对数函数的性质，找到的定点，再利用“1的代换”构造可应用基本不等式的形式，最后运用基本不等式的性质求解即可. 【详解】因为 ，令 （即 ）， 则，所以定点 的坐标为 ， 因为点 在直线 上， 所以， 所以， 所以， 当且仅当 （即 ）时取等号，则的最小值为8. 故选：B. 【变式02】若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 题型11 比较对数大小 【典例01】设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】分别判断每个数与0、1的大小关系，最后根据三个数的范围比较大小. 【详解】，对数函数是增函数，且，因此：，即； ，对数函数是减函数，且，因此：，即； ，指数函数是增函数，因此：，即； 综上，大小关系为. 【变式01】已知，， ，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且, 所以，即； 因为在上单调递增，， 所以，即， 因为在上单调递减，且, 所以，所以，即， 所以. 【变式02】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用换底公式化简计算、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数，对数函数的性质及对数的运算求解即可. 【详解】指数函数在定义域内单调递减，所以，即. 对数函数在上单调递增，所以，即. 对数函数在上单调递增，所以，即. 又， ，， 所以，即，所以. 综上，. 题型12 对数型函数单调性问题 【典例01】设函数 在 单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数单调性结合二次函数单调性求解 【详解】令 由在上单调递减，可得在上单调递减，且在上恒成立， 又 所以需满足二次函数对称轴，且对任意都有。因为在上单调递减，所以只需即可 所以，解得 【变式01】已知的递增区间（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求函数的定义域，再结合二次函数的性质，利用复合函数单调性求解即可 【详解】解不等式得或， 所以函数的定义域为， 令在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递减， 所以，根据复合函数的单调性，在上单调递增. 故选：B 【变式02】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性 【分析】根据对数函数的单调性和二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题得，解得．因为在定义域内单调递减， 所以当函数在定义域内单调递减时，函数单调递增， 在定义域内，函数的单调递减区间为， 故函数的单调递增区间是． 故选：D． 题型13 解对数不等式 【典例01】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【解答过程】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 【变式01】已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用函数的单调性及对数函数单调性求解不等式. 【解答过程】依题意，不等式， 则或，解得或， 所以所求x的取值范围是. 故选：D. 【变式02】已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 【解题思路】（1）根据在对数函数图象上即可列方程求解； （2）根据对数函数单调性列不等式即可求解. 【解答过程】（1）由题意，解得； （2）由（1）可得是增函数， 从而成立，当且仅当，解得， 所以不等式的解集是. 题型14 对数函数奇偶性 【典例01】函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域，结合偶函数的定义运算求解即可. 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为， 若函数是偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性可得. 故选：B. 【变式01】若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解法1】特殊值法：因为 为偶函数，则 ，解得， 验证：当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 【变式02】若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可. 【详解】因为为偶函数， ， 则有， 解得， 经验证时，符合条件 题型15 对数函数应用 【典例01】某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 【答案】D 【分析】由图象首先得，进一步由指对互换、换底公式以及对数运算性质即可得解. 【详解】由题意时，，时，，解得， 令， 解得， 对比选项可知污染物减少至少需要的时间约为44小时. 【变式01】一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）.那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要（   ）年 A．23 B．22 C．21 D．20 【答案】A 【分析】设经过年后的一万只兔子有只,依题可得，令，求解即可. 【详解】设经过年后的一万只兔子有只， 根据倍增期为21个月，可得， 令,则，两边取以10为底的对数得， ，则，故大约需要23年， 故选：A. 【变式02】把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（    ）(取: ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可. 【详解】的物体经过后的温度为， 的物体经过后的温度为， 由题可得，， 即，解得，所以要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过 题●型●巩●固 1. 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、根式的化简求值、对数的运算、指数幂的运算 【分析】（1）根据指数幂及对数的运算性质化简即可； （2）根据对数的运算性质化简即可. 【详解】（1）因为，， ，， 所以； （2）. 2. 求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】对数的运算、指数幂的运算 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质即可求解. 【详解】（1） （2） 3. 证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【知识点】运用换底公式证明恒等式、对数的运算性质的应用 【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明 【详解】证明：（1）. 故. （2）， 【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题. 4. 求证:. 【答案】见解析 【知识点】运用换底公式证明恒等式 【解析】利用换底公式，证得等式成立. 【详解】左边右边,得证. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查推理论证能力，属于基础题. 5. 对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 6. 使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据题意，结合对数式的定义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由式子有意义，则满足，解得且. 故选：C. 7. 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式证明恒等式 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 8. 已知，则（   ） A． B． C． D．18 【答案】B 【知识点】对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】因为，得到，所以， 故答案为：.B 9. 函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 10. 下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 11. 已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数函数的解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法，即可求得的解析式 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：B 12. 已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】求对数函数的解析式、对数的运算 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 13. 已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据分式和对数函数的定义域要求求解即可. 【详解】要使函数有意义，需要满足，解得且， 所以的定义域为， 故选：D. 14. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数函数的定义域 【分析】根据具体函数定义域的求解方法，列出不等式，求解即可. 【详解】若使得函数有意义，则且，解得， 故的定义域为. 故选：B. 15. 函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】求对数函数在区间上的值域 【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值. 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 16. 函数的定义域是，，则值域是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】求对数函数在区间上的值域 【分析】根据在，上是增函数，结合，求解. 【详解】因为在，上是增函数， 又，， 所以，． 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性及值域，属于基础题. 17. 若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 18. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】判断对数型函数的图象形状、判断指数型函数的图象形状 【分析】利用指数函数和对数函数的图象与性质即可得出结果. 【详解】根据函数都是指数函数且为减函数，过点， 又，结合图象可知①函数为，②函数为， 函数为单调递减的对数函数，过，，结合图象可知④函数图象符合. 所以③不是已知函数的图象. 故选：C 19. 函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】对数型函数过定点，只要令真数部分值为1，解出的值，再将的值代入解析式求得的值. 【详解】令，解得，再将代入解析式得. 所以过定点，即. 故选：D 20. 函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据对数函数恒过定点这一性质，令函数的真数为1，求出此时的值，并求出取此值时的函数值，即可得函数的图象经过的定点坐标. 【详解】因为对数函数恒过定点， 所以对于函数，令，解得， 当时，， 所以函数的图象经过的定点坐标为. 故选：C 21. 设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小 【详解】因为函数在上单调递增，所以，即， 又函数在上单调递减，所以，所以． 22. 设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性确定的范围，由此比较的大小即可. 【详解】因为函数为增函数，且， 所以，故， 因为函数为减函数，且， 所以，故， 因为函数为增函数，且， 所以，故，故. 故选：D. 23. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数单调性求出函数的单调递增区间，结合题意可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】对于函数，有，解得或， 故函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为外层函数为增函数，故函数的增区间为， 因为函数在上单调递增，所以， 故，即实数的取值范围是. 故选：D. 24. 函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律即可得解. 【详解】由，可得. 因为二次函数在上单调递减， 在上单调递增， 故由复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D. 25. 设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．， 【答案】C 【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：． 所以的取值范围是，故选：C. 26. 若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】，，解得或. 27. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．） 【答案】 【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果. 【详解】假设需要块这样的玻璃，则，， ， 至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的. 28. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3000 B．3100 C．3200 D．3300 【解答】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的， 依题意，有，， 设距今约年，碳14衰减为原来的， 结合参考数据：，可得． 故选：． 29. 已知函数是偶函数，求实数的值. 【解答】解：（1）是偶函数，， 即对任意恒成立， ， ． 30. 已知函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数定义即可求出的值. 【详解】根据题意，函数为偶函数， 则有，即， 变形可得，必有 31. 函数为偶函数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】利用特殊值先求解值，再根据偶函数的定义进行验证. 【详解】函数为偶函数，则， 即，解得. 当时， ，为偶函数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 指数与指数函数 基●础●知●识 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果，且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数. 2、对数的基本性质 （1）当，且时，. （2）负数和0没有对数，即. （3）特殊值：1的对数是0，即，且； 底数的对数是1，即，且. 二、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 三、对数的运算性质 1、运算性质：，且 （1）； （2）； （3） 2、换底公式 3、可用换底公式证明以下结论： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 4、掌握对数运算中的两个恒等式 （1） （2） 四、对数函数的概念 1、定义：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，定义域为. 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数为底的对数函数. 五、对数函数的图象 图象 性质 定义域 值域 R 过定点 恒过定点，即时， 函数值的变化 当时，； 当时， 当时，； 当时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 [小结]当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，越大，图象向右越靠近轴；时，越小，图象向右越靠近轴. 六、比较对数式的大小的方法 （1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论； （2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较； （3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较. 四、比较指数式的大小的关系 （1）若底数为同一常数则可，由指数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论； （2）若底数不同，幂数相同，则可根据幂函数的单调性比较大小 五、解对数不等式的方法 （1）形如的不等式，借助的单调性求解，如果的取值不确定，需分与两种情况讨论. （2）形如的不等式，需先将化为以为底的对数式的形式，借助的单调性求解. 题●型●破●译 题型01 对数定义的理解 【典例01】对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式01】使式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式02】若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型02 指数对数的互化 【典例01】已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【变式01】已知，，则（   ） A．16 B．27 C．37 D．54 【变式02】设，则＝（   ） A．10 B． C．25 D．5 题型03 对数运算 【典例01】计算下列各式的值 (1)计算的值. (2)已知，求的值. 【变式01】计算： (1)； (2)． 【变式02】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 题型04 换底公式的运用 【典例01】已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【变式01】（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【变式02】设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 题型05 对数函数的判断 【典例01】函数为对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【变式01】若函数是对数函数，则a的值是（    ） A．1或2 B．1 C．2 D．且 【变式02】下列函数是对数函数的是（   ） A． B． C． D． 题型06 求对数函数解析式 【典例01】已知对数函数（且）的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式01】已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式02】若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为（    ） A． B． C．或 D．不确定 题型07 求对数函数的定义域 【典例01】．函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式01】函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式02】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 题型08 求对数函数值域 【典例01】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式01】函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式02】函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 题型09 对数函数图像问题 【典例01】函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式01】已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式02】函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型10 对数函数过定点问题 【典例01】函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【变式01】函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．6 【变式02】若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 题型11 比较对数大小 【典例01】设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式01】已知，， ，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型12 对数型函数单调性问题 【典例01】设函数 在 单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知的递增区间（   ） A． B． C． D． 【变式02】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 题型13 解对数不等式 【典例01】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式01】已知偶函数的定义域为R，若在上单调递减且，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)解不等式． 题型14 对数函数奇偶性 【典例01】函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【变式02】若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 题型15 对数函数应用 【典例01】某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为（    ）（参考数据：，） A．23小时 B．25小时 C．42小时 D．44小时 【变式01】一段时间内，某养兔基地的兔子快速繁殖，兔子总只数的倍增期为21个月（假设没有捕杀与其他损耗）.那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要（   ）年 A．23 B．22 C．21 D．20 【变式02】把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是，空气的温度是 ，则 后该物体的温度满足 . 将温度分别为和的两块物体放入温度为的空气中，要使两块物体的温度之差不超过，至少要经过（    ）(取: ) A． B． C． D． 题●型●巩●固 1. 计算： (1)； (2). 2. 求下列各式的值． (1) (2) 3. 证明： （1）； （2）. 4. 求证:. 5. 对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 使式子有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．， 7. 已知，则（   ） A． B． C． D． 8. 已知，则（   ） A． B． C． D．18 9. 函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10. 下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 11. 已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 12. 已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 13. 已知函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 14. 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 15. 函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 16. 函数的定义域是，，则值域是（    ） A． B．， C．， D．， 17. 若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 18. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 19. 函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20. 函数的图象经过的定点坐标为（    ） A． B． C． D． 21. 设，则（    ） A． B． C． D． 22. 设，则的大小关系满足（    ） A． B． C． D． 23. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24. 函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 25. 设，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．， 26. 若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______． 27. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将 块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．） 28. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的，则该遗址距今约　　年．（参考数据： A．3000 B．3100 C．3200 D．3300 29. 已知函数是偶函数，求实数的值. 30. 已知函数为偶函数，则 . 31. 函数为偶函数，则实数的值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $