2025-2026学年度高二下学期数学苏教版选修二排列组合练习数学试卷

**基本信息** 本卷聚焦排列组合单元复习，通过8类新定义问题（如升阶断点、限距排列）和5道综合解答题（含正方体空间四面体组探究），考查抽象能力与逻辑推理，适配高中数学单元巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|分配问题、排列限制|结合“每人至少1本”等实际情境，基础巩固| |多项选择|3/18|分组分配、升阶断点|正误辨析，深化概念理解| |填空|3/15|有序二分划、环形排列|双空设计，分层考查| |解答|5/77|分组分配、独立子集、空间四面体|新定义探究（如独立子集）、反证法证明，能力提升|

2025-2026学年度6月份排列组合练习卷 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 现有6本不同的教辅书全部分给甲、乙两名同学，每人至少分得1本，则不同的分配方法总数为（ ） A. 30 B. 62 C. 64 D. 126 2. 从集合中任取3个不同数字组成三位数，要求十位数字严格大于个位数字，则满足条件的三位数个数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 3. 8名学生排队拍照，甲、乙两人必须相邻，且丙不能站在队伍最左端，则不同的排队方法数为（ ） A. 7200 B. 8640 C. 9600 D. 10080 4. 将9个完全相同的笔记本分给4名学生，每人至少分得2本，则不同的分配方案数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 28 5. 对有限数字排列，若满足，则称位置为一个升阶断点。取集合的全部全排列，则恰好存在1个升阶断点的排列个数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 6. 定义：将非空集合拆分为若干非空互不相交子集，且所有子集的并集为，称该拆分方式为的一个等价分组。则集合恰好拆分为2个非空子集的等价分组总数为（ ） A. 7 B. 11 C. 14 D. 15 7. 定义：对于的全排列，若任意相邻自然数与均不相邻，则称该排列为阶限距排列。则4阶限距排列的个数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 从集合中取出有序二元组，若为合数，则称该二元组为合和有序对。则合和有序对的总个数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分。 9. 下列排列组合计数结论正确的有（ ） A. 7个不同元素平均分为3、2、2三组，无序分组方法数为 B. 5名志愿者分配到3个不同社区，每个社区至少1人，共有150种分配方案 C. 3个不同元素全错位排列的方法数为3 D. 10个相同小球放入4个不同盒子，允许空盒，共有种放法 10. 设集合的4元全排列，关于升阶断点的说法正确的有（ ） A. 无升阶断点的排列一定为严格递增排列 B. 该集合排列最多存在2个升阶断点 C. 恰好存在2个升阶断点的排列共有8个 D. 严格递减排列的升阶断点个数为0 11. 记为集合的所有等价分组总数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 集合拆分为3个子集的等价分组数为6 C. D. 等价分组满足递推： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。第13题第一空2分，第二空3分。 12. 从5名男生、4名女生中任选4人参加学科竞赛，要求所选人员中男女至少各1人，则不同的选法总数为________。 13. 定义：若有序集合对满足且，且均为非空集合，则称为集合的一个有序二分划。 该集合所有有序二分划的总数为________； 满足的有序二分划个数为________。 14. 定义：环形排列中，旋转后能够重合的排列视为同一种排列，翻转不同视为不同排列。6人围圆桌就坐，要求甲、乙两人必须相邻，则不同的环形排列总数为________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 现有8件不同的工艺品，完成下列计数问题： （1）全部分给3位收藏家，每人至少2件，求不同的分配方法总数； （2）将8件工艺品平均分为2组用于展览，求无序分组方法数； （3）将8件工艺品分成3件、3件、2件三组，分别赠予甲、乙、丙三位收藏家，求不同分配方法数。 16.（15分） 10名学生排成一横排，求解下列排队问题： （1）A、B两人相邻，且C、D两人不相邻的不同排法数； （2）A必须在B左侧（可相邻），且E固定在第6号位的排法数； （3）从10人中任选6人排队，要求A、B至少1人入选且两人不相邻，求总排队方法数。 17.（15分） 定义：设集合，若子集满足：对任意，均有，则称为的独立子集，记为所有独立子集的个数（包含空集）。 （1）直接写出的值； （2）推导的递推关系式，并计算； （3）求集合中元素个数恰好为2的独立子集的数量。 18.（17分） 定义：取正方体8个顶点构成点集，从中任取4个点，若四点不共面，则称该四点组为空间四面体组。 （1）求从8个顶点中任选4个点的总四点组个数； （2）分类列举所有四点共面的平面类型，并计算全部共面四点组的总数； （3）求空间四面体组的总个数； （4）求所有四面体组中，恰好包含正方体一条完整棱的四面体个数。 19.（17分） 定义：对元排列，若存在连续子段，使得该子段恰好为的一个排列，则称该子段为一个标准连续段，记为排列包含的最大标准连续段长度。 （1）写出4元排列的所有标准连续段，并求； （2）求所有4元排列中，满足的排列个数； （3）证明：对任意元排列，均存在长度至少为2的标准连续段； （4）记为元排列中满足的排列个数，求并化简表达式。 参考答案 一、单项选择题（每题5分） 1. 答案：B 详细解析： 不同书籍分给两人，无限制总方法：种。 减去甲全拿、乙全拿2种不符合条件情况：。 易错点：忽略“每人至少1本”的限制，直接算总情况。 2. 答案：B 详细解析： 任取3个不同数字：，每一组三个数字中，十位大于个位的排法唯一，百位任意。 计算：。 3. 答案：C 详细解析： 捆绑甲乙：，整体视为1个元素共7个元素。 丙不站左端：总排法。 总计：。 4. 答案：A 详细解析： 相同元素隔板变形，每人先分2本，消耗8本，剩余2本分给4人。 方案数：4+6=10。 5. 答案：B 详细解析（新定义）： 升阶断点：后项比前项大2及以上。恰好1个断点即排列被分为两段递增区间，仅一处跳跃差≥2。枚举分组与排列，最终统计有效排列共12个。 6. 答案：A 详细解析（新定义）： 4元集合拆分为2个非空无序子集，分组数公式：。 7. 答案：B 详细解析（新定义）： 枚举4阶全排列，剔除12、23、34相邻情况，剩余有效限距排列共10种。 8. 答案：C 详细解析（新定义）： 有序二元组共组，剔除和为质数、1的情况，合和有序对共18个。 二、多项选择题（每题6分） 9. 答案：ABD 详细解析： A：两组2个元素均分，需除，正确； B：分组311、221，求和得150，正确； C：三元错位排列共2种，不正确； D：隔板法空盒模型，正确。 10. 答案：AB 详细解析（定义承接）： A：无跳跃断点即后项≤前项+1，整数排列只能严格递增，正确； B：4元排列最多两处跳跃断点，正确； C：恰好2个断点排列不足8个，错误； D：递减排列存在多处跳跃断点，错误。 11. 答案：ACD 详细解析（定义承接）： 直接验证贝尔数：，递推公式成立；B选项拆分3组数量不为6，错误。 三、填空题（每题5分） 12. 答案：120 解析：总选法减去全男、全女：。 13. 答案：30；10 超详细双空解析： 第一空：每个元素2种归属，总，减去全A、全B，得； 第二空：选2个元素为A，剩余为B，。 14. 答案：48 解析（环形新定义）： 环形固定相邻：甲乙捆绑，环形排列公式，代入得。 四、解答题超详细满分解析 15.（13分）分组分配综合 （1）分配方案仅能为(2,2,4)、(2,3,3)两类 ，计算得总方法数2940。（5分） （2）平均无序分组：。（9分） （3）不均等分组有序分配：，计算得结果1680。（13分） 16.（15分）排队综合 （1）相邻捆绑+插空法：先捆AB，排其余，再插CD，分步相乘得结果564480。（4分） （2）E固定，AB定序：。（9分） （3）间接法+插空，排除无AB、AB相邻情况，计算总排队数114240。（15分） 17.（15分）独立子集新定义探究 （1）枚举得。（4分） （2）递推推导：考虑元素选或不选 不选：对应；选则不选，对应。 得递推：，斐波那契递推，计算。（10分） （3）枚举5元集合二元独立子集，共6个。（15分） 18.（17分）空间四点组新定义压轴 （1）总四点组：。（4分） （2）共面类型：表面6个、对角面6个，总计12组共面四点。（9分） （3）四面体个数：8。（13分） （4）固定一条棱，筛选不共面四点，计数得最终结果48。（17分） 19.（17分）排列标准连续段高阶探究压轴 （1）枚举排列子段，得最大标准段长。（4分） （2）限定最大长度为2，枚举排除含3、4长度标准段的排列，统计得数量为16。（10分） （3）反证法：假设无长度≥2标准段，推出矛盾，命题得证。（14分） （4）即整体为标准段，等价于全排列，。（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $