2.4自由落体运动 课时5追及相遇问题（举一反三·讲义）物理人教版必修第一册

本讲义聚焦“追及相遇问题”核心知识点，基于匀变速直线运动位移与时间关系，通过知识框架图辅助梳理，结合情景导入、两类追及问题（一定能追上与不一定能追上）的定义特征、解题关键及例题变式，构建递进式学习支架。 资料以警车追逃逸车等情景导入激发兴趣，通过判别式法分析临界条件、v-t图像应用等例题变式，培养模型建构与科学推理的科学思维，融入交通安全等实际问题强化科学态度与责任。课中助力教师系统教学，课后便于学生巩固查漏。

· 2.3匀变速直线运动位移与时间的关系 · 课时5追及相遇问题 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 想象一下，在笔直的平直公路上，一辆汽车（警车）正在追赶前方的另一辆车（逃逸车）。作为交通指挥中心的分析师，你需要判断警车是否能在前方路口追上逃逸车？如果能，何时何地追上？如果不能，两车之间的最小距离是多少？这类涉及两个或多个物体在同一直线上运动并涉及位置关系的问题，就是我们要研究的“追及与相遇问题”。 知识点一：一定能追上的追及问题 1.定义与特征：当追赶物体的速度（）始终大于被追赶物体的速度（），或者追赶物体做加速运动而被追赶物体做匀速或减速运动时，追赶物体最终一定能追上被追赶物体。 2.相遇条件：两物体在同一时刻到达同一位置。即：。 (1)若两物体从同一地点出发，则位移相等（）。 (2)若两物体从不同地点出发（相距），则追赶者的位移等于被追赶者的位移加上初始距离（）。 3.解题关键：利用位移关系列方程求解时间，进而求解位置或速度。 例题1、A车在直线公路上以20m/s的速度匀速行驶，因大雾天气能见度低，当司机发现正前方有一辆静止的B车时，两车的距离为84m，A车司机立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2，（两车均为质点）．求： （1）通过计算判定两车能否相撞？若能，求A车从刹车到撞上B车的时间（假设B车一直静止）； （2）为了避免碰撞，A车在刹车时，如果向B车发出信号，B车收到信号经∆t=2.0s的反应时间才开始匀加速向前运动．B车加速度a2至少为多大才能避免事故．（这段公路很窄，无法靠边避让） 【答案】（1）相撞，6s  ；（2） 【详解】（1）设A车从刹车到停止的位移为x由 解得 故A车要撞上B车 设A车撞上B车的时间为t由 即 解得 或 (舍去) （2）设B车运动t1时，两车的速度相等，即 可得 两车不碰撞的条件是两车的位移满足 即 解得 即B车加速度a2至少为才能避免事故 变式1-1、一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度开始行驶，恰在这时一人骑自行车以的速度匀速驶过，从后面超过汽车。 (1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小； (2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？ (3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。 【答案】(1)追上时间为4s，汽车速度为12m/s (2)两者距离先增大后减小；当汽车速度等于自行车速度时，距离最大 (3)最大距离为6m 【详解】（1）设追上自行车的时间为t，则有 可解得 此时汽车的速度为 （2）在汽车追上自行车之前，汽车的速度先小于自行车，再大于自行车的速度，所以二者之间的距离先增大后减小，当汽车与自行车的速度大小相等时，二者的距离最大。 （3）设经过时间汽车与自行车共速，有 解得 此时自行车的位移为 汽车的位移为 二者之间的最大距离为 变式1-2、汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从此刻开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？ (2)经过多长时间A恰好追上B？ 【答案】(1)16米；(2)8秒 【详解】(1)设经过时间t1两车相距最远 解得 两车间的最远距离是 (2)刹车时间为 设经过时间t2两车相遇 解得 变式1-3、汽车因故障而在马路边停车时，应在车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面的驾车司机。某天有雾，一车因故停边，同车道上的一辆小轿车以72km/h的速度向前驶来，由于视线受限，驾驶员只能看清前方50m的物体，且他的反应时间为0.5s，当驾驶员以最大的加速度刹车时，恰好停在了警示牌前面。求： （1）小轿车刹车后的最大加速度大小； （2）喝酒后，人的反应时间会显著延长。在本题的条件下，设酒驾司机的反应时间变为2.5s，要使两辆车不至于相撞，警示牌距离故障车至少多远？ 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）轿车刹车前的速度为 反应时间内车辆匀速前进，位移为 刹车后汽车做匀减速运动，位移为 根据运动学公式可得 解得小轿车刹车后的最大加速度大小为 （2）分析知，喝酒前后汽车匀速运动的位移差值为 将 代入得 则警示牌距离故障车至少为。 知识点二：不一定能追上的追及问题 1.定义与特征：当追赶物体的速度（）小于或等于被追赶物体的速度（）时，追赶物体不一定能追上。例如匀速追匀加速，或减速追匀速等。 2.临界条件（判别式法）： (1)恰能追上：方程有唯一解（通常指速度相等时，距离为0）。 (2)不能追上：方程无解（即追赶者与被追赶者速度相等时，仍有距离）。 (3)临界状态：两物体速度相等（）的时刻，往往是两车距离最近（或最远）的时刻，也是能否追上的分界点。 3.解题策略：先假设经过时间追上，列位移方程。利用一元二次方程的判别式判断是否有解。 例题2、在平直的公路上，一辆以30m/s的速度匀速行驶的小汽车A，小汽车的司机发现前方110m处一大客车B正以10m/s的速度匀速行驶，为避免撞车，小汽车司机立即刹车，小汽车从此刻开始以大小为的加速度做匀减速直线运动。问： (1)判断小汽车A能不能追上大客车B？若能追上，求何时追上？若不能追上，则求两车间的最近距离是多少？ (2)经过多长时间小汽车A停止，此时两车相距多远？ 【答案】(1)不能追上，最近距离为10m。 (2)小汽车A经15s停止，此时两车相距35m。 【详解】（1）设经过时间两车的速度相等，根据匀变速直线运动规律则有 代入数据解得 此过程A车的位移 B车的位移 由于，故小汽车A追不上大客车B，二者的最近距离 （2）设小汽车A停止的时间为，则有 从刹车到停止，A车的总位移 B车的总位移 此时两车相距 变式2-1、如图所示，在一条平直的公路上，甲车以速度匀速前进，与此同时，乙车甲车后方处从静止开始以做匀加速直线运动，行驶后又立即匀减速前进，加速和减速阶段的加速度大小都是。甲、乙两小车都可视作质点，求： （1）乙车运动过程中，与甲车的最大距离； （2）乙车能否追上甲车，若能追上，何时追上？若不能追上，两车之间的最小距离是多少？ 【答案】（1）44m；（2）不能，26m 【详解】（1）乙车加速阶段，乙车速度和甲车速度相等时，两车距离最大，有 解得 内甲车的位移 乙车的位移 则最大距离为 （2）乙车的最大速度 若乙车速度减小到和甲车速度相等时都无法追上甲车，就不可能追上甲车了，有 解得 甲车加速阶段的时间 甲车的位移 乙车的位移 由于 所以乙车没有追上甲车，最小距离为 变式2-2、甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图象如图所示．已知两车在t=3 s时并排行驶，则   A．在t=1 s时，甲车在乙车后 B．在t=1 s时，两车另一次并排行驶 C．在t=0时，甲车在乙车前7.5 m D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为45 m 【答案】BC 【详解】AB．根据速度时间图象的“面积”表示位移，由几何知识可知，1-3s甲、乙两车通过的位移相等，两车在t=3s时并排行驶，所以两车在t=1s时也并排行驶．故A错误，B正确． C．由图象可知，甲的加速度 乙的加速度 0至1s，甲的位移 x甲=a甲t2=×10×12=5m 乙的位移 x乙=v0t+a乙t2=10×1+×5×12=12.5m △x=x乙-x甲=12.5-5=7.5m 即在t=0时，甲车在乙车前7.5m，故C正确； D．1s末甲车的速度为 v=a甲t=10×1=10m/s 1到3s，甲车的位移为 x=vt+a甲t2=10×2+×10×22=40m 即甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m，故D错误． 故选BC． 【点睛】本题是速度--时间图象的应用，关键要明确图象斜率的意义：斜率表示加速度，还要知道在速度--时间图象中图象与坐标轴围成的面积的含义：面积表示位移，结合几何知识分析物体的运动情况． 变式2-3、蓝牙是一种无线技术标准，可实现各种设备之间的短距离数据交换。某同学用安装有蓝牙设备的玩具车A、B进行实验，如图所示，在距离为的两条平直轨道上，的连线与轨道垂直，A车自点从静止开始以加速度向右做匀加速直线运动，B车自点以速度向右做匀速直线运动．已知当两车间的距离超过时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。若两车同时出发，则两车能通信的时间（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由运动学规律可知，初始时B车在前面，设经过时间t，两车相距s0，A车的位移 B车的位移 由几何关系有 联立解得 =2s，=4s 4s后，A车在B车前面，设从初始经过，两车相距s0，由运动学规律可知 解得 s 则两车通信的时间为 s 故选D。 模块三 课后作业 1．甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度时间图像如图所示。在0~6s内，下列说法正确的是（     ） A．乙物体先向前运动2s，随后向后运动 B．乙物体在4s末的加速度大小为1m/s2，沿正方向 C．两物体相距最远的时刻是1s末 D．两物体两次相遇的时刻是2s末和6s末 【答案】D 【详解】A．乙物体运动方向始终沿正方向，故A 错误； B．乙物体在4s末的加速度 即加速度大小为1m/s2，沿负方向，故B错误； C．4s末两物体相距的距离等于2s-4s之间上面三角形的面积，可知，4s末二者的距离最大，相距最远，故C错误； D．根据速度-时间图像与坐标轴围成图形的面积表示位移，可知，0-2s内两个物体通过的位移相等，两者又是从同一地点出发的，故2s末时二者相遇，同理可知6s末二者又相遇，故D正确。 故选D。 2．赛龙舟是我国端午节的传统运动，如图所示，两条龙舟沿平直赛道正在激烈的角逐胜负。已知每条龙舟长18.5m，t=0时刻龙舟A的龙头落后龙舟B的龙头8.5m，龙舟B的龙头距终点线还有60m，且该时刻龙舟A的速度为2.5m/s，龙舟B的速度为3m/s。龙舟A发起最后的冲刺，在2s内匀加速至3.5m/s，此后保持这个速度冲刺至终点。龙舟B的速度一直保持不变，龙头先过终点线的获胜，则下列说法正确的是（　　） A．龙舟A提速的加速度大小为0.5m/s2，最终龙舟A获胜 B．龙舟A提速的加速度大小为0.5m/s2，最终龙舟B获胜 C．龙舟A提速的加速度大小为0.25m/s2，最终龙舟A获胜 D．龙舟A提速的加速度大小为0.25m/s2，最终龙舟B获胜 【答案】A 【详解】龙舟A在2s内速度从2.5m/s到3.5m/s，则加速度大小为 该过程龙舟A的加速位移为 龙舟B从t=0时刻开始到龙头到达终点线的时间为 20s内龙舟A的位移为 而t=0时刻龙舟A距终点线的距离为 由于 故龙舟A先过终点线，即龙舟A获胜。 故选A。 3．甲、乙两物体在时刻从同一地点出发，沿同一直线的同一方向运动，甲做速度大小为的匀速直线运动，乙由静止开始做匀加速直线运动。它们的图像如图所示，两图线在时刻相交，此时甲、乙速度均为。下列说法正确的是（    ） A．时刻甲、乙相遇 B．时刻甲、乙相距最远 C．时间段内，甲的平均速度等于乙的平均速度 D．时间段内，甲的平均速度小于乙的平均速度 【答案】C 【详解】AB．甲、乙两物体在时刻从同一地点出发，沿同一直线的同一方向运动，时刻两物体速度相等，相距最远。前内物体甲的位移 由图像可知，物体乙的加速度大小 前内物体乙的位移 得 因此 时刻甲、乙相遇，故AB错误； CD．时间段内，甲的平均速度 乙的平均速度 故甲的平均速度等于乙的平均速度，故C正确，D错误。 故选C。 4．在同一平直公路上甲、乙两车同向做直线运动，两车位移和时间的比值与时间之间的关系如图所示。两车在时相遇，下列说法正确的是（　　） A．甲车的加速度大小为 B．时，甲在乙的后面处 C．甲、乙相遇时乙车的速度为 D．甲、乙两车相遇前相距最远为30m 【答案】D 【详解】A．根据匀变速直线运动的位移时间公式 变形得到 知对于甲车有 得，A错误； B．根据匀变速直线运动的位移时间公式 变形得到 知对于乙车有 得， 又两车在时相遇，则有 即 代入数据，解得 即甲在乙后22.5m，故B错误； C．根据匀变速直线运动速度时间公式 代入数据，甲、乙相遇时乙车的速度为，故C错误； D．当甲、乙的速度相等时，两车相距最远，则有 代入数据，解得 根据位移时间公式， 可得，故D正确。 故选D。 5．无线蓝牙耳机可实现无线连接。为了研究在运动过程中无线连接的最远距离，甲和乙两位同学做了如下实验：乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，二人同时从同一地点沿同一直线向正前方运动，各自运动的图像如图所示，结果在4~6s内手机检测到蓝牙耳机未能连接。则最远连接距离为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 【答案】C 【详解】甲做匀减速直线运动，加速度 位移公式为 乙做匀速直线运动，位移公式为 两者位移差（距离）为 题目说明4~6s内未能连接，即当距离 大于最远连接距离 时无法连接，恰好对应 和 。 将 时位移差 根据对称性， 时位移差也为12m，所以最远连接距离为12m。 故选C。 6．如图所示，AB两物体在同一直线上运动，当它们相距s=7m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以4m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度为10m/s，方向向右，它在摩擦力作用下做匀减速运动，加速度大小为2m/s2，以此刻A位置为参考点，则A追上B时A的位移大小为（    ） A．32m B．40m C．35m D．34m 【答案】A 【详解】设向右为正方向，B速度减为零的时间为，有 在的时间内，物体B的位移为 物体A的位移为 由于，故物体A未追上物体B，5s后，物体B静止不动，故物体A追上物体B时A的位移为 故选A。 7．公交车以的速度匀速行驶，发现前方处电动车以的速度与公交车同向行驶。公交车司机见状立即紧急刹车，为避免突然刹车让乘客有明显的顿挫感，刹车的加速度大小随时间按图示规律变化。刹车结束时，公交车恰好不会撞上电动车，则公交车的刹车时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在两段图像中加速度随时间线性变化，可取其平均加速度，公交车等效于以平均加速度做匀减速运动，设公交车的刹车时间为t,则公交车恰好不会撞上的条件 解得 故选C。 8．甲乙从同一地点同时向同一方向开始运动，图1抛物线为甲的x-t图像，图2为乙的v-t图像，以下说法正确的是（　　） A．2s时，甲乙距离正在增大 B．8s时甲乙距离最近 C．出发后甲乙会相遇两次 D．甲乙会共速两次 【答案】A 【详解】A．甲的x-t图像为抛物线，所以 时，可得 2s时甲的速度大小为 由图2知乙前2s做匀速直线运动，速度大小 因此2s时，甲乙距离正在增大，故A正确； BD．8s时，甲的位移大小 乙的位移大小 则乙在甲前面。 8s时，甲的速度大小 所以8s时甲和乙速度大小相等，8s后甲加速运动，乙匀速运动，所以甲乙共速一次，8s时甲乙距离最远，故BD错误； C．由于甲一直做加速运动，8s后甲追上乙，甲的速度大于乙的速度，之后两者之间的距离一直增大，所以相遇一次，故C错误。 故选A。 9．幽灵堵车是指在道路上没有明显原因的情况下，车辆却陷入缓慢行驶或完全停滞的状态。可简化为如下模型：所有车辆以相同速度v0=30m/s在平直道路上行驶，初始时保持相同的间距d=100m，t=0时第1辆车因扰动开始以a1=3m/s2的加速度做匀减速运动，持续3s后开始匀速运动，第n+1辆车看到第n辆车开始减速后经过∆t=1s的时间也开始减速，第n辆车的加速度。所有车刹车时间均为3s，且之后都会做匀速运动，直到有车辆完全刹停，该车之后所有车的加速度都等于完全刹停的车的加速度，最终造成交通堵塞。则（　　） A．第18辆车是第一个完全刹停的汽车 B．刹停的车之间的距离为70m C．第1、2辆车间的最小距离为95.5m D．t=6.5s时第1、2辆车的间距仍为100m 【答案】BC 【详解】A．汽车刹停的时间为3s，则汽车能刹停的加速度为 当时，即 解得 即第6辆车是第一个完全刹停的汽车，故A错误； B．汽车完全刹停时的刹车距离为 相邻的后面的车从看见前车开始减速到完全刹停的位移为 所以刹停的车之间的距离为，故B正确； C．第1辆车减速结束时的速度为 第2辆车减速的加速度大小为 当两车的速度相等时，两车的距离有最小值，设两辆车都在减速过程中达到相同速度，第一辆车所用时间为t1，则共速时的速度为 解得， 该过程第1辆车的位移大小为 第2辆车的位移大小为 所以第1、2辆车间的最小距离为，故C正确； D．6.5s内第1辆车的位移为 6.5s内第2辆车的位移为 所以t=6.5s时，第1、2辆车的间距为，故D错误。 故选BC。 10．公路上有甲、乙两车分别在两条平行相邻车道上行驶。时，甲车在前，乙车在后，前后相距，速度均为，从此时开始两车按图所示规律运动，乙车在之间和9s以后加速度为零。则下述说法正确的是（　　） A．时，两车相遇 B．两车前后最近距离为5m C．时，两车相距 D．若，则两车第一次与第二次并排行驶的时间间隔为 【答案】BD 【详解】AB．内甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，二者距离越来越近；以后，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动时加速度大小为，设再经过时间速度相等，根据甲的图像可得甲车做匀加速直线运动的加速度大小 当速度相等时，满足 解得， 可知6s时两车速度相等，在内甲车的位移大小 乙车的位移大小为 则有 可知速度相等时，两车前后最近距离为；之后由于乙车速度小于甲车速度，所以乙车始终无法追上甲车，即两车不会相遇，故A错误，B正确； C．在内甲车的位移大小为 ，乙车的速度为 则在内乙车的位移大小为 则有 可知时，两车相距，故C错误； D．若，内甲、乙车的位移大小分别为， 由于 设内经过时间，两车第一次并排，则有 其中内甲车做减速运动的加速度大小为 代入数据解得 由于内甲、乙车的位移大小分别为， 则有 且，乙车的速度为 可知两车第二次并排时，乙车已经停下，设两车二次并排时的时刻为，则有， 联立解得 则两车第一次与第二次并排行驶的时间间隔为，故D正确。 故选BD。 11．如图所示，某高楼距地面高的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动 （花盆可视为质点）。现有一辆长、高的货车，正以的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为，由于道路限制，货车只能直行通过阳台的正下方的通道，货车加速或减速的最大加速度为取。下列说法正确的是（　　） A．若司机没有发现花盆掉落，货车保持的速度匀速直行，货车会被花盆砸到 B．若司机没有发现花盆掉落，货车保持的速度匀速直行，货车不会被花盆砸到 C．若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间为，则司机应采取加速通过的方式进行避险 D．若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间为，则司机应采取立即刹车的方式进行避险 【答案】AD 【详解】AB．花盆落到车上的时间 解得t1=3s 汽车的位移s1=v0t1=27m＜L2+L1 且s1>L2，则能被砸到，A正确，B错误。 C．若货车加速通过，满足 可得，可知货车不能避险，C错误； D．若货车减速通过，满足 可得，可知货车能避险，D正确。 故选AD。 12．一辆汽车在能见度很低的雾天在平直路面上以速度匀速行驶，突然发现正前方有一辆静止的自行车，当汽车发现自行车时立刻刹车。已知该汽车在减速过程中的加速度a与速度v满足关系。则汽车发现自行车时，两车相距多少米可以不相撞（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意，汽车在减速过程中任意一小段时间内，速度的变化量为 累计求和可知，当汽车的速度为时，汽车的位移满足 当汽车的末速度时，汽车的位移最大，满足 故汽车发现自行车时，两车相距至少大于15米可以不相撞，选项C、D的距离均大于15m，可以不相撞。 故选CD。 13．甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的图像如图，则（　　） A．乙车做曲线运动，甲车做直线运动 B．甲车先做匀减速运动，后做匀速运动 C．乙车的速度不断增大 D．两车相遇两次 【答案】CD 【详解】A．图像只能表示正反两个方向的直线运动。乙车的图像虽为曲线，但这不是乙车的运动轨迹，甲、乙两车都在做直线运动，故A错误； BC．由于图像斜率的绝对值表示速度的大小，则由题图可知，甲车在前6s内沿负方向做匀速直线运动，6s后处于静止状态；同理由于乙车图像的斜率大小在不断增大，所以乙车的速度在不断增大，即乙车在沿着负方向做加速直线运动，故B错误，C正确； D．在图像中两图线的交点表示两车相遇，所以由题图可知，两车相遇两次，故D正确。 故选CD。 14．2025年秋假期间，惠风和畅，适宜自驾出游。甲、乙两辆车在相邻的两条平行直轨道上同向匀速行驶，甲车的速度为v1＝16m/s，乙车的速度为v2＝12m/s，乙车在甲车的前面。当两车相距L＝6m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a1＝2m/s2的加速度刹车，6s后立即改为匀速运动；乙车刹车的加速度大小为a2＝1m/s2。下列说法正确的是（　　） A．之前，两车距离逐渐减小 B．之前，两车距离先减小后增大 C．两车共相遇2次 D．两车共相遇3次 【答案】BD 【详解】AB．设刹车后时刻两车速度相等，由匀变速直线运动速度与时间的关系，得 解得 则在之前，始终有​，初始乙在甲前方，以甲车的初始位置为原点，向前为正方向，由匀变速直线运动位移与时间的关系，甲的位移为 乙的位置为 当甲追上乙时，令，即 解得， 因为第一次相遇时间小于两车速度相等的时间，所以在之前，两车距离先减小后增大，故A错误，B正确； CD．综上可知，两车第二次相遇在时，此时甲的速度为 之后匀速，乙的速度为 仍在减速，之后，甲位移 令，解得（第二次相遇）、 乙总停车时间为 且，则两车会第三次相遇。后，甲速度始终大于乙，甲领先乙且间距越来越大，不会再次相遇。因此两车共相遇3次，故C错误，D正确。 故选BD。 15．甲、乙两小车在同一地点同时开始，往相同方向做直线运动的v-t图像如图所示（甲小车速度减为0后不再运动），求： (1)甲车在0~4s内的加速度大小； (2)甲、乙两小车相遇时离出发点的距离为多少； (3)在乙追上甲之前，甲、乙两车的最远距离为多少？ 【答案】(1)1m/s2 (2)32m (3)10m 【详解】（1）根据v-t图像的斜率表示加速度可知，甲车在0~4s内的加速度大小为 （2）由图可知，甲停止运动时位移为 甲停止运动时乙的位移为 由此可知，甲停止运动后才与乙车相遇，所以甲、乙两小车相遇时离出发点距离为32m； （3）由图可知，在乙追上甲之前，当t=5s时，甲、乙两车速度相等，此时甲、乙两车相距最远，根据图像与横轴围成的面积表示位移可知，甲车的位移为 乙车的位移为 则甲、乙两车的最远距离为 第10页，共21页 第9页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2.3匀变速直线运动位移与时间的关系 · 课时5追及相遇问题 · 【高中物理人教版(2019)必修一】 模块一 知识框架 模块二 知识精讲 情景导入 想象一下，在笔直的平直公路上，一辆汽车（警车）正在追赶前方的另一辆车（逃逸车）。作为交通指挥中心的分析师，你需要判断警车是否能在前方路口追上逃逸车？如果能，何时何地追上？如果不能，两车之间的最小距离是多少？这类涉及两个或多个物体在同一直线上运动并涉及位置关系的问题，就是我们要研究的“追及与相遇问题”。 知识点一：一定能追上的追及问题 1.定义与特征：当追赶物体的速度（）始终大于被追赶物体的速度（），或者追赶物体做加速运动而被追赶物体做匀速或减速运动时，追赶物体最终一定能追上被追赶物体。 2.相遇条件：两物体在同一时刻到达同一位置。即：。 (1)若两物体从同一地点出发，则位移相等（）。 (2)若两物体从不同地点出发（相距），则追赶者的位移等于被追赶者的位移加上初始距离（）。 3.解题关键：利用位移关系列方程求解时间，进而求解位置或速度。 例题1、A车在直线公路上以20m/s的速度匀速行驶，因大雾天气能见度低，当司机发现正前方有一辆静止的B车时，两车的距离为84m，A车司机立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2m/s2，（两车均为质点）．求： （1）通过计算判定两车能否相撞？若能，求A车从刹车到撞上B车的时间（假设B车一直静止）； （2）为了避免碰撞，A车在刹车时，如果向B车发出信号，B车收到信号经∆t=2.0s的反应时间才开始匀加速向前运动．B车加速度a2至少为多大才能避免事故．（这段公路很窄，无法靠边避让） 变式1-1、一辆汽车停在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以恒定加速度开始行驶，恰在这时一人骑自行车以的速度匀速驶过，从后面超过汽车。 (1)求汽车启动后追上自行车所用时间及追上时汽车的速度大小； (2)汽车启动后，在追上自行车前，两者的距离如何变化？追上自行车前距离最远时两者速度有什么关系？ (3)求汽车追上自行车前两者的最大距离。 变式1-2、汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7 m处、以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从此刻开始计时。求： (1)A追上B前，A、B间的最远距离是多少？ (2)经过多长时间A恰好追上B？ 变式1-3、汽车因故障而在马路边停车时，应在车后放置三角警示牌（如图所示），以提醒后面的驾车司机。某天有雾，一车因故停边，同车道上的一辆小轿车以72km/h的速度向前驶来，由于视线受限，驾驶员只能看清前方50m的物体，且他的反应时间为0.5s，当驾驶员以最大的加速度刹车时，恰好停在了警示牌前面。求： （1）小轿车刹车后的最大加速度大小； （2）喝酒后，人的反应时间会显著延长。在本题的条件下，设酒驾司机的反应时间变为2.5s，要使两辆车不至于相撞，警示牌距离故障车至少多远？ 则警示牌距离故障车至少为。 知识点二：不一定能追上的追及问题 1.定义与特征：当追赶物体的速度（）小于或等于被追赶物体的速度（）时，追赶物体不一定能追上。例如匀速追匀加速，或减速追匀速等。 2.临界条件（判别式法）： (1)恰能追上：方程有唯一解（通常指速度相等时，距离为0）。 (2)不能追上：方程无解（即追赶者与被追赶者速度相等时，仍有距离）。 (3)临界状态：两物体速度相等（）的时刻，往往是两车距离最近（或最远）的时刻，也是能否追上的分界点。 3.解题策略：先假设经过时间追上，列位移方程。利用一元二次方程的判别式判断是否有解。 例题2、在平直的公路上，一辆以30m/s的速度匀速行驶的小汽车A，小汽车的司机发现前方110m处一大客车B正以10m/s的速度匀速行驶，为避免撞车，小汽车司机立即刹车，小汽车从此刻开始以大小为的加速度做匀减速直线运动。问： (1)判断小汽车A能不能追上大客车B？若能追上，求何时追上？若不能追上，则求两车间的最近距离是多少？ (2)经过多长时间小汽车A停止，此时两车相距多远？ 变式2-1、如图所示，在一条平直的公路上，甲车以速度匀速前进，与此同时，乙车甲车后方处从静止开始以做匀加速直线运动，行驶后又立即匀减速前进，加速和减速阶段的加速度大小都是。甲、乙两小车都可视作质点，求： （1）乙车运动过程中，与甲车的最大距离； （2）乙车能否追上甲车，若能追上，何时追上？若不能追上，两车之间的最小距离是多少？ 变式2-2、甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图象如图所示．已知两车在t=3 s时并排行驶，则   A．在t=1 s时，甲车在乙车后 B．在t=1 s时，两车另一次并排行驶 C．在t=0时，甲车在乙车前7.5 m D．甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为45 m 变式2-3、蓝牙是一种无线技术标准，可实现各种设备之间的短距离数据交换。某同学用安装有蓝牙设备的玩具车A、B进行实验，如图所示，在距离为的两条平直轨道上，的连线与轨道垂直，A车自点从静止开始以加速度向右做匀加速直线运动，B车自点以速度向右做匀速直线运动．已知当两车间的距离超过时，两车无法实现通信，忽略信号传递的时间。若两车同时出发，则两车能通信的时间（　　） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度时间图像如图所示。在0~6s内，下列说法正确的是（     ） A．乙物体先向前运动2s，随后向后运动 B．乙物体在4s末的加速度大小为1m/s2，沿正方向 C．两物体相距最远的时刻是1s末 D．两物体两次相遇的时刻是2s末和6s末 2．赛龙舟是我国端午节的传统运动，如图所示，两条龙舟沿平直赛道正在激烈的角逐胜负。已知每条龙舟长18.5m，t=0时刻龙舟A的龙头落后龙舟B的龙头8.5m，龙舟B的龙头距终点线还有60m，且该时刻龙舟A的速度为2.5m/s，龙舟B的速度为3m/s。龙舟A发起最后的冲刺，在2s内匀加速至3.5m/s，此后保持这个速度冲刺至终点。龙舟B的速度一直保持不变，龙头先过终点线的获胜，则下列说法正确的是（　　） A．龙舟A提速的加速度大小为0.5m/s2，最终龙舟A获胜 B．龙舟A提速的加速度大小为0.5m/s2，最终龙舟B获胜 C．龙舟A提速的加速度大小为0.25m/s2，最终龙舟A获胜 D．龙舟A提速的加速度大小为0.25m/s2，最终龙舟B获胜 3．甲、乙两物体在时刻从同一地点出发，沿同一直线的同一方向运动，甲做速度大小为的匀速直线运动，乙由静止开始做匀加速直线运动。它们的图像如图所示，两图线在时刻相交，此时甲、乙速度均为。下列说法正确的是（    ） A．时刻甲、乙相遇 B．时刻甲、乙相距最远 C．时间段内，甲的平均速度等于乙的平均速度 D．时间段内，甲的平均速度小于乙的平均速度 4．在同一平直公路上甲、乙两车同向做直线运动，两车位移和时间的比值与时间之间的关系如图所示。两车在时相遇，下列说法正确的是（　　） A．甲车的加速度大小为 B．时，甲在乙的后面处 C．甲、乙相遇时乙车的速度为 D．甲、乙两车相遇前相距最远为30m 5．无线蓝牙耳机可实现无线连接。为了研究在运动过程中无线连接的最远距离，甲和乙两位同学做了如下实验：乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，二人同时从同一地点沿同一直线向正前方运动，各自运动的图像如图所示，结果在4~6s内手机检测到蓝牙耳机未能连接。则最远连接距离为（　　） A．10m B．11m C．12m D．13m 6．如图所示，AB两物体在同一直线上运动，当它们相距s=7m时，A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以4m/s的速度向右做匀速运动，而物体B此时速度为10m/s，方向向右，它在摩擦力作用下做匀减速运动，加速度大小为2m/s2，以此刻A位置为参考点，则A追上B时A的位移大小为（    ） A．32m B．40m C．35m D．34m 7．公交车以的速度匀速行驶，发现前方处电动车以的速度与公交车同向行驶。公交车司机见状立即紧急刹车，为避免突然刹车让乘客有明显的顿挫感，刹车的加速度大小随时间按图示规律变化。刹车结束时，公交车恰好不会撞上电动车，则公交车的刹车时间为（　　） A． B． C． D． 8．甲乙从同一地点同时向同一方向开始运动，图1抛物线为甲的x-t图像，图2为乙的v-t图像，以下说法正确的是（　　） A．2s时，甲乙距离正在增大 B．8s时甲乙距离最近 C．出发后甲乙会相遇两次 D．甲乙会共速两次 9．幽灵堵车是指在道路上没有明显原因的情况下，车辆却陷入缓慢行驶或完全停滞的状态。可简化为如下模型：所有车辆以相同速度v0=30m/s在平直道路上行驶，初始时保持相同的间距d=100m，t=0时第1辆车因扰动开始以a1=3m/s2的加速度做匀减速运动，持续3s后开始匀速运动，第n+1辆车看到第n辆车开始减速后经过∆t=1s的时间也开始减速，第n辆车的加速度。所有车刹车时间均为3s，且之后都会做匀速运动，直到有车辆完全刹停，该车之后所有车的加速度都等于完全刹停的车的加速度，最终造成交通堵塞。则（　　） A．第18辆车是第一个完全刹停的汽车 B．刹停的车之间的距离为70m C．第1、2辆车间的最小距离为95.5m D．t=6.5s时第1、2辆车的间距仍为100m 10．公路上有甲、乙两车分别在两条平行相邻车道上行驶。时，甲车在前，乙车在后，前后相距，速度均为，从此时开始两车按图所示规律运动，乙车在之间和9s以后加速度为零。则下述说法正确的是（　　） A．时，两车相遇 B．两车前后最近距离为5m C．时，两车相距 D．若，则两车第一次与第二次并排行驶的时间间隔为 11．如图所示，某高楼距地面高的阳台上的花盆因受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动 （花盆可视为质点）。现有一辆长、高的货车，正以的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，货车车头距花盆的水平距离为，由于道路限制，货车只能直行通过阳台的正下方的通道，货车加速或减速的最大加速度为取。下列说法正确的是（　　） A．若司机没有发现花盆掉落，货车保持的速度匀速直行，货车会被花盆砸到 B．若司机没有发现花盆掉落，货车保持的速度匀速直行，货车不会被花盆砸到 C．若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间为，则司机应采取加速通过的方式进行避险 D．若司机发现花盆开始掉落，司机反应时间为，则司机应采取立即刹车的方式进行避险 12．一辆汽车在能见度很低的雾天在平直路面上以速度匀速行驶，突然发现正前方有一辆静止的自行车，当汽车发现自行车时立刻刹车。已知该汽车在减速过程中的加速度a与速度v满足关系。则汽车发现自行车时，两车相距多少米可以不相撞（    ） A． B． C． D． 13．甲、乙两车在同一水平道路上，一前一后相距，乙车在前，甲车在后，某时刻两车同时开始运动，两车运动的图像如图，则（　　） A．乙车做曲线运动，甲车做直线运动 B．甲车先做匀减速运动，后做匀速运动 C．乙车的速度不断增大 D．两车相遇两次 14．2025年秋假期间，惠风和畅，适宜自驾出游。甲、乙两辆车在相邻的两条平行直轨道上同向匀速行驶，甲车的速度为v1＝16m/s，乙车的速度为v2＝12m/s，乙车在甲车的前面。当两车相距L＝6m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a1＝2m/s2的加速度刹车，6s后立即改为匀速运动；乙车刹车的加速度大小为a2＝1m/s2。下列说法正确的是（　　） A．之前，两车距离逐渐减小 B．之前，两车距离先减小后增大 C．两车共相遇2次 D．两车共相遇3次 15．甲、乙两小车在同一地点同时开始，往相同方向做直线运动的v-t图像如图所示（甲小车速度减为0后不再运动），求： (1)甲车在0~4s内的加速度大小； (2)甲、乙两小车相遇时离出发点的距离为多少； (3)在乙追上甲之前，甲、乙两车的最远距离为多少？ 第10页，共21页 第9页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $