江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期高二年级期中考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 A．5种 B．60种 C．120种 D．243种 答案：D 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是 A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 答案：A 3. 某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为 A． B． C． D． 答案：C 4. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%.而各自的产品中废品率分别为3%，2%.则该厂这种零件的废品率是 A．1% B．1.45% C．2.45% D．5% 答案：C 5. 设，则 A． B． C． D． 答案：B 6. 已知随机变量分布，则其方差的最大值是 A． B． C． D． 答案：A 7. 已知随机变量，且，则 A． B． C． D． 答案：B 8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则 A． B． C． D． 答案：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，则 x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m A． B．该经验回归直线必过 C．变量x，y呈正相关 D．可预测当时，y约为 答案：ACD 10. 已知随机事件，且，，，则 A． B． C． D． 答案：ABD 11. “算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则 A． B． C． D． 答案：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 的展开式中含项的系数是 ． 答案：240 13. 已知，，则 ． 答案： 14. 某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能的传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是 ． 答案： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果列于下表． 发病 没发病 合计 接种 a 27 30 没接种 17 b 30 合计 20 40 60 （1）求； （2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？ 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 解：（1），. ……4分 （2）零假设：接种疫苗与发病相互独立，即接种疫苗对预防发病无效， ……6分 由列联表知：， 结果错误给1分 ……10分 根据小概率的独立性检验，有充分证据推断出不成立， 故有90%的把握认为疫苗有效. ……13分 答：（1），.（2）有90%的把握. 16．（15分） 在的展开式中，前3项的系数成等差数列. （1）求展开式中的所有项的二项式系数和； （2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项的概率. 解：（1）二项式的展开式的通项公式是. 因为前3项的系数成等差数列， 所以，即， ……4分 可得． ……6分 可得展开式中的所有项的二项式系数和为． ……8分 （2）因为，可得时为有理项，共5项．……11分 展开式共有9项，设“这2项均为有理项”为事件． ……13分 所以． 没有过程给结果分2分 ……15分 17．（15分） 假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为． （1）求； （2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率； （3）求的概率分布和期望． 解：（1）． ……2分 （2）． ……4分 记该射手第2次射击射中目标为事件，耗用子弹数为4为事件， 则． ……6分 所以． ……8分 （3），，， ． 各2分 ……12分 所以． ……14分 答：（1）； （2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率是； （3），，，． ． ……15分 18．（17分） 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法.具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉 20 只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区.经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合.然后，再次从保护区中随机捕捉50 只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为. （1）若，求被捕捉的50 只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； （2）求使得最大的的值. 解：（1）因为，所以服从超几何分布，其中，，. ……2分 ，. 各2分 ……6分 （2）当时，. ……8分 当时，. ……10分 设，则. ……13分 由，解得，即时，， 即时，， ……15分 所以在时取得最大值. 答：（1），.（2）在时取得最大值. ……17分 19．（17分） 为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立． （1）若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列； （2）一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望； （3）现对两个相同的元件同时测进行试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求． 参考公式：若，则． 解：（1）由题意得服从二项分布，所以， ，， ． 各1分 ……4分 （2）因为，所以， ……6分 所以， ……8分 所以． ……10分 （3）记“恰好一个元件正常工作”为事件，则． ……12分 设，则， 所以． 方法一： 因为， 所以， 所以，所以． ……15分 方法二： 所以 ， 所以． ……15分 因为，所以或（舍去）． ……17分 数学试卷 第4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第二学期期中考试 高二数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置. 2.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他 位置作答一律无效， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有 A.5种 B.60种 C.120种 D.243种 2.已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，2,5，，且方+<0， 1<2<0<;<,则线性相关程度最强的是 A.甲组 B.乙组 C.丙组 D.丁组 3.某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛 的场次数量为 A.26 B.78 C.156 D.169 4.某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%.而各自的产品中废品率分别 为3%，2%.则该厂这种零件的废品率是 A.1% B.1.45% C.2.45% D.5% 5.设(2x+V5)4=4,+a4x+a,x2+a,x3+ax4，则(a。+a2+a)2-(a+a3)2= A.-1 B.1 C.(2+V5)4 D.(2-V3) 6.已知随机变量X一0-1分布，则其方差的最大值是 A.是 B.月 C.1 D.2 高二数学试卷第1页 7.已知随机变量X~N(2,82),且P(X≤4)=0.8，则P(0≤X≤2)= A司 B品 C. D.9 8.将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机 取出一个小正方体，记它的油漆面数为X,则E()= A.1 B. C.2 D.} 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知x,y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为 =0.95x+2.6,则 0 3 4 2.2 4.3 4.8 A.m=6.7 B.该经验回归直线必过(2,3.5) C.变量x,y呈正相关 D.可预测当x=6时，y约为8.3 10.已知随机事件A,B,且P①-)，P(D 3P(B10= 则 A.B)-号 R的品 c.4到- D.a动-g 11.“算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思 想方法.如由等式1+x)2”=Q+x)Q+x)”知左右两侧含x”项的系数相等.则 A.A+Am=A件 B. ) D.nC=∑i(C)2 =0 i=0 高二数学试卷第2页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x2+3x+2)的展开式中含x项的系数是 13. 已知∑(：-)0y-)=7, ∑y=182,=3,=5,则y月 i=1 i=1 14.某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花 者等可能的传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15。(13分) 为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射 了病源菌，其结果列于下表. 发病 没发病 合计 接种 a 27 30 没接种 17 b 30 合计 20 40 60 (1)求a,b: (2)问：能否有90%的把握认为疫苗有效？ 附：X2= n(ad-be)2 其中n=a+b+c+d. a+b)(c+d)(a+c)(b+d) a 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 16。(15分) 在(x+ 2的展开式中，前3项的系数成等差数列 (1)求展开式中的所有项的二项式系数和： (2)在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项的概率 高二数学试卷第3页 17。(15分) 假设某射手每次射击命中目标的概率为.现有5发了弹，该射手射中目标2次就停止射击， 否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X· (1)求P(X=3): (2)在X=4的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率； (3)求X的概率分布和期望. 18。(17分) 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法.具体操作如下： 假设该鸟类的种群数量为N,首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保 护区.经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合.然后，再次从保护区中随机捕 捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为X. (1)若N=100,求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率p(用组合数表示)和E(X): (2)求使得P(X=9)最大的N的值. 19。(17分) 为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试.已知该元件在单次测试中正 1、 常工作的概率是p(0<p<),且每次测试的结果相互独立。 1 1)若卫=写现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为X,求X的分布列： (2)一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止.设N为该序列中元件正常工 作的次数，定义“稳定指数”为S且=2，求S的期望： (3)现对两个相同的元件A,B同时测进行试，每轮对A,B各进行一次测试.记T为首次出现 “恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若①=9，求p· 参考公式：若0<p<1,则∑p=1一D 高二数学试卷第4页