2.4 自由落体运动 课时2自由落体综合规律的应用（举一反三·讲义）物理人教版必修第一册

本讲义聚焦自由落体运动综合规律的应用，在学生掌握基本概念和公式基础上，通过滴水问题（含时间等差、位移比等规律）、杆过窗问题（强调杆不可视为质点及位移关系）、多过程问题（注重速度衔接与位移总和）三个模型构建学习支架，梳理解题关键。 资料以实际问题为载体，通过模型建构（如水滴“匀变速直线运动列”）培养科学思维，结合例题（屋檐滴水求时间间隔）和变式题提升科学推理能力。课中辅助教师系统教学，课后作业覆盖多样情境，助力学生巩固知识、查漏补缺。

· 2.4自由落体运动 · 课时2自由落体运动综合规律的应用 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在掌握了自由落体运动的基本概念和公式（，，）后，我们需要面对更具挑战性的实际问题。自由落体并非总是简单的“从静止下落”，它常常隐藏在水滴的间隙、横杆的通过或是复杂的多过程运动中。 一、滴水问题（水滴间的“追及与相遇”） 1.模型构建 屋檐下的水滴、工厂的漏油点，这些看似离散的水滴，在空中其实构成了一个“匀变速直线运动列”。通常假设水滴每隔相等的时间滴落一滴，且空气阻力忽略不计。 2.核心规律 (1)时间等差：各水滴下落的时间依次相差。 (2)位移比：从开始计时起，在任一时刻，各水滴离出发点的位移之比为（初速为零的匀加速直线运动的推论）。 (3)相邻水滴间距：随着时间推移，相邻两滴水之间的距离会越来越大（因为速度在增加）。 3.解题关键 (1)寻找时间间隔：通常利用已知水滴的落地时间或某一时刻的间距来求解。 (2)相对运动视角：由于所有水滴加速度相同（均为），它们之间的相对速度保持不变，相对运动是匀速的。 例题1、屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1m的窗户的上、下沿，如图所示（g=10m/s2）。求： （1）滴水的时间间隔； （2）屋檐离地面的高度； （3）第2滴水离地面的高度。 【答案】（1）0.2s；（2）；（3）1.4m 【详解】（1）设滴水的时间间隔为t，则第二滴下落的时间为t2=3t，第三滴下落的时间为t3=2t，则第2滴水与第3滴水的高度差为l 代入数据可得 t=0.2s （2）第1滴水下落时间为 t总=4t=4×0.28=0.8s 屋檐的高度为 （3）第2滴水下落的距离为 则第2滴水距地面的高度为 =H-h2=3.2m-1.8m=1.4m 变式1-1、如图所示是一小球做自由落体运动过程中某段时间内的频闪照片，得到小球在运动过程中4次曝光的位置。第1次曝光至第2曝光，小球下落；第3次曝光至第4曝光，小球下落。不计空气阻力，重力加速度取，根据图中的信息，求： （1）相邻两次曝光时间间隔； （2）小球在位置3的速度的大小； （3）小球下落的初始位置与位置4之间的距离。 【答案】（1）0.04s；（2）3.6m/s；（3）0.80m 【详解】（1）由题意有 得 （2）第1次曝光至第2曝光的中间时刻的速度为 小球在位置3的速度的大小 得 （3）小球下落到3点的时间为 所以小球下落到4点的时间为 小球下落的初始位置与位置4之间的距离 变式1-2、某物理实验小组想对某小区开展一次题为“拒绝高空抛物，守护他人安全”的公益宣传活动。同学们在搜集活动素材时，想到用一些信息，计算物体下落高度。为了简化问题，将抛出物体的运动均视为自由落体运动，重力加速度取。 (1)小红同学实验测得一颗小石子（实验环境安全）下落总时间为，求小石子下落的距离。 (2)小明同学发现一张照片中拍摄到一颗下落的小石子。如图所示，石子在照片上留下了一条运动径迹。已知每块砖的实际厚度取，径迹两端点、恰好都处于砖的中位线高度位置，该相机的曝光时间是。求小石子抛出点到地面的距离。 【答案】(1)80m (2)0.85m 【详解】（1）对小石子，由自由落体运动的位移关系，有 解得小石子下落的距离为 （2）设小石子在点速度为，由图可知 根据运动学公式可得 代入数据解得 可知点为自由落体运动初位置，由图可知小石子抛出点到地面的距离为 变式1-3、如图所示，悬挂的直杆AB长为L=15m，在其距其下端h=5m处，有一长为L′=15m的无底圆筒CD，若将悬线剪断，则： (1)直杆下端B穿过圆筒所用的时间是多少？ (2)直杆穿过圆筒所用的时间为多少？（g=10m/s2）（可保留根号） 【答案】(1)1s；(2) 【分析】直杆下端B穿过圆筒所用的时间为B到D时间减去B到C时间，根据自由落体运动的位移时间关系公式列式求解即可；整个直杆AB穿过圆筒的时间为A到D时间减去B到C时间，根据自由落体运动的位移时间关系公式列式求解即可。 【详解】(1)根据自由落体运动的位移时间关系公式得B到D时间为： B到C时间为： 直杆下端B穿过圆筒所用的时间为: 联立并代入数据解得： ； (2)根据自由落体运动的位移时间关系公式得A到D时间为： B到C时间为： 直杆穿过圆筒所用的时间为： 联立并代入数据解得： 。 【点睛】本题主要考查了自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，掌握自由落体运动的规律，灵活运用运动学公式求解。 二、杆过窗问题（有长度物体的“通过”问题） 1.模型构建 自由下落的杆（或链条）通过某一窗口、光电门或某一点。这类问题的关键在于：杆是有长度的，不能视为质点。 2.核心规律 (1)“通过”时间的定义：从杆的下端到达观察点（或窗口上沿）开始，到杆的上端离开观察点（或窗口下沿）结束。 (2)位移关系：杆完全通过某点（或某段距离）所经过的位移等于杆长加上观察点到杆初始位置的距离。 3.解题关键 (1)画图：必须画出“开始通过”和“刚好通过”两个状态的位置图。 (2)找位移：利用几何关系确定不同状态下的下落位移。 例题2、某同学利用数码照相机连拍功能研究运动物体的残影，拍摄过程中每次曝光以及曝光之间的时间间隔固定不变。实验者使一弹性小球从某砖墙前自由落下的同时开始连拍，观察到如图14所示的情景（图中1、2、3……是由于小球的运动而在照片上留下的模糊径迹）。测得每块砖的平均厚度为5cm，第3、9条径迹的长度分别为2.2cm和8.2cm，小球刚好在第9次曝光结束时与地面碰撞，从下落点到第9条径迹上端共有16层砖的厚度，整个过程不计空气阻力及碰撞时间。求：（g取10N/kg） （1）连拍过程中的单次曝光时间。 （2）相机每隔多长时间曝光一次。 （3）若小球每次与地面碰后速度反向，大小仅为碰前的一半，试计算第25次曝光开始后多久小球触地。 【答案】（1）0.02s；（2）0.05s；（3）0.0075s 【详解】（1）块砖的平均厚度为，下落点到第9条径迹上端时间 从下落点到第9条径迹下端时间 则单次曝光时间 （2）第3条径迹中间时刻速度 第9条径迹中间时刻速度 又 其中，则相机曝光的时间间隔 （3）第9次曝光结束时的触地后反弹速度 从此时开始，第n次反弹速度 从此时开始，到第n次反弹经历的总时间 又第9次曝光结束到第25次曝光开始经历时间为0.78s，即第25次曝光在第3次反弹到第4次反弹之间 或数列求和 则第25次曝光开始到小球触地 例题2-1、如图所示，竖直悬挂的细杆AB长为4.2m，杆的正下方有一深井，杆的B端离井口0.8m．若剪断悬绳让杆自由下落，重力加速度g=10m/s2，求： （1）杆的B端到达井口所用的时间是多少？ （2）杆通过井口的过程所用时间是多少？ 【答案】（1）0.4s（2）0.6s 【分析】根据“杆自由下落”可知，本题考查自由落体的运动的规律，根据匀变速直线运动的运动学公式，进行求解. 【详解】(1)绳断以后，杆AB将做自由落体运动，则： 杆的B端到达井口所用的时间t1=0.4s (2)杆的A端到达井口所用的时间为t2 解得:t2=1s 杆通过井口的过程所用时△t=t2-t1=0.6s 【点睛】本题考查简单的自由落体运动的应用，知道通过井口的过程指的是从杆B端到达井口到A端离开井口的过程，利用自由落体运动有关规律求解即可． 例题2-2、如图所示，竖直悬挂一根长15m的直杆，在杆的正下方距离杆下端5m观察点A 处有一内径大于杆的直径的圆环。求： (1)当杆做自由落体运动，直杆全部通过A处环所需的时间。 (2)当直杆开始自由下落的瞬间，将环以15m/s竖直向上抛出，求直杆全部通过环所需的时间。（g 取 10 m/s2，杆和环距离地面足够高，杆的一端进入到另一端离开为通过）。 【答案】（1）1s；（2）1s。 【详解】(1)用L代表杆的长度，h代表杆的正下方距A的距离，设杆的上端到达A点的时间为，则有 代入数据解得；设杆的下端到达A点的时间为，则有 代入数据解得；所以杆全部通过A点的时间为 (2)根据题意可知环在以杆为参考系做速度为15m/s的匀速运动，则通过杆的时间为 答：(1)当杆做自由落体运动，直杆全部通过A处环所需的时间为1s。 (2)当直杆开始自由下落的瞬间，将环以15m/s竖直向上抛出，直杆全部通过环所需的时间为1s。 例题2-3、如图所示，姐妹两人在玩“眼疾手快”游戏，游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知棒长，支架挂好后，棒的上端到姐姐手的距离为。不计空气阻力，重力加速度取。求： （1）姐姐的手恰好抓到某棒的上端，该棒下落的时间是多少； （2）若某棒下端落地前内，通过的距离为，支架顶部到地面的距离是多少。 【答案】（1）0.5s；（2）2.0m 【详解】（1）根据 可得 （2）棒自由下落过程用时，则 棒的下端到地面的距离 支架顶部到地面的距离是 三、自由落体多过程问题（分段运动的衔接） 1.模型构建 物体的运动不是单一的自由落体，而是包含自由下落匀速匀减速等不同阶段的组合。例如：跳伞运动员先自由落体，后匀速下落，最后匀减速落地。 2.核心规律 (1)速度是桥梁：前一阶段的末速度是后一阶段的初速度。 (2)位移是总和：总位移（或总高度）等于各阶段位移之和。 3.解题关键 (1)分段法：将复杂运动拆解为简单的匀变速直线运动。 (2)临界条件：注意题目中的“刚好”、“最大”、“最小”等关键词，通常对应速度为零或两物体速度相等。 例题3、小明利用无人机拍摄学校运动会的鸟瞰视频，最后因操作不当，无人机从某一高度由静止开始做自由落体运动，距地面时速度为，接下来以速度开始匀速降落，在距地面时，开始匀减速降落直至到达地面速度为0，求： (1)无人机下落的高度为多少； (2)无人机匀减速阶段的加速度大小； (3)无人机从高度处落到地面所用的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）无人机做自由落体运动下落的高度为 无人机下落的高度为 （2）无人机匀减速阶段的加速度大小 （3）无人机匀加速阶段的时间为 无人机匀速阶段的时间为 无人机匀减速阶段的时间为 无人机从高度处落到地面所用的时间 例题3-1、小明利用无人机拍摄学校运动会的鸟瞰视频，无人机始终竖直向下拍摄且其视张角为74°（如图乙），无人机由静止开始竖直向上做匀加速运动。 经过 2s后又匀速上升2.5s，最后再匀减速3s，直至悬停在 20m高度的空中，接着以 加速度水平加速3s后匀速飞行2s，再经 3s减速到0，此时一次拍摄结束，最后因操作不当，无人机开始做自由落体运动，为了无人机的安全，适当时机调整为以大小为 的加速度匀减速下降，要求无人机落地速度最大不得超过 （取 ）求： （1） 无人机匀加速的加速度大小； （2） 无人机在空中下落最短时间； （3） 一次全过程拍摄的最大面积。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设无人机在上升过程中的加速度大小为。加速过程用时，上升高度 末速度 匀速过程，上升高度 匀减速过程，上升高度 根据题意 联立解得 （2）设无人机在空中自由下落时间为，以大小为 的加速度匀减速下降时间为，当落地速度恰为时，在空中运动时间最短，则有 联立解得 ， 故无人机在空中下落最短时间 （3）根据题意分析可知，一次全过程拍摄的面积为两个半圆和一个矩形的面积。 根据乙图可得视野半径 则直径 矩形边长为水平方向加速、匀速和减速的总位移，即 则矩形面积为 两个半圆的总面积为 能拍摄的最大面积为 例题3-2、如图所示，某同学探究自由落体运动规律时，从离地面高度的二楼阳台边缘某处由静止释放一个弹性小球，小球下落过程中经过一楼窗户，窗户上沿离地面高度。小球落到地面时的速度大小为，之后以的速度竖直向上弹起。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球落地速度的大小； (2)小球自弹起后到向上经过窗户上沿所用的时间。 【答案】(1)10m/s (2)0.6s 【详解】（1）根据速度与位移的关系有 解得 （2）设小球自弹起到经过窗户上沿所用时间为，根据位移公式有 解得时间为0.6s或者1s，根据竖直上抛运动的对称性可知，1s时速度方向向下，则小球自弹起后到向上经过窗户上沿所用的时间 例题3-3、某跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，后打开降落伞，伞张开后做匀减速运动，再经过到达地面时的速度大小为．重力加速度取，求： （1）伞张开前瞬间，运动员的速度大小； （2）伞张开后，运动员的加速度大小； （3）运动员离开飞机时距离地面的高度。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由自由落体有 解得伞张开前瞬间，运动员的速度大小为 （2）伞张开后运动员做匀减速运动，有 解得 （3）运动员做自由落体运动的位移为 运动员做匀减速运动的位移为 解得 故运动员离开飞机时距离地面的高度为 模块三 课后作业 1．如图，A、B两个质量不同的小球从同一地点的不同高度处做自由落体运动，结果同时到达地面，下面有关两球运动情况的描述中合理的是（    ） A．若mA＞mB，则两球可能同时开始释放 B．若mA＞mB，则B球可能比A球先释放 C．若mA＜mB，则两球落地时速度大小可能相等 D．不管两球质量关系怎样，A球一定比B球先释放 【答案】D 【详解】两球均做自由落体运动，则下落的加速度与质量无关，均为g，根据可知A球在空中下落时间较长，两球同时落地时，A球一定比B球先释放； A．若mA＞mB，则两球可能同时开始释放，与结论不相符，选项A错误； B．若mA＞mB，则B球可能比A球先释放，与结论不相符，选项B错误； C．若mA＜mB，则两球落地时速度大小可能相等，与结论不相符，选项C错误； D．不管两球质量关系怎样，A球一定比B球先释放，与结论相符，选项D正确； 故选D。 2．两个小球从两个不同高度处自由下落，结果同时到达地面，如图所示四幅图中，能正确表示它们的运动的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，两个小球都做自由落体运动，则速度都是从零开始一直变大，两个小球从不同高度下落，则两个小球位移不同，图像与坐标轴围成面积不相等，且面积较大的先运动，落地时速度较大。 故选C。 3．如图，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在四楼先将小球A释放，当下落距离为h时，乙同学在三楼将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地，小球A、B不在同一条竖直线上，每层楼高度相等，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　） A．小球A经过每层楼的时间之比为1︰3︰5 B．甲同学释放点离地高度为 C．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，两小球仍能同时落地 D．B落地过程中，与A的速度差越来越大 【答案】B 【详解】A．小球A做自由落体运动，初速度为0，有，， 可得经过相等位移的时间比为，故A错误； B．设小球A下落h所用时间为，有 小球A下落的总时间为 下落的总高度为，故B正确； C．由于题目中实验时两球同时落地，但A球运动时间长，根据可知，落地时，A球速度大，若两位同学均各上一层楼重做以上实验，假设两位同学不动，相当于地面下降了一层楼，两球同时到达原来的地面位置且A球速度大，可判断出A球先落地，故C错误； D．设小球B释放时，小球A的速度为，可知设小球B的速度为 小球A的速度为 可知小球B与A的速度差保持不变，故D错误。 故选B。 4．小球从靠近竖直砖墙的某位置由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。由此可知小球（　　） A．下落过程中的加速度大小约为 B．经过位置3时的瞬时速度大小约为2gT C．经过位置4时的瞬时速度大小约为 D．从位置1到4过程中的平均速度大小约为 【答案】C 【详解】A．根据 得下落过程中的加速度 故A错误； B．经过位置3的瞬时速度等于2、4段的平均速度，则 故B错误； C．根据速度时间公式得，通过位置4的瞬时速度 故C正确； D．从位置1到4过程中的平均速度大小 故D错误。 故选C。 5．一颗苹果从4.5m高处的树上坠落，树下恰好有人用双手将苹果接住，人手接到苹果时离地面1.5m，接住苹果后向下做匀减速直线运动，苹果离地1m时速度恰好减为零。假设苹果可视为质点，不考虑手接苹果瞬间苹果速度的变化，不计空气阻力，重力加速度g取，则苹果向下做匀减速运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知苹果下落的运动可分为两个阶段，先是自由落体运动，下落高度为3m，然后减速了0.5m，根据运动学公式得，下落阶段有 设减速阶段的加速度大小为，减速阶段有 苹果向下做匀减速运动的加速度大小为 故选A。 6．一矿井深125m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底（g=10 m/s2），则（  ） A．第1个小球落至井底时的速度为30m/s B．第1个小球落至井底时的速度为25m/s C．相邻两个小球下落的时间间隔是0.5s D．第9个小球和第7个小球之间的距离为25m 【答案】C 【详解】AB．根据自由落体运动的规律，有 故AB错误； C．根据自由落体运动的规律，第1个小球自由下落的时间为 设每隔Δt时间自由下落一个小球，根据题意，第1个小球刚落至井底的瞬间，第11个小球刚好在井口，因此第1个小球下落了10个Δt，故 故C正确； D．第9个小球下落的高度为 第7个小球下落的高度为 故第9个小球和第7个小球之间的距离为15 m，故D错误。 故选C。 7．一根细杆上端悬于天花板上的A点，现让它自由下落，已知整个细杆通过悬点A下方3.2m处的小孔C所需的时间为0.2s，，则该细杆的长度为（　　）    A．1.4m B．1.8m C．2.0m D．2.4m 【答案】A 【详解】杆从下落到小孔C所有时间为t1，经历位移为 h1=3.2m-L 则有 从下落到杆全部离开小孔C所用时间为t2，有 又 联立解得 故选A。 8．如图所示，一滴雨滴从离地面45m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用的时间通过一个窗口，窗口的高度为1m，g取，不计空气阻力。则（　　） A．雨滴落地的速度大小为30m/s B．雨滴经过窗口中间位置的速度为 C．雨滴落地前最后1s内的位移等于25m D．屋檐离窗的下边框的距离等于1.8m 【答案】ABCD 【详解】A．根据 得雨滴落地的速度大小为 A正确； B．设雨滴到达窗口上断端的时间为t，则 得 则雨滴到达窗口上端和下端的速度分别为 ， 雨滴经过窗口中间位置的速度为 B正确； C．利用逆向思维，雨滴落地前最后1s内的位移等于 C正确； D．屋檐离窗的下边框的距离等于 D正确。 故选ABCD。 9．如图所示，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在三、四楼交接处先将小球A释放，当下落距离为时，乙同学在二、三楼交接处将小球B释放，小球B释放时间后，两球恰好同时落地。小球A、B不在同一条竖直线上，每层楼高度相等，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法中正确的是（    ） A．小球A经过每层楼的时间之比为 B．甲同学释放点离地高度为 C．在下落的过程中，A、B间高度差随时间均匀变化 D．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，需要增大，两小球才能同时落地 【答案】BC 【详解】A．小球A做自由落体运动，初速度为0，根据可知，经过相等位移的时间比为，故A错误； B．设小球A下落h所用时间为，有 解得 小球A下落的总时间为 下落的总高度为，故B正确； C．在下落的过程中，A、B相对加速度为0，小球B释放时A球相对B球的速度恒定，距离为，因此二者相对距离可表示为，可知A、B间高度差随时间均匀变化，故C正确； D．设每层楼高度为l，则有 若二人再各上升一层楼做同样实验，有 根据数学知识可知 应减小，两小球才能同时落地，故D错误。 故选BC。 10．某同学从塔顶每隔0.5s由静止释放一个小球，第一个小球经3s到达地面，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．第5个小球落地时的速度大小为30m/s B．第1个小球落地时，第3个与第4个小球间距为6m C．第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球速度大小之比为5：2：1 D．第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球已下落的位移大小之比为25：9：1 【答案】AD 【详解】A．第5个小球由静止释放，经3s到达地面，则落地时的速度为 A正确； B．第1个小球落地时，第3个小球和第4个小球下落时间分别为2s、1.5s，则此时两球之间的距离为 B错误； CD．第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球下落时间之比为 由自由落体运动规律 可得，第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球速度大小之比为5：3：1； 由自由落体运动规律 可得，第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球已下落的位移大小之比为25：9：1，C错误，D正确； 故选AD。 11．如图所示，A、B两小球用等长的细线悬挂在倾角为30°的直杆上。现同时剪断细线，A球比B球晚落地0.2s。B球与地面的高度差（不计空气阻力，g取）。求A球与地面的高度差及A、B两小球释放前相距多远。 【答案】7.2m，4.4m 【详解】B落地的时间为，根据自由落体运动规律可得 解得 则A落地的时间为 则A球与地面的高度差为 A、B两小球释放前的高度差为 杆的倾角为，A、B两小球释放前相距 12．图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L=3.25m不可伸长的轻绳连接，从比萨斜塔上距地面高为H（未知）的A点将悬吊Q球的P球由静止释放。若P、Q两球落地的时间差Δt=0.ls，已知g=10m/s2，忽略空气阻力，两球均可看成质点，且落地后不反弹，求： (1)Q球在空中运动的时间t； (2)Q球在下落过程中的平均速度。 【答案】(1)3.2s (2)16m/s，方向竖直向下 【详解】（1）由静止释放两球后，均做自由落体运动，则有 解得H=54.45m，t=3.2s （2）Q球从释放到刚落地的过程中的平均速度大小 解得 方向竖直向下。 13．某跳伞运动员进行低空跳伞训练。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，当离地面时打开降落伞做加速度大小为的匀减速运动，速度减为后做匀速运动，随后经过落地。取。求： (1)运动员打开降落伞时的速度是多少？ (2)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？ (3)运动员离开飞机后，经过多长时间才能到达地面？ 【答案】(1) (2)473m (3) 【详解】（1）匀速下落的高度 匀减速下落的高度 由 代入数据解得 （2）运动员自由落体下落的高度 故运动员离开飞机时距地面的高度 （3）自由落体的时间 匀减速下落的时间 总时间 第10页，共24页 第19页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2.4自由落体运动 · 课时2自由落体运动综合规律的应用 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 在掌握了自由落体运动的基本概念和公式（，，）后，我们需要面对更具挑战性的实际问题。自由落体并非总是简单的“从静止下落”，它常常隐藏在水滴的间隙、横杆的通过或是复杂的多过程运动中。 一、滴水问题（水滴间的“追及与相遇”） 1.模型构建 屋檐下的水滴、工厂的漏油点，这些看似离散的水滴，在空中其实构成了一个“匀变速直线运动列”。通常假设水滴每隔相等的时间滴落一滴，且空气阻力忽略不计。 2.核心规律 (1)时间等差：各水滴下落的时间依次相差。 (2)位移比：从开始计时起，在任一时刻，各水滴离出发点的位移之比为（初速为零的匀加速直线运动的推论）。 (3)相邻水滴间距：随着时间推移，相邻两滴水之间的距离会越来越大（因为速度在增加）。 3.解题关键 (1)寻找时间间隔：通常利用已知水滴的落地时间或某一时刻的间距来求解。 (2)相对运动视角：由于所有水滴加速度相同（均为），它们之间的相对速度保持不变，相对运动是匀速的。 例题1、屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好到达地面，而第3滴与第2滴分别位于高为1m的窗户的上、下沿，如图所示（g=10m/s2）。求： （1）滴水的时间间隔； （2）屋檐离地面的高度； （3）第2滴水离地面的高度。 变式1-1、如图所示是一小球做自由落体运动过程中某段时间内的频闪照片，得到小球在运动过程中4次曝光的位置。第1次曝光至第2曝光，小球下落；第3次曝光至第4曝光，小球下落。不计空气阻力，重力加速度取，根据图中的信息，求： （1）相邻两次曝光时间间隔； （2）小球在位置3的速度的大小； （3）小球下落的初始位置与位置4之间的距离。 小球在位置3的速度的大小 小球下落的初始位置与位置4之间的距离 变式1-2、某物理实验小组想对某小区开展一次题为“拒绝高空抛物，守护他人安全”的公益宣传活动。同学们在搜集活动素材时，想到用一些信息，计算物体下落高度。为了简化问题，将抛出物体的运动均视为自由落体运动，重力加速度取。 (1)小红同学实验测得一颗小石子（实验环境安全）下落总时间为，求小石子下落的距离。 (2)小明同学发现一张照片中拍摄到一颗下落的小石子。如图所示，石子在照片上留下了一条运动径迹。已知每块砖的实际厚度取，径迹两端点、恰好都处于砖的中位线高度位置，该相机的曝光时间是。求小石子抛出点到地面的距离。 变式1-3、如图所示，悬挂的直杆AB长为L=15m，在其距其下端h=5m处，有一长为L′=15m的无底圆筒CD，若将悬线剪断，则： (1)直杆下端B穿过圆筒所用的时间是多少？ (2)直杆穿过圆筒所用的时间为多少？（g=10m/s2）（可保留根号） 二、杆过窗问题（有长度物体的“通过”问题） 1.模型构建 自由下落的杆（或链条）通过某一窗口、光电门或某一点。这类问题的关键在于：杆是有长度的，不能视为质点。 2.核心规律 (1)“通过”时间的定义：从杆的下端到达观察点（或窗口上沿）开始，到杆的上端离开观察点（或窗口下沿）结束。 (2)位移关系：杆完全通过某点（或某段距离）所经过的位移等于杆长加上观察点到杆初始位置的距离。 3.解题关键 (1)画图：必须画出“开始通过”和“刚好通过”两个状态的位置图。 (2)找位移：利用几何关系确定不同状态下的下落位移。 例题2、某同学利用数码照相机连拍功能研究运动物体的残影，拍摄过程中每次曝光以及曝光之间的时间间隔固定不变。实验者使一弹性小球从某砖墙前自由落下的同时开始连拍，观察到如图14所示的情景（图中1、2、3……是由于小球的运动而在照片上留下的模糊径迹）。测得每块砖的平均厚度为5cm，第3、9条径迹的长度分别为2.2cm和8.2cm，小球刚好在第9次曝光结束时与地面碰撞，从下落点到第9条径迹上端共有16层砖的厚度，整个过程不计空气阻力及碰撞时间。求：（g取10N/kg） （1）连拍过程中的单次曝光时间。 （2）相机每隔多长时间曝光一次。 （3）若小球每次与地面碰后速度反向，大小仅为碰前的一半，试计算第25次曝光开始后多久小球触地。 例题2-1、如图所示，竖直悬挂的细杆AB长为4.2m，杆的正下方有一深井，杆的B端离井口0.8m．若剪断悬绳让杆自由下落，重力加速度g=10m/s2，求： （1）杆的B端到达井口所用的时间是多少？ （2）杆通过井口的过程所用时间是多少？ 例题2-2、如图所示，竖直悬挂一根长15m的直杆，在杆的正下方距离杆下端5m观察点A 处有一内径大于杆的直径的圆环。求： (1)当杆做自由落体运动，直杆全部通过A处环所需的时间。 (2)当直杆开始自由下落的瞬间，将环以15m/s竖直向上抛出，求直杆全部通过环所需的时间。（g 取 10 m/s2，杆和环距离地面足够高，杆的一端进入到另一端离开为通过）。 例题2-3、如图所示，姐妹两人在玩“眼疾手快”游戏，游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知棒长，支架挂好后，棒的上端到姐姐手的距离为。不计空气阻力，重力加速度取。求： （1）姐姐的手恰好抓到某棒的上端，该棒下落的时间是多少； （2）若某棒下端落地前内，通过的距离为，支架顶部到地面的距离是多少。 三、自由落体多过程问题（分段运动的衔接） 1.模型构建 物体的运动不是单一的自由落体，而是包含自由下落匀速匀减速等不同阶段的组合。例如：跳伞运动员先自由落体，后匀速下落，最后匀减速落地。 2.核心规律 (1)速度是桥梁：前一阶段的末速度是后一阶段的初速度。 (2)位移是总和：总位移（或总高度）等于各阶段位移之和。 3.解题关键 (1)分段法：将复杂运动拆解为简单的匀变速直线运动。 (2)临界条件：注意题目中的“刚好”、“最大”、“最小”等关键词，通常对应速度为零或两物体速度相等。 例题3、小明利用无人机拍摄学校运动会的鸟瞰视频，最后因操作不当，无人机从某一高度由静止开始做自由落体运动，距地面时速度为，接下来以速度开始匀速降落，在距地面时，开始匀减速降落直至到达地面速度为0，求： (1)无人机下落的高度为多少； (2)无人机匀减速阶段的加速度大小； (3)无人机从高度处落到地面所用的时间。 例题3-1、小明利用无人机拍摄学校运动会的鸟瞰视频，无人机始终竖直向下拍摄且其视张角为74°（如图乙），无人机由静止开始竖直向上做匀加速运动。 经过 2s后又匀速上升2.5s，最后再匀减速3s，直至悬停在 20m高度的空中，接着以 加速度水平加速3s后匀速飞行2s，再经 3s减速到0，此时一次拍摄结束，最后因操作不当，无人机开始做自由落体运动，为了无人机的安全，适当时机调整为以大小为 的加速度匀减速下降，要求无人机落地速度最大不得超过 （取 ）求： （1） 无人机匀加速的加速度大小； （2） 无人机在空中下落最短时间； （3） 一次全过程拍摄的最大面积。 例题3-2、如图所示，某同学探究自由落体运动规律时，从离地面高度的二楼阳台边缘某处由静止释放一个弹性小球，小球下落过程中经过一楼窗户，窗户上沿离地面高度。小球落到地面时的速度大小为，之后以的速度竖直向上弹起。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球落地速度的大小； (2)小球自弹起后到向上经过窗户上沿所用的时间。 例题3-3、某跳伞运动员做低空跳伞表演，他离开飞机后先做自由落体运动，后打开降落伞，伞张开后做匀减速运动，再经过到达地面时的速度大小为．重力加速度取，求： （1）伞张开前瞬间，运动员的速度大小； （2）伞张开后，运动员的加速度大小； （3）运动员离开飞机时距离地面的高度。 模块三 课后作业 1．如图，A、B两个质量不同的小球从同一地点的不同高度处做自由落体运动，结果同时到达地面，下面有关两球运动情况的描述中合理的是（    ） A．若mA＞mB，则两球可能同时开始释放 B．若mA＞mB，则B球可能比A球先释放 C．若mA＜mB，则两球落地时速度大小可能相等 D．不管两球质量关系怎样，A球一定比B球先释放 2．两个小球从两个不同高度处自由下落，结果同时到达地面，如图所示四幅图中，能正确表示它们的运动的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在四楼先将小球A释放，当下落距离为h时，乙同学在三楼将小球B释放，小球B释放时间t后，两球恰好同时落地，小球A、B不在同一条竖直线上，每层楼高度相等，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　） A．小球A经过每层楼的时间之比为1︰3︰5 B．甲同学释放点离地高度为 C．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，两小球仍能同时落地 D．B落地过程中，与A的速度差越来越大 4．小球从靠近竖直砖墙的某位置由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d。由此可知小球（　　） A．下落过程中的加速度大小约为 B．经过位置3时的瞬时速度大小约为2gT C．经过位置4时的瞬时速度大小约为 D．从位置1到4过程中的平均速度大小约为 5．一颗苹果从4.5m高处的树上坠落，树下恰好有人用双手将苹果接住，人手接到苹果时离地面1.5m，接住苹果后向下做匀减速直线运动，苹果离地1m时速度恰好减为零。假设苹果可视为质点，不考虑手接苹果瞬间苹果速度的变化，不计空气阻力，重力加速度g取，则苹果向下做匀减速运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 6．一矿井深125m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底（g=10 m/s2），则（  ） A．第1个小球落至井底时的速度为30m/s B．第1个小球落至井底时的速度为25m/s C．相邻两个小球下落的时间间隔是0.5s D．第9个小球和第7个小球之间的距离为25m 7．一根细杆上端悬于天花板上的A点，现让它自由下落，已知整个细杆通过悬点A下方3.2m处的小孔C所需的时间为0.2s，，则该细杆的长度为（　　）    A．1.4m B．1.8m C．2.0m D．2.4m 8．如图所示，一滴雨滴从离地面45m高的楼房屋檐自由下落，下落途中用的时间通过一个窗口，窗口的高度为1m，g取，不计空气阻力。则（　　） A．雨滴落地的速度大小为30m/s B．雨滴经过窗口中间位置的速度为 C．雨滴落地前最后1s内的位移等于25m D．屋檐离窗的下边框的距离等于1.8m 9．如图所示，两位同学在教学楼上做自由落体实验，甲同学在三、四楼交接处先将小球A释放，当下落距离为时，乙同学在二、三楼交接处将小球B释放，小球B释放时间后，两球恰好同时落地。小球A、B不在同一条竖直线上，每层楼高度相等，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法中正确的是（    ） A．小球A经过每层楼的时间之比为 B．甲同学释放点离地高度为 C．在下落的过程中，A、B间高度差随时间均匀变化 D．若两位同学均各上一层楼重做以上实验，需要增大，两小球才能同时落地 10．某同学从塔顶每隔0.5s由静止释放一个小球，第一个小球经3s到达地面，不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．第5个小球落地时的速度大小为30m/s B．第1个小球落地时，第3个与第4个小球间距为6m C．第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球速度大小之比为5：2：1 D．第1个小球落地时，第2个、第4个和第6个小球已下落的位移大小之比为25：9：1 11．如图所示，A、B两小球用等长的细线悬挂在倾角为30°的直杆上。现同时剪断细线，A球比B球晚落地0.2s。B球与地面的高度差（不计空气阻力，g取）。求A球与地面的高度差及A、B两小球释放前相距多远。 12．图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L=3.25m不可伸长的轻绳连接，从比萨斜塔上距地面高为H（未知）的A点将悬吊Q球的P球由静止释放。若P、Q两球落地的时间差Δt=0.ls，已知g=10m/s2，忽略空气阻力，两球均可看成质点，且落地后不反弹，求： (1)Q球在空中运动的时间t； (2)Q球在下落过程中的平均速度。 13．某跳伞运动员进行低空跳伞训练。他离开悬停的飞机后先做自由落体运动，当离地面时打开降落伞做加速度大小为的匀减速运动，速度减为后做匀速运动，随后经过落地。取。求： (1)运动员打开降落伞时的速度是多少？ (2)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？ (3)运动员离开飞机后，经过多长时间才能到达地面？ 第10页，共24页 第19页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $