专题02 排列组合13种题型归类（压轴题专项训练）数学苏教版选择性必修第二册

专题02 排列组合 目录 类型一、排列数与组合数的计算与证明 类型二、相邻元素捆绑法 类型三、不相邻问题插空法 类型四、特殊元素优先安排法 类型五、平均分组问题 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 类型九、元素配对问题 类型十、多面手问题 类型十一、球放盒子问题（先分后排） 类型十二、错排问题 类型十三、环排问题 压轴专练 类型一、排列数与组合数的计算与证明 解题技巧： （1）（、，且） （2）（、，且） （3）（、，且） （4）（、，且） （5） 证明:组合数公式法:有组合数性质可得: 左边 右边，得证. （6）或 例1-1．已知，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 例1-2．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 变式1-1．使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．证明下列等式． (1)； (2)． 变式1-3．（多选）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式1-4．如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：. （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 类型二、相邻元素捆绑法 解题技巧： 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例2．甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 变式2-2．在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 变式2-3．一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（    ） A．48 B．24 C．12 D．6 变式2-4．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 类型三、不相邻问题插空法 解题技巧： 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例3黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（    ） A．180 B．210 C．240 D．360 变式3-1．将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 变式3-2．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 变式3-3．宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 变式3-4．一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种. 类型四、特殊元素优先安排法 解题技巧： 处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制 例4．现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有 种不同的站法． 变式4-1．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 变式4-2．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 变式4-3．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 变式4-4．某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 类型五、平均分组问题 解题技巧： ①分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． ②完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. ③部分均匀分组:注意不要重复,有组均匀,最后必须除以(或除以) ④完全非均匀分组:这种分组不必考虑重复现象. 例5．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 变式5-1．全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 变式5-2．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 变式5-3．将5个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有一个盒子为空的放法种数为（   ） A．960 B．600 C．480 D．240 变式5-4．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（    ） A．1200 B．1560 C．2640 D．4800 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 解题技巧： 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列 例6．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 变式6-1．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单。三个舞蹈节目出场顺序固定，有 种排法 变式6-2．某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有 种不同摆法 变式6-3．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 变式6-4．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（    ）种不同的编码． A．120 B．60 C．40 D．10 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 解题技巧： 将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 例7-1．学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种. 例7-2．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 变式7-1．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 . 变式7-2．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）． 变式7-3．方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 变式7-4．方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 解题技巧： 有些排列组合问题,从正面直接考虑比较复杂,可以尝试反其道而行,先求出它的反面情况,再从整体中将其减去. 如“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 例8．（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 变式8-2．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 变式8-3．现有9名学生，其中女生4名，男生5名． （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 类型九、元素配对问题 解题技巧： 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 例9．从不同颜色的5双鞋中任取4只，其中恰有一双颜色配对成功的取法数为（    ） A．60 B．120 C．140 D．240 变式9-1．由双不同的鞋中任取只，其中至少有两只配成一双的取法共有(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 变式9-2．现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为 （用数字作答）． 变式9-3．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率： (1)所取的4只鞋中恰好有2只是成双的； (2)所取的4只鞋中至少有2只是成双的． 变式9-4．．双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果： (1)只鞋子没有成双的； (2)只鞋子恰成两双； (3)只鞋中有只成双，另只不成双． 类型十、多面手问题 解题技巧： 1.以“多面手”的参与情况为核心分类 先确定多面手在任务中扮演的角色（例如：不参与、只做A类工作、只做B类工作、同时参与两类工作等），以此作为分类的标准，确保每一种情况都清晰独立。 2.优先安排“多面手”，再安排“单面手” 在每一类中，先确定多面手的具体安排，再根据剩余的岗位需求，从只擅长单一技能的人员中进行选择和分配，避免重复计算。 3.注意“角色互斥”与“岗位限制” 明确每个岗位的人数要求，以及多面手在同一任务中不能同时担任多个互斥角色，确保每一步选择都符合题目条件。 4.用“排除法”验证结果 计算完成后，可以用总人数减去不符合条件的分配方式，或通过列举少量情况进行验证，防止出现逻辑漏洞。 5.画“角色-人员”对应表辅助分析 可以用表格清晰列出多面手和单面手的技能、可担任的岗位，按分类顺序逐一分析，避免因人员角色复杂而漏算或重算。 例10．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？ 变式10-1．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 变式10-2．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式10-3．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？ 类型十一、球放盒子问题（先分后排） 解题技巧： “球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。同一盒子放多个球时“只选不排” 注意分类套路不遗漏 例11．将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 变式11-1．将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 变式11-2．（多选）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 变式11-3．15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有 种. 变式11-4．（多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 类型十二、错排问题 解题技巧： 封不同的信都装错了信封,问都装错信封的方法有多少种（即的错位数是多少）? ，其中 例12．有5封信和5个对应的信封，现在要将信全部装入信封，但要求每封信都不能装入对应的信封，问有多少种装法？ 变式12-1．将4封不同信件放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的概率为 ． 变式12-2．著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有 种 变式12-3．用A，B，C，…表示写着n位友人名字的信封，a，b，c，表示n份相应的写好的信纸．求每封信都装错信封的方法总数． 类型十三、环排问题 解题技巧： 在圆排列数中： （1）个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理 例13．10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为        __________ 变式13-1．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 变式13-2．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）． （1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？ （2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？ 变式13-3．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 变式13-4．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A．19 B．38 C．51 D．57 压轴专练 1.从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 2.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（   ） A．27种 B．36种 C．54种 D．72种 3.甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 4.为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 5.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（   ） A．72 B．84 C．96 D．108 6.已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 7.某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 8.（多选）下列等式中，成立的有（    ） A． B． C． D． 9.（多选）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 10.（多选）在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（    ） A．有种不同的节目演出顺序 B．当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 11.从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 12.某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法（数字作答）. 13.由这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为 . 14.王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有 种. 15.将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有 种．（用数字作答） 16.证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 17.有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数. (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排在乙的前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端. 18.4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻. (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾. (3)甲、乙两人中间必须有2人. (4)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变. 19.（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 20.（1）将四粒相同的白色珠子，六粒相同的红色珠子及一粒黑色珠子放在桌上，摆成一圈有几种摆法？ （2）若用线穿成珠圈又有几种不同的穿法？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 排列组合 目录 类型一、排列数与组合数的计算与证明 类型二、相邻元素捆绑法 类型三、不相邻问题插空法 类型四、特殊元素优先安排法 类型五、平均分组问题 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 类型九、元素配对问题 类型十、多面手问题 类型十一、球放盒子问题（先分后排） 类型十二、错排问题 类型十三、环排问题 压轴专练 类型一、排列数与组合数的计算与证明 解题技巧： （1）（、，且） （2）（、，且） （3）（、，且） （4）（、，且） （5） 证明:组合数公式法:有组合数性质可得: 左边 右边，得证. （6）或 例1-1．已知，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】因为， 则， 整理可得， 解得，经检验，满足题意． 故选：C. 例1-2．求解下列问题： (1)计算：； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）. （2），. 变式1-1．使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，为正整数，，在中，为正整数，， 因为，则有，即，解得， 因此有，为正整数，所以的取值可以是或或． 故选：D． 变式1-2．证明下列等式． (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由排列数的公式，可得： ． （2）证明：由排列数公式，可得． 变式1-3．（多选）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数，组合数的计算公式逐项判断即可. 【详解】对A：因为．故A正确； 对B：根据组合数公式得， ， 所以．故B正确； 对C：， 而， 显然此时，．故C错误； 对D：， 而，所以．故D正确. 故选：ABD 变式1-4．如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：. （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数； （3）从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由. 【答案】见详解 【详解】（1）第1行最后两数，第2行的最后两数. 第m（）行的第m个数为，第个数为， 猜测：， 即证：，因为， 只要证明，该式显然成立，所以，所以每行最后两个数相等. 法二：（组合公式）因为 ；又因为.即：.所以每一行的最后两个数相等. （2）第1行所有数之和为，第2行的最后一个数为， 此时结论成立.因为，第m（）行的个数之和为： .而第行倒数第二个数为，由（1）得每行最后两个相等，所以结论得证. （3）当，时，，，当时，此时显然不成立. 猜测：存在正整数k，使得恒成立，k的最大值为3. 下证：当时，恒成立. 由（1）知，，则，因为 .又，当时，.当时，，所以.综上：存在正整数k，k的最大值为3，使得恒成立. 类型二、相邻元素捆绑法 解题技巧： 个不同元素排列成一排,其中某个元素排在相邻位置上,有多少种不同排法? 先将这个元素“捆绑在一起”,看成一个整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列,共有种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例2．甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相邻的情况有：所有排列为：, 甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：, 所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为， 故选：C 变式2-1．五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 【答案】D 【分析】用排列中的捆绑法直接求出即可. 【详解】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 变式2-2．在一次文物展览中，要将5件不同的文物从左到右摆成一排进行展示，其中有2件特殊的文物需要相邻摆放，则不同的排列方法有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【详解】先把2件特殊的文物放一起，看做一个整体与其余3个全排列， 共有种不同的排法， 故选：B 变式2-3．一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（    ） A．48 B．24 C．12 D．6 【答案】A 【分析】根据相邻元素采用捆绑法可得结果. 【详解】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有种排法， 相邻元素内部再排共有种排法， 故共有种排法， 故选：A． 变式2-4．北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题．现有3辆车停放在7个并排的泊车位上，要求4个空位必须相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有（　　）种． A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【详解】从7个车位里选择4个相邻的车位，共有4种方式， 停放的3个车辆，有种方式， 则不同的泊车方案有种． 故选：C. 类型三、不相邻问题插空法 解题技巧： 将个不同元素排成一排,其中个元素互不相邻(),有多少种排法? 先把个元素排成一排,共有种排法,然后把个元素插入个空隙中,共有种排法.由分步乘法计数原理得符合条件的排列共有种 例3黄金分割最早见于古希腊和古埃及.黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339….小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（    ） A．180 B．210 C．240 D．360 【答案】C 【详解】先把排列，然后选两个空档插入3，总方法为．故选：C 变式3-1．将五张数字牌按序进行排列，其中相同的数字牌不相邻的排法总数为 . 【答案】 【分析】先利用总排列数公式（考虑重复元素）计算所有可能的排列；再利用容斥原理，分别减去“两个相邻”和“两个相邻”的排列数，最后加回“两个和两个同时相邻”的排列数，从而得出满足“相同数字不相邻”的排列数. 【详解】总排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻的排列数：， 两个相邻且两个相邻的排列数：， 由容斥原理得：. 故答案为： 变式3-2．三位老师和三名学生站成一排，若任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，则不同的排法总数为（    ） A．144 B．72 C．36 D．12 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式求解. 【详解】排3名学生有种方法，再将3名老师插入3名学生每个排列形成的间隙中， 由任意两位老师不相邻，任意两名学生也不相邻，得3名学生每个排列形成的中间两个间隙必排，有种方法， 所以不同的排法总数为种. 故选：B 变式3-3．宁德市举办大黄鱼产业推介会，某展台需要展示“清蒸大黄鱼“黄鱼鲞”“黄鱼饺”3道菜品和“大黄鱼鱼丸”“大黄鱼鱼松”2种加工制品，若要求2种加工制品在展台上不相邻摆放则不同的摆放方案有（    ） A．36种 B．48种 C．72种 D．120种 【答案】C 【分析】先用全排列排好道菜品，再用插空法将种加工制品插入菜品形成的空隙中，最后将两步结果相乘得到总方案数. 【详解】道菜的全排列数为种； 排列好后，它们之间会形成个空隙(包括两端)； 从个空隙中选2个来放加工制品，排列数为：种； 总方案数为：种. 故选：C 变式3-4．一个火车站有 8 股道，如果每股道只能停放 1 列火车，现要停放 4 列不同的火车，每两列火车不能停在相邻股道，则不同的停放方法共有 种. 【答案】120 【分析】利用插空法进行计算即可. 【详解】总共有 8 股股道，要停放 4 列火车，那么剩下的空股道有股. 这 4 股空股道排好后，会形成 个可以插入火车的 “空隙”（包括两端）. 首先，从 5 个空隙中选 4 个，有 种选法， 然后，将 4 列不同的火车在这 4 个位置上进行全排列，有种排法. 总的方法数是选位置的方法数乘以排列的方法数，即： 种. 故答案为：120. 类型四、特殊元素优先安排法 解题技巧： 处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制 例4．现有4名男生和2名女生排成一行照相，要求女生不相邻，男生甲因身高原因不能站在整个队伍的最左端，则一共有 种不同的站法． 【答案】408 【分析】利用排列知识结合正难则反思想计算即可. 【详解】当女生不相邻时共有种， 当男生甲站在左端且女生不相邻时，有， 故女生不相邻，男生甲不站在整个队伍的最左端，有种． 故答案为：408 变式4-1．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 【答案】D 【分析】将“数、书”捆绑，分“礼”在第二次或“礼”在最后一次两类求解. 【详解】将“数、书”捆绑，内部排列共有种，则可看作五个元素，五个次序， 若“礼”在第二次，则首先需从“乐、射、御”三艺中选择一艺放在第一次有种不同的次序， 再将剩余三个元素（数、书捆绑看作一个元素）在后面排列，有种不同的次序， 根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 若“礼”在最后一次，则将剩余四个元素（数、书捆绑看作一个元素）安排在剩余四个次序， 有种不同的次序，根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 综上，讲座不同的次序共有种， 故选：D. 变式4-2．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用有位置关系的排列问题，结合分步乘法计数原理列式求解. 【详解】让甲站位有种方法，再让乙丙站位有种方法，最后排余下5人，有种方法， 由分步乘法计数原理得， 所以这八位同学一共有480种站位方式. 故选：B 变式4-3．《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（   ） A．720种 B．360种 C．288种 D．144种 【答案】D 【分析】根据题意分步进行分析：①用倍分法分析《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《赋得古原草送别》与《念奴娇》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意分步进行分析： ①将《登鹳雀楼》、《春江花月夜》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有种顺序， 因为《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，所以这首诗词的排法有种； ②这首诗词排好后，不含最后有个空位，在个空位中任选个， 安排《赋得古原草送别》与《念奴娇》，有种安排方法； 则后六场的排法有种 . 故选：D 变式4-4．某地文旅局联合多部门借助电商平台推销当地特色农产品，共有新鲜助农水果、核心助农产品、地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品、限时秒杀六类选品，若要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架，则上架顺序有（   ） A．16 种 B．24 种 C．36 种 D．48 种 【答案】C 【分析】根据题意可知限时秒杀类选品不需要考虑；因为新鲜助农水果、核心助农产品要相邻，所以将其捆绑考虑；先求出不限制非遗手工艺品上架顺序的排列种数，最后从总排列方式中减去非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式，即可得到符合条件的排列种数. 【详解】因为要让限时秒杀类选品作为第一个链接上架，所以只要考虑余下的5类选品即可； 因为新鲜助农水果和核心助农产品要作为相邻链接上架，所以将它们视为一个整体，其内部排列方式有（种）； 所以此整体与剩下的地域特色干货、五谷杂粮礼包、非遗手工艺品3类选品的排列方式有（种）； 因此不考虑其他限制的排列方式有（种）； 当非遗手工艺品作为最后一个链接上架的排列方式有（种）； 所以新鲜助农水果、核心助农产品作为相邻链接上架，且非遗手工艺品不能作为最后一个链接上架的上架顺序有（种）. 故选：C. 类型五、平均分组问题 解题技巧： ①分组问题(分成几堆，无序)有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n堆(组)必须除以，如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以． ②完全均匀分组:每组的元素个数均相等,最后务必除以组数的阶乘. ③部分均匀分组:注意不要重复,有组均匀,最后必须除以(或除以) ④完全非均匀分组:这种分组不必考虑重复现象. 例5．将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 【答案】D 【分析】利用两个计数原理以及分组分配问题的解法结合组合数的性质求解即可. 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 变式5-1．全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想. 【详解】依题意，有两类分组方法： ① 5名同学按2人，2人，1人分成三个小组，有种分法， ② 5名同学按3人，1人，1人分成三个小组，有种分法. 再把分好的三个小组安排到三个服务站分别有种方法， 故每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 故选：B. 变式5-2．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 变式5-3．将5个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有一个盒子为空的放法种数为（   ） A．960 B．600 C．480 D．240 【答案】B 【分析】先将5个不同的小球分为三个组，再将3个组的小球安排到3个不同的盒子即可求解. 【详解】将5个不同的小球按1，1，3分为三个组有种不同的分法， 将5个不同的小球按1，2，2分为三个组有种不同的分法， 故将5个不同的小球分为3个组，共有种不同的分法， 再把三个组的小球分到3个不同的盒子有， 故共有种不同的放法. 故选：B. 变式5-4．为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（    ） A．1200 B．1560 C．2640 D．4800 【答案】B 【分析】先将将6名同学分为或的四组，再将四组分到书法、音乐、美术、体育社团，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先将6名同学分为或的四组，共有种， 再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团，共有种， 所以共有种. 故选：B. 类型六、解决部分元素定序问题（倍缩法） 解题技巧： 对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列 例6．某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法有 种． 【答案】30 【分析】根据排列中的定序问题的处理方法计算求解. 【详解】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法， 如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 故答案为：30 变式6-1．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单。三个舞蹈节目出场顺序固定，有 种排法 【答案】. 【分析】先将7个节目进行全排列，再由3个舞蹈节目出场顺序固定，就是7个节目的全排列数除以3个舞蹈节目的全排列数，即为所求. 【详解】7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种. 变式6-2．某次宴会，有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有 种不同摆法 【答案】 【分析】利用定序倍缩法判断，从而得解. 【详解】先将十六道菜品进行排列，有种摆法，其中十二道菜品的顺序固定， 所以有（种）不同摆法 变式6-3．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ） A．6种 B．12种 C．18种 D．36种 【答案】B 【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素， 此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 定序问题用倍缩法，共有种不同的排列方式. 故选：B. 变式6-4．按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（    ）种不同的编码． A．120 B．60 C．40 D．10 【答案】D 【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数．故选：D 类型七、相同元素分组问题（隔板法） 解题技巧： 将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 例7-1．学校将个三好学生名额分配给个班，每个班至少一个名额，则分配方案共有 种. 【答案】 【详解】将个三好学生名额看做个完全一样的小球，将小球排成一排， 从个空中插入个隔板，将小球分成组，每组小球的个数对应班级的三好学生名额， 故分配方案共有（种）. 故答案为： 例7-2．若方程，其中，则方程的自然数解的个数为 . 【答案】28 【分析】依据隔板法去求解即可. 【详解】已知方程，且， 则，其中均为自然数. 将其转化为， 其中为正整数. 运用隔板法将其转化为有9个1排成一列，利用2个隔板法将其分成3组， 第一组1的数目为，第二组1的数目为，第三组1的数目为，则. 2个隔板的放置方法共有种， 故方程的正整数解的个数为28. 即方程的自然数解的个数为28. 故答案为：28. 变式7-1．现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为 . 【答案】 【详解】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型： 第一种是只有一个班分到名额，有3种情况； 第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有种情况， 第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有种情况， 则恰有两个班分到三好学生名额的概率为． 故答案为：． 变式7-2．有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为 （用数字作答）． 【答案】 【详解】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本， 只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可， 所以，不同的分法种数为种. 故答案为：. 变式7-3．方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 变式7-4．方程共有 组正整数解，共有 组非负整数解． 【答案】 455 969 【分析】第一空：将方程正整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法，第二空，通过转化为将方程正整数解的组数，采用隔板法求解即可. 【详解】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由， 得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解． 故答案为：455，969 类型八、正难则反逆向思维（间接法） 解题技巧： 有些排列组合问题,从正面直接考虑比较复杂,可以尝试反其道而行,先求出它的反面情况,再从整体中将其减去. 如“至多”“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”“最多”这两个关键词的含义谨防重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理 例8．（多选）某单位安排7名员工周一到周日为期一周的值日表，每名员工值日一天且不重复值班，其中甲不排在周一，乙不排在周三，则不同的安排方案种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】直接法：若乙安排在周一，则有种不同的排法； 若乙不安排在周一，则甲、乙可以安排在除周一和周三外的任何位置，有种不同的排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项D正确． 间接法：（1）不管条件限制共有种不同的排法． 当甲安排在周一或乙安排在周三时，有种不同的排法； 当甲安排在周一且乙安排在周三时，有种排法． 故所有符合题意的方法共有种，所以选项B正确． （2）从周一到周日的七天位置来看，周一不安排甲共有种不同的排法， 其中周三安排乙共有种排法，是不符合题意的， 故所有符合题意的方法共有种，所以选项A正确. 故选：ABD 变式8-1．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是（   ） A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【详解】 故选：B． 变式8-2．有4名男生､3名女生和2个不同的道具（记作A和B）参与一个活动，活动要求：所有人（男生和女生）必须站成一排，女生必须站在一起，并且她们之间按照身高从左到右由高到低的顺序排列（假设女生的身高各不相同）；两个道具A和B必须被分配给队伍中的两个人（可以是男生，也可以是女生），但这两人不能站在一起.满足上述所有条件的排列方式共有（    ） A．2400种 B．3600种 C．2880种 D．4220种 【答案】B 【详解】根据题意4名男生､3名女生的排列方法为，然后在7人中选2人（不相邻）分配道具：，总方法数为， 故选：B． 变式8-3．现有9名学生，其中女生4名，男生5名． （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？ 【答案】（1） （2） （3） 【详解】 （1）从中选2名代表，没有女生的选法有种， 所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种． （2）从中选出男、女各2名的不同选法有种．   （3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种， 将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法， 故共有种安排方法． 类型九、元素配对问题 解题技巧： 配对问题主要以鞋子或手套来作为命题对象，核心在于成双或不成双，.对于成双问题很容易思考，直接选取整双即可，对于不成双问题，要先取双，然后从每双中，取左右单只即可，难点和易错点在于不成双，一定要分两步思考，先取双，再取只. 例9．从不同颜色的5双鞋中任取4只，其中恰有一双颜色配对成功的取法数为（    ） A．60 B．120 C．140 D．240 【答案】B 【分析】利用组合数及分步计数原理即可求解. 【详解】先从不同颜色的5双鞋中取出双，有种选法， 再从剩下的双中任取双，在这两双中各取只，有种情况， 由分步计数原理可得，共有种. 故选：B. 变式9-1．由双不同的鞋中任取只，其中至少有两只配成一双的取法共有(    ) A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据组合计算全部取法，然后求解对立事件的取法，即可由全部取法去掉对立事件的取法即可求解. 【详解】从双不同鞋子取出只鞋的取法种数是，取出的四只鞋都不成双的方法有，故事件“从双不同鞋子中取出只鞋，其中至少有只鞋配成一双”的取法种数是， 故选：． 变式9-2．现有男、女乒乓球运动员各6人，将他们配对成男双、女双、混双各2对，每个运动员都只参加一个项目，则不同的配对方法种数为 （用数字作答）． 【答案】4050 【分析】先确定男双、女双配对，剩下两男两女共2种配对混双得方法，再由乘法原理求解即可； 【详解】男双的配对方法种数为，同理，女双的配对方法种数为， 剩下的两男两女中混双的配对方法种数为2，则不同的配对方法种数为． 故答案为：4050． 变式9-3．从5双不同的鞋中任意取出4只，求下列事件的概率： (1)所取的4只鞋中恰好有2只是成双的； (2)所取的4只鞋中至少有2只是成双的． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出基本事件总数，求出所取的4只鞋中恰好有2只是成双的取法数，根据古典概型的概率公式可求得答案; （2）求出基本事件总数，求出所取的4只鞋中至少有2只是成双的取法数，根据古典概型的概率公式可求得答案; 【详解】（1）由题意知基本事件总数是． 恰有2只成双的取法是， 所以，所取的4只鞋中恰好有2只是成双的概率为； （2）事件“4只鞋中至少有2只是成双”包含的事件是“恰有2只成双”和“4只恰成两双”． “恰有2只成双”的取法是；“4只恰成两双”的取法是， 所以“4只鞋中至少有2只是成双”的概率为． 变式9-4．．双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出只，试求各有多少种情况出现如下结果： (1)只鞋子没有成双的； (2)只鞋子恰成两双； (3)只鞋中有只成双，另只不成双． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）从双鞋子中选取双，每双鞋子中取只. （2）从双鞋子中选取双即可. （3）先从双鞋子中选取一双,再从剩下的双鞋中选取双，每双鞋子中取只. 【详解】（1）解：从双鞋子中选取双，有种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有种取法，根据分步计数原理，选取种数为(种)． 即只鞋子没有成双有种不同取法． （2））从双鞋子中选取双有种取法， 所以选取种数为 (种) 即只鞋子恰成两双有种不同取法． （3）先选取一双有种选法，再从双鞋中选取双有种选法，每双鞋只取一只各有种取法．根据分步计数原理，不同取法为 (种)． 类型十、多面手问题 解题技巧： 1.以“多面手”的参与情况为核心分类 先确定多面手在任务中扮演的角色（例如：不参与、只做A类工作、只做B类工作、同时参与两类工作等），以此作为分类的标准，确保每一种情况都清晰独立。 2.优先安排“多面手”，再安排“单面手” 在每一类中，先确定多面手的具体安排，再根据剩余的岗位需求，从只擅长单一技能的人员中进行选择和分配，避免重复计算。 3.注意“角色互斥”与“岗位限制” 明确每个岗位的人数要求，以及多面手在同一任务中不能同时担任多个互斥角色，确保每一步选择都符合题目条件。 4.用“排除法”验证结果 计算完成后，可以用总人数减去不符合条件的分配方式，或通过列举少量情况进行验证，防止出现逻辑漏洞。 5.画“角色-人员”对应表辅助分析 可以用表格清晰列出多面手和单面手的技能、可担任的岗位，按分类顺序逐一分析，避免因人员角色复杂而漏算或重算。 例10．某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？ 【详解】根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可． 试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类： 第一类：只会印刷的4人全被选出，有种； 第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种4； 第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种． 所以共有（种）． 变式10-1．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，经过训练后，龙舟队的名队员在左、右桨位中至少会一个，其中有人会划左桨，人会划右桨．现要选派人划左桨、人划右桨共人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ） A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【详解】依题意名队员中有人会划左桨，人会划右桨， 则既会划左桨又会划右桨的有人，记这两人分别为、， 所以只会划左桨有人，只会划右桨有人， 据此分种情况讨论： ①从只会划左桨的人中选人划左桨，从剩下的人中选人划右桨，则有种选法； ②从只会划左桨的人中选人划左桨，从、中选人划左桨， 再从剩下的会划右桨的个人中选人划右桨，则有种选法； ③从只会划左桨的人中选人划左桨，、这人划左桨， 另外会划右桨的人划右桨，则有种选法， 综上可得一共有种不同的选法. 故选：D． 变式10-2．有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞，从中选出人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不同的选派方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】根据题意，有名歌舞演员，其中名会唱歌，名会跳舞， 则既会跳舞又会唱歌的有人， 只会唱歌的有人，只会跳舞的有人; 若选出2人，没有既会跳舞又会唱歌，有种选法， 若选出2人中有1人既会跳舞又会唱歌，则有种选法， 若选出2人全部是既会跳舞又会唱歌的，则有种选法， 则共有种选法. 故选：C. 变式10-3．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？ 【答案】185 【详解】法一，依题意知，完成这件事情分三类， 第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有种； 第二类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有种； 第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有． 故由分类加法计数原理知，共有种选法． 法二，按均精通的专家分类： 第一类，两人均不参加，有种； 第二类，两人有一人参加，有种； 第三类，两人均参加，有种； 由分类加法计数原理知，共有种选法 类型十一、球放盒子问题（先分后排） 解题技巧： “球放盒子”类型，要讨论“用了几个盒子”，放了几个球。同一盒子放多个球时“只选不排” 注意分类套路不遗漏 例11．将6个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子都要有小球，则不同的放球方法共有（   ） A．4种 B．6种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】根据隔板法来解决相同元素分组问题，通过在元素之间插入隔板来将元素分成不同的组. 【详解】本题是6个相同的小球放入3个不同的盒子，且每个盒子至少有1个小球的组合问题，可以使用隔板法， 将6个小球排成一排，中间形成5个空隙，在这5个空隙中插入2个隔板， 即可将小球分成3份，每份至少有1个， 因此，不同的放法共有种， 故选：C． 变式11-1．将5个完全相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的4个小盒，恰好有1个空盒的不同放法有 种. 【答案】24 【分析】先从4个盒子中选出3个用于放置小球，再将5个完全相同的小球放入这3个选出的盒子中，且每个盒子至少放1个，再利用插板法或分类讨论法计算放法总数. 【详解】解法一：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，需要两个“隔板”， 所以分配方案共有种情况， 所以总方法数为种； 解法二：先从4个盒子中选出3个，共有种方法， 将5个完全相同的小球全部放入3个盒且无空盒，共有2种情况， ①从3个盒中选1个放3个球，剩余两个盒各放1个，共有种， ②从3个盒中选1个放1个球，剩余两个盒各放2个，共有种， 所以总方法数为种； 故答案为：24 变式11-2．（多选）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论不正确的有（ ） A．没有空盒子的方法共有16种 B．有空盒子的方法共有256种 C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种 【答案】ABD 【分析】没有空盒即将4个球在4个盒子上进行全排列即可判断A；有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，即可求解判断B；恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，且必然有1个盒子中放了2个球，求解即可判断C；只需从4盒4球中选定标号相同的球和盒，另外的球与盒不能对应，求解即可判断D． 【详解】对于A，没有空盒子，即将4个球在4个盒子上进行全排列，共有种方法，故A不正确； 对于B，有空盒子，因为有4个球，每个球有4种放法，再减去没有空盒的情况，共有种方法，故B不正确； 对于C，恰有1个空盒，即另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球， 先从4个盒中选1个作为空盒，再将4球中选出2球绑在一起，与另外两个球对余下的3个盒子全排列， 则共有种方法，故C正确； 对于D，没有空盒子恰有1个小球放入自己编号的盒子，则可从4盒4球中选定标号相同的球和盒有种方法， 另外3个球3个盒不能互相对应共2种方法，则共有种方法，故D不正确． 故选：ABD. 变式11-3．15个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子内，盒子内的小球数不小于编号数，则不同的放法有 种. 【答案】55 【分析】个数不小于盒子编号数，用填满分隔法． 【详解】由于小球是相同的，故先用6个小球按编号数“填满”各盒子（符合最低要求），再把9个小球放入3个盒子内即可． 可用2块挡板与9个球一起排列（即为两类元素的排列问题），可得． 故符合题意的不同放法有55种. 故答案为：55. 变式11-4．（多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【分析】先将5个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果验证A；确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果验证B；只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证C；问题等价于在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可，利用隔板法可求得结果验证D. 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 类型十二、错排问题 解题技巧： 封不同的信都装错了信封,问都装错信封的方法有多少种（即的错位数是多少）? ，其中 例12．有5封信和5个对应的信封，现在要将信全部装入信封，但要求每封信都不能装入对应的信封，问有多少种装法？ 【答案】44 【分析】设n封信满足题意的装法为，由题可得关于的递推式，然后结合可得答案. 【详解】设n封信满足题意的装法为，每封信为，对应信封为. 则，.当时，任选一封信，满足题意的装法有种，设其装入的信封为，则此时，的装法有两类. 若装入，为满足题意，则剩余封信的装法为，即此类装法总数为； 若不装入，则相当于对封信按照题意方式装入，有种方法. 综上可得：，. 则，， . 变式12-1．将4封不同信件放入4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的概率为 ． 【答案】 / 0 【分析】首先计算4封信的全排列，以及全错排的方法，按照古典概型，即可求解；最少2封信放错，按照不可能事件的概率求解. 【详解】将4封不同信件放入4个写好地址的信封中，任意放入的方法共有种，其中全装错的方法有种，因此全装错的概率为． 恰好只有一封信装错为不可能事件，概率为0． 故答案为：； 变式12-2．著名的“全错位排列”问题（也称“装错信封问题”是指“将n个不同的元素重新排成一行，每个元素都不在自己原来的位置上，求不同的排法总数．”，若将个不同元素全错位排列的总数记为，则数列满足，．已知有7名同学坐成一排，现让他们重新坐，恰有两位同学坐到自己原来的位置，则不同的坐法有 种 【答案】 【分析】根据数列递推公式求出项，再结合分步计数原理求解. 【详解】第一步，先选出两位同学位置不变，则有种， 第二步，剩下5名同学都不在原位，则有种， 由数列满足，， 则，， ， 则不同的做法有种. 故答案为：. 变式12-3．用A，B，C，…表示写着n位友人名字的信封，a，b，c，表示n份相应的写好的信纸．求每封信都装错信封的方法总数． 【答案】答案见解析 【分析】把错装的总数为记作．假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类,b装入A里以及装入A、B之外的一个信封，得出递推关系求出结果. 【详解】把错装的总数为记作．假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类： （1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有种错装法． （2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）份信纸b，c，装入（除B以外的）个信封A，C，…，显然这时装错的方法有种． 总之，在a装入B的错误之下，根据加法原理，共有种错装法． a装入C，装入D的种错误之下，同样都有种错装法， 根据乘法原理，n个不同元素的错排数递推公式为，且有，，，． 有了递推公式，很容易得到错排数的通项公式 ．② 类型十三、环排问题 解题技巧： 在圆排列数中： （1）个元素围成一圈其圆排列数为 （2）在个元素中，每次取出个不同的元素进行圆排列，圆排列数为． （3）当从个相异的元素中，每次取出颗串成一个圆环，因其正反相对的两个圆排列在串成一个圆环时完全相同，故圆环数为．对于较复杂的问题，可适当采用分步揷人、捆绑及利用种数公式处理 例13．10位男生10位女生．男女相间隔围成一圈，则其所有不同的排列数为        __________ 【答案】（ 【详解】 10位男生全排列：，10位女生全排列：. 因为是围成一圈，所以不分头尾，只需即可. 故答案为:. 变式13-1．5个女孩与6个男孩围成一圈，任意2个女孩中间至少站1个男孩，则不同排法有______种（填数字）． 【答案】86400 【分析】分三步，先将5个女孩圆排列，再把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组，最后把这5组放入已成圆排列的5个间隔即可得解. 【详解】因为任意2个女孩中间至少站1个男孩，则有且仅有2个男孩站在一起， 先把5个女孩排成一个圈，这是个圆形排列，因此排法共有(种)， 把6个男孩按2，1，1，1，1分成5组有种分法， 最后把5组男孩放入5个女孩构成圆排列的5个间隔中有种方法，而站在一起的两个男孩有顺序性，有2种站法，所以，由分步乘法计数原理得，不同的排法共有(种). 故答案为：86400 变式13-2．有5对夫妇和，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）． （1）若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？ （2）5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？ 【答案】（1）7680种；（2）1152种. 【分析】(1)将一对夫妇视为一组，，视为一组，先将6组人圆排列，再对每一组内的两人调整位置，然后用分步乘法计数原理计算即得； (2)先排甲、乙二人的太太及这两对夫妇，再排余下3对夫妇，最后用插空法排，，借助分步乘法计数原理计算即得. 【详解】（1）若5对夫妇都相邻，，相邻，可将每对夫妇划分为1组，，划分为1组，再将这6组人围坐成一圈，共有种坐法， 由于每一组内两人还有顺序问题，所以共有种坐法； （2）分成三步来完成第一步，排甲、乙二人的太太的座位，有2种坐法，甲、乙二人的座位也随之确定， 第二步，排其余3对夫妇的座位，有种坐法， 第三步，排，二人的座位，有种坐法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法 变式13-3．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（     ） A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 【答案】B 【分析】B、C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B、C可以交换，有种情况，其余三人坐剩余的三把椅子，有种情况，利用乘法计数原理可得结论. 【详解】首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子， 考虑B、C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换， 根据排列数的计算公式，得到，，接下来，考虑其余三人的情况， 其余位置可以互换，可得种，最后根据分步计数原理，得到种， 故选B. 变式13-4．21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为 A．19 B．38 C．51 D．57 【答案】D 【详解】 根据题意 21人报数21人次，其中有7人次报数为3，则此7人出列，剩下13人；13人报数15人次，其中有5人报数为3，则此5人出列，剩下8人；8人报数9人次，其中有3人报数为3，则此3人出列，剩下5人；5人报数6人次，其中有2人报数为3，则此2人出列，剩下3人；3人报数3人次，其中有1人次报数为3，则此1人出列，剩下2人；2人报数3人次，其中1人次报数为3，则此人出列,剩下1人．在这个过程中一共报数： 21+15+9+6+3+3=57人次．应选答案D． 点睛：解答本题的关键是充分借助题设条件中提供的操作程序，逐一求出报数的人数，再将其加起来求出其和就是21+15+9+6+3+3=57人次，从而使得问题获解．体现了思维的重要性和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力． 压轴专练 1.从这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有（    ） A．8个 B．54个 C．10个 D．60个 【答案】B 【分析】利用对立事件的性质与排列数的性质求解即可. 【详解】由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻， 则在中选数，共有符合，共个， 而从这五个数中任选三个数组成三位数，共有个， 可得符合题意的三位数共有个，故B正确. 故选：B 2.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排参加文艺汇演，最左端不能排甲和乙，最右端不能排乙，则不同的排法共有（   ） A．27种 B．36种 C．54种 D．72种 【答案】C 【分析】分类讨论甲是否排最右端，结合排列数组合数分析求解. 【详解】若最右端排甲，则最左端不能排乙，不同的排法共有种； 若最右端不排甲，则甲、乙不能排两端，不同的排法共有种； 所以不同的排法共有种. 故选：C. 3.甲、乙、丙等8人围成一圈就坐，已知甲、乙两人相邻，甲、丙两人不相邻，则不同的坐法共有（   ） A．1200种 B．1440种 C．7200种 D．9600种 【答案】A 【分析】先安排甲，再安排乙和丙，最后安排剩余的5人，结合排列知识进行求解. 【详解】因为环状排列没有首尾之分，8人围成一圈就坐没有首尾之分， 故可先固定甲位置，乙与甲相邻则有种坐法；丙与甲不相邻，则有种坐法， 余下5人有种坐法，故所求坐法为种， 故选：A. 4.为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 【答案】C 【分析】应用分步计数及排列数求不同的人员安排方案数. 【详解】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工，则有种， 再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染，则有种， 所以共有种. 故选：C 5.将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为（   ） A．72 B．84 C．96 D．108 【答案】B 【分析】利用先选后排的方法进行解题即可. 【详解】选个空盒：种， 分配个小球到个非空盒 情况一（分法）：种 情况二（分法）：种 总分配方法; 种， 总放法数：种 故选： 6.已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式，逐一验证各选项. 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B：，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误. 故选： 7.某路口有一个可以自动找零的饮料售货机，每罐饮料5元．某天由于工作人员的失误，售货机内没有预留找零的零钱．现有5个人（其中3人拿5元纸币，2人拿10元纸币）在这天的不同时刻去买一瓶饮料，则这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据拿10元纸币的人是否相邻分类讨论求解. 【详解】根据拿10元纸币的人是否相邻可分为两类： 第一类：拿10元纸币的2人不相邻，则先安排拿5元纸币的人共有种不同的排列； 拿10元纸币的2人只能排在除排头外的3个位置，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 第二类：拿10元纸币的2人相邻，看作一个元素，其内部排列有种不同排列； 先排拿5元纸币的3人有种不同的排列，则排列后从左往右形成4个空位， 再从3人排列后形成的最右边2个空位中选择一个排列相邻2人构成的元素，有种不同的排列， 即此时共有种不同的排列. 综上，这5个人都可以顺利买到饮料的排列顺序共个. 故选：D. 8.（多选）下列等式中，成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用排列数公式逐项计算、验证并判断作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，而，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， D正确. 故选：ACD 9.（多选）将名男生和名女生排成一排，下列说法中正确的是（    ） A．女生排在中间的排法有种 B．女生不在头尾的排法有种 C．女生不相邻的排法有种 D．女生甲在女生乙右边的排法有种 【答案】AC 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，首先排两个男生在头尾、其余人全排列即可判断B，利用插空法判断C，定序问题用倍缩法，即可判断D. 【详解】对于A：首先将名女生排在中间的三个位置，再将名男生排在其余四个位置， 则有种排法，故A正确； 对于B：首先排两个男生在头尾、其余人全排列，则有种排法，故B错误； 对于C：首先将名男生全排列，再将名女生插空排列，则有种排法，故C正确； 对于D：女生甲在女生乙右边属于定序问题，则有种排法，故D错误； 故选：AC 10.（多选）在高二元旦晚会上，有个演唱节目，个舞蹈节目．以下有关排列组合问题中正确的是（    ） A．有种不同的节目演出顺序 B．当个舞蹈节目接在一起时， 有种不同的节目演出顺序 C．当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，有种不同的演出顺序 D．若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗歌朗诵和快板个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有种不同的节目演出顺序 【答案】ACD 【分析】利用全排列判断A，利用捆绑法判断B，利用插空法判断C，首先考虑个节目全排列，再除以，即可判断D. 【详解】对于A：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，故A正确； 对于B：当个舞蹈节目接在一起时，把个舞蹈节目看成一个元素，与其他个节目全排列， 有种不同的节目演出顺序，而个舞蹈节目本身有种顺序， 所以共有种不同的节目演出顺序，故B错误； 对于C：把个演唱节目排列，有种顺序，再把个舞蹈节目插入到个空挡中，有种方法， 所以共有种不同的演出顺序，故C正确； 对于D：个节目全排列，有种不同的节目演出顺序，其中原来的个节目有种不同的节目演出顺序， 而现在原来的个节目顺序不变，只占其中一种，所以有种不同的节目演出顺序，故D正确， 故选：ACD． 11.从3个箱子（每个箱子里的球足够多）里选8个小球，每个箱子至少选2个小球，不同的选法有 种. 【答案】6 【分析】应用隔板法，将5个小球排成一排，用2块挡板插入四个空中的2个，即可得. 【详解】8个相同小球再减去3个小球共5个小球排成一排，用2块挡板去插入，有种. 然后再往每个箱子里放1个球，即每个箱子至少选2个小球，故不同的选法有6种． 故答案为：6 12.某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有 种排法（数字作答）. 【答案】 【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可. 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 13.由这九个正整数构成的所有圆排列中，任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为 . 【答案】21600 【分析】由所有的圆排列数，减去8，9或7，9这两对数相邻的圆排列数. 【详解】由这九个正整数构成的所有圆排列，有个， 任意相邻两数之积均不超过60，当且仅当该排列中8，9与7，9这两对数均不能相邻. 设满足8，9相邻的圆排列有个，满足7，9相邻的圆排列有个，满足8，9相邻且7，9相邻的圆排列有个， 则，， 从而由容斥原理，满足要求的排列的个数为. 故答案为：21600. 14.王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有 种. 【答案】144 【分析】根据分步计数乘法原理计算即可. 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 15.将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有 种．（用数字作答） 【答案】1080 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 16.证明，并利用这一结果化简： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解，； (2). 【分析】由可得，先证出 式子成立，进而求出前项的和即可； 根据证出式子成立，求出前项的和即可； 【详解】（1）解：证明：由可得， 则. 所以 （2）解：因为， 所以. 17.有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数. (1)选其中5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排一排，女生必须站在一起； (5)全体排一排，男生互不相邻； (6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人； (7)全体排一排，甲必须排在乙的前面； (8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端. 【详解】（1）从人中选人排列，有 （种）方法. （2）分两步完成，先选人站前排， 有种方法，余下人站后排，有种方法， 则共有（种）方法. （3）先排甲，有种方法，其余六人有种， 则共有（种）方法. （4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列， 有种方法，再将女生全排列，有种方法， 则共有（种）方法. （5）（插空法）：先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生， 有种方法，则共有（种）方法. （6）把甲乙及中间三人看作一个整体， 第一步先排甲乙两人有种方法， 再从剩下的人中选人排到中间，有种方法， 最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列， 有种，共有（种）方法. （7）（消序法）：（种）方法. （8）（间接法）：无限制排法有种， 其中甲或乙在最左端或在最右端有种， 是甲在最左端且乙在最右端的排法， 共有（种）方法. 18.4名男生和3名女生站成一排，分别有多少种不同的站法？ (1)3名女生不相邻. (2)男生甲不在排头，女生乙不在排尾. (3)甲、乙两人中间必须有2人. (4)甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变. 【答案】(1)1440 (2)3720 (3)960 (4)840 【分析】（1）先安排男生，再插空法求解，得到答案； （2）正难则反的方法，先全排列，再求出男生甲在排头，女生乙在排尾及两者同时发生的情况数，列式计算； （3）先确定甲乙两人可以站的位置有4种，再利用排列知识进行求解； （4）用定序倍缩法进行求解 【详解】（1）先安排男生，有种可能，再将3名女生插空，有种可能， 故3名女生不相邻的站法有种； （2）4名男生和3名女生站成一排，共有种情况， 其中男生甲在排头的情况有种情况，女生乙在排尾的情况有种情况， 男生甲在排头的同时，女生乙在排尾的情况有种情况， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的情况有种； （3）先将位置从左到右排号为1,2,3,4,5,6,7， 故甲乙两人可以站的位置有1,4或2,5或3,6或4,7，当然甲乙可以调换位置， 其余的人进行排列， 故甲、乙两人中间必须有2人的站法有种； （4）甲、乙、丙三人从左到右的顺序不变，可以用定序倍缩法进行求解， 即站法有种. 19.（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 20.（1）将四粒相同的白色珠子，六粒相同的红色珠子及一粒黑色珠子放在桌上，摆成一圈有几种摆法？ （2）若用线穿成珠圈又有几种不同的穿法？ 【答案】（1）210；（2）110 【详解】（1）若将四粒一样的白珠子，六粒一样的红珠子，一粒黑珠子摆成一排成线排列，则有种摆法．但是摆成一圈以后，上述的每11个线排列，对应于同一种圆排列，因此所求圆排列数有：种摆法． （2）若将黑珠子看成是固定的，其余十粒珠子所作成的排列数为：（*） 在（*）式所表示的排列数之中，将图8与图9这类情况均作为两种不同排列计算的，但这仅是同一种穿珠方法的正反面而已，因此对应于一种穿法．    但是，如图10所示的情况：珠子是以通过黑色珠子的直径而对称排列的，由于正，反两面完全相同，在式中，只计算了一次，这种排法的总数是． 由此可知，将四粒白珠子，六粒红珠子，一粒黑珠子用线穿成珠圈，共有： （种）穿法． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $