第二十六章 二次函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学二次函数单元卷，90分钟120分，24题覆盖顶点坐标、图象性质、平移、实际应用等核心考点，重难点突出，适合暑假单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|顶点坐标、图象性质、平移等|第9题结合抛物线图象判断多结论，考查几何直观与推理意识| |填空题|6/18|解析式确定、函数值比较等|第12题用顶点式求解析式，体现模型意识| |解答题|8/72|利润问题、烟花燃放情境等|23题以科技生活情境构建函数模型，考查应用意识与创新意识，贴合真题命题趋势|

第二十六章 二次函数 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的顶点式为（），其顶点坐标为， ∴对于抛物线，其中， ∴该抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 3．抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 5．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 6．二次函数的图象与轴有两个交点且都在轴的同一侧，则（） A． B． C．且 D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点 该函数为二次函数，故，且判别式 ，解得 两个交点都在轴同一侧，即方程的两根同号 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积为 两根同号， ，解得 综上，， 故选：D． 7．已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上， 令，则， 因式分解得 解得或， ∴当时，或 ∵点在二次函数图象上且， ∴或， 故选：C 8．在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， 消去c得，即， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴二次函数可表示为：， 当时，， 当时，， ∵点是函数与x轴的交点，且， ∴， ∴或， 解得， 观察各选项，只有选项B符合题意． 9．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴直线为， ∴， ，故①正确； 抛物线的对称轴直线为， 且抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 方程的两个根是，，故②正确； 当时，， ， ，即，故③错误； 由于抛物线开口向下，且与x轴两交点的坐标为与， 结合图象可知，当时，，故④错误； 由得， 当时，抛物线最大值为， 当时，， 则对于任意实数m，总有，故⑤正确， 综上所述，正确的应该为①②⑤， 故答案为：C． 10．如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 【答案】B 【详解】解：理解题意，观察图①和图②，当点P运动到点A时，运动时间为2秒， ∵点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B， ∴， ∵的面积为， ∴， 故C选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故A选项不符合题意； 观察图①和图②，当点P运动到点D时，运动时间为秒， ∵点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C， 则， 故B选项符合题意； 当时， 则 ∴， 在秒时，则， ∴， 令，则， 整理得， 解得，（舍去） 综上：当时，或， 故D选项不符合题意， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 12．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 【答案】 【详解】解：设此二次函数的解析式为， 将代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 13．若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 【答案】 【详解】解：对于点，； 对于点，； 对于点，； 故，，， 因此． 故答案为：． 14．二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 【答案】 【详解】解：由表格可得，当或时，二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 当时， 即对应的的值为， ∴在一元二次方程中，或 解得，， 故答案为：， 15．根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 【答案】或 【详解】解：当时，， ， 解得：， 由于二次项系数为，抛物线开口向上， 因此当或时，函数值大于， 即不等式的解集为或． 故答案为：或． 16．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 要使恒成立，则的上界须小于等于的下界， ∵， ∴的下界是， 因此，对于任意都必须满足，即， ∴且， 解得且． 同时，要使，成立，解得，． 综上，t的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 【详解】（1）解：设每天要盈利1600元，每件应降价元， 由题意得，， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：如果每天要盈利1600元，每件应降价4元； （2）解：不认同，理由如下： 设每件降价元，获利为元，由题意得， 即， 因为，所以当时，获利最大，即每件降价20元时，可获得最大利润， ∴小明的说法不正确． 18．如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵顶点在函数的图象上， ∴可设点M的坐标为， ∴可设二次函数的表达式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：由（1）得：点M到x轴的距离为2， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形的面积为． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：把代入，得： ， ∴， ∵轴， ∴点C与点B纵坐标相等， 把代入，得： ， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的纵坐标为m，则： ， 解得：， 令， 解得：，， ∴点P的坐标为：或． 20．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 21．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 【详解】（1）解：①由题意，∵当P，Q到达终点C，B时，运动停止， ∴运动停止时，运动时间（s）． 故答案为：2； ②由题意得，，即， ∴y与t满足一次函数关系． 故选：B； （2）解：①由题意得，，， 又的面积， ∴（）； ②由题意，∵， ∴该函数的图象开口向下，其顶点在． ∴当时，． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，最大值为， 当时，， 当时，， ∴点的纵坐标的取值范围为； （3）解：∵， ∴对称轴为直线， 当点M在对称轴直线的左侧，点N在对称轴直线的右侧时， 由题意得， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点N在对称轴直线的左侧，点M在对称轴直线的右侧时， 由题意得，该不等式组无解； 综上所述，． 23．综合与实践 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，某班级对一家烟花公司在规定的户外场地开展的“小型烟花燃放试验活动”进行了研究．数据显示，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定的倾斜角度发射烟花，则烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的烟花携带的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求该火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，烟花携带的火星刚好落在场地围栏和地面的交界处，求该火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住烟花携带的火星，在场地围栏旁图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为0.8米，为0.6米．为确保该火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且该火星运行的抛物线形状保持不变，请直接写出的最大值． 【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线顶点坐标为， 故令抛物线表达式为， ∵点坐标为，代入上述表达式， 得， 解得， ∴ 故抛物线表达式为． （2）解：令，得， 解出或， 结合题意，点在轴正半轴上，故， ∴落地点与发射装置的水平距离为米． （3）解：如图所示： ∵，，， ∴，， 设， 把点代入 ， 得， 解得， 由平移可知，发射装置顶端上升的高度最大值为． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标； ②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； (3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则，的中点坐标为] 【详解】（1）解：将点，代入抛物线 解得： 因此，抛物线解析式为： 直线与轴交点，令： ， 因为， 所以：， 故点坐标为； （2）解：①抛物线向右平移个单位： ∴抛物线的顶点坐标为 ②当时，直线方程： 联立直线与抛物线： 化简： 移项整理： ， ， 因为只有一个公共点， ∴， 解得： （3）解：中点的运动轨迹抛物线的一部分 联立直线与抛物线： 整理得： 设交点横坐标为，则：， 中点的横坐标： 中点的纵坐标： 由，得 代入： 因此，中点的轨迹方程为： 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 3．抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 5．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 6．二次函数的图象与轴有两个交点且都在轴的同一侧，则（） A． B． C．且 D． 7．已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 8．在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（   ） A． B． C． D． 9．如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点坐标为，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当时，x的取值范围是；⑤若m为任意实数，则．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图①，在四边形中，，，，，点P从点B出发沿以的速度匀速运动至点C，点Q同时从点C出发沿以的速度匀速运动至点B，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为，的面积为，图②是点P，Q运动时，y随时间x变化的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．当时， 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．抛物线的对称轴为直线________． 12．已知二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，则这个二次函数的解析式为_________． 13．若二次函数的图象过三点，则的大小关系是_____． 14．二次函数的部分对应值列表如下，则一元二次方程的解为___________． … 0 1 3 5 … … 7 7 … 15．根据二次函数的图象，写出不等式的解集是___________． 16．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____． 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售5件． (1)在每件降价幅度不超过10元的情况下，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ (2)小明说：“根据薄利多销的原则，只要降价不超过44元，降价越多每天获利越大．”你认同他的说法吗？请通过计算说明理由． 18．如图，已知二次函数的图象与轴的交点为，，其顶点在函数的图象上． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象水平向右平移3个单位，所得到的抛物线交轴于，两点（点在点的左边），顶点为，求四边形的面积． 19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，线段轴，交该抛物线于另一点． (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标． 20．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 21．如图，中，，，．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t（s）． (1)①当运动停止时，t的值为 ． ②设P，C之间的距离为y，则y与t满足 ． A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 (2)设的面积为S， ①求S的表达式（用含有t的代数式表示）； ②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？ 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)点M是抛物线上一点且到y轴的距离小于4，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)若，分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请直接写出n的取值范围． 23．综合与实践 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，某班级对一家烟花公司在规定的户外场地开展的“小型烟花燃放试验活动”进行了研究．数据显示，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定的倾斜角度发射烟花，则烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的烟花携带的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求该火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，烟花携带的火星刚好落在场地围栏和地面的交界处，求该火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住烟花携带的火星，在场地围栏旁图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为0.8米，为0.6米．为确保该火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且该火星运行的抛物线形状保持不变，请直接写出的最大值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)已知抛物线沿轴向右平移个单位长度后得到抛物线． ①用含的式子表示抛物线的顶点坐标； ②当时，若直线与抛物线只有一个公共点，求的值； (3)已知是的中点．当变化时，试探究点的运动轨迹是否为一条直线或一条抛物线的一部分？若是，请直接写出该直线或抛物线的解析式；若不是，请说明理由．[提示：若，则，的中点坐标为] 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $