第二十六章 二次函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 人教版初中数学二次函数单元卷，以真实情境与梯度设计覆盖核心知识点，适配暑假巩固提升，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、图像性质、平移|基础概念与性质辨析，如第5题平移顶点坐标| |填空题|6/18|对称轴、图像比较、不等式解集|第14题射水鱼捕食情境，体现应用意识| |解答题|8/72|实际应用（利润、运动轨迹）、综合探究（存在性、相似）|23题世界杯足球轨迹建模，24题动态几何与相似推理，培养数学思维与表达|

第二十六章 二次函数 单元自测卷 【新教材，人教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入式子中相应的位置即可求出函数值． 【详解】将代入得 ． 3．二次函数的图象与轴交点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；求二次函数图象与y轴交点，令计算y值即可． 【详解】解：当时，则有， ∴与轴交点坐标是； 故选A． 4．对于二次函数，下列说法正确的是（      ） A．图象开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴的交点是和 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】先将给定二次函数整理为顶点式，再根据二次函数的性质，依次判断各选项的说法，即可得到正确结果． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，选项A错误； ∵ 整理得到的顶点式为， ∴ 图象的对称轴是直线，选项B正确； 令，得，解得， ∴ 抛物线与轴的交点坐标是和，选项C错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项D错误． 5．在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可． 【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位， ∴新抛物线解析式为， 整理得 ， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 6．已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的增减性进行解答即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 7．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 8．二次函数（为常数）的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程（为常数）的一个解x的取值范围是（   ） x ··· 6.17 6.18 6.19 6.20 ．．． ··· 0.01 0.04 ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，理解方程解的含义是解题关键． 应该在与之间，从表格中选择对应的数据即可． 【详解】解：由表格得： 时，， 时，， 的一个解的范围为：． 故选：A． 9．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 10．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 12．已知抛物线的对称轴是直线，与轴交于、两点，若点坐标是，则方程的两根是_____． 【答案】 ， 【分析】利用二次函数的对称性，根据一个交点坐标和对称轴即可求出另一个交点坐标，从而得到方程的另一个根． 【详解】解：∵抛物线与轴交点的横坐标就是方程的两根，其中一个交点为， ∴方程的一个根为， 设方程的另一个根为， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴方程的两根为，． 13．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 14．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 15．如图，二次函数的图像与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数的图像经过该二次函数图像上的点及点B，则满足的x的取值范围是 ______________ ． 【答案】或 【分析】先将点的坐标代入二次函数解析式求出m的值，从而确定二次函数的解析式及点C的坐标，再根据抛物线的对称轴及轴对称的性质求出点B的坐标，最后观察函数图象，找出二次函数图像在一次函数图像上方（包括交点）时对应的自变量x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得；抛物线的对称轴为直线； ∴二次函数的解析式为， 令，则， ∴点C的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且点B与点C关于对称轴对称， ∴点B的横坐标为，纵坐标为3， ∴点B的坐标为， 由图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数的图像上方或相交， ∴满足的x的取值范围是或． 16．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分） 17．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 18．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 19．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)求该二次函数的解析式； (2)求由，，三点构成的的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象与性质． （1）将点代入，求得，即可得二次函数表达式； （2）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴ 解得： ∴该二次函数的解析式为； （2）当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A、B两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)直接写出抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标，求抛物线的对称轴， （1）令求出解，即可得出点A，B的坐标，再令可得答案； （2）将抛物线的关系式配方得出顶点式，即可得出答案． 【详解】（1）解： 令，则， 解得． ∵点A在点B左侧， ∴； 令，则， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线的关系式为， ∴抛物线的对称轴为直线． 21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形的水柱．如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．水柱高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间具有函数关系． (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离； (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离． 【答案】(1)抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为 (2)抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确审清题意是解题的关键． （1）根据题意求最高点A到地面的距离，即求顶点的纵坐标； （2）根据题意可知，令即可求解． 【详解】（1）解： 配方得， 顶点 答：抛物线形水柱的最高点A到地面的距离为3m； （2）当时，， 解得，（不符合题意，故舍去）， ，即， 答：抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离为3m． 22．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C；抛物线经过B，C两点． (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线的函数表达式； (3)在抛物线上是否存在一点M，使以点C，A，B，M为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点M的坐标为 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）求得，再利用待定系数法求解即可； （3）分两种情况求解，即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∵抛物线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵，，， ∴， 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上； 当四边形以为边，为对角线的平行四边形， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，不符合题意； 综上，点M的坐标为． 23．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十六章 二次函数单元自测卷 【新教材，人教版】 (考试时间：90分钟试卷满分：120分) 考前须知： 1.本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2.本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各式中，y是x的二次函数的是() A.y=2x-3 B.y=x2-5x+13 C.y=ax2+bx+c D.y=x2-1+2 2.当x=-1时，y=4x2+2x-3的函数值为() A.-1 B.0 c.1 D.3 3.二次函数y=-（-+3的图象与y轴交点坐标是(). A.(0,2) B.(O,1) c.(0,3) D.(0,-) 4.对于二次函数y=4(-x-5)。下列说法正确的是() A.图象开口向下 B.对称轴是直线x=3 C.与x轴的交点是（-1,0)和(-3,0) D.当x>0时，y随x的增大而增大 5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2+2先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物 线的顶点坐标是() A.（-2,6) B.（-2,8) C.（-2,-8) D.(2,-8) 6.己知点A(-2,),B(-1,乃)，C(2,)都在抛物线y=x2-2x+1上.若<片<，则m的取值范围 为() A.m>-5 3 2 B.2m<0 C.m>0 D.m>-3 2 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的40%，此时每天可卖出200件衣服.为尽快清空 库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件，店主要想每天获得的利润最大， 则需要将售价定为多少元？() A.200 B.220 C.240 D.260 8.二次函数y=ax2+br+c(a≠0，a,b,c为常数)的部分取值如下表，则关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0，a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是() 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c -0.02 -0.01 0.01 0.04 A.6.18<x<6.19 B.6.17<x<6.18 C.6.16<x<6.17 D.6.19<x<6.20 9.赛龙舟是中国端午节的习俗之一.某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥， 图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分.如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上 的点到水面的竖直高度m与到点O的水平距离xm近似满足函数关系y=0.01r2+0.6x.据调查，龙舟最 高处距离水面2m,为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m,有下列结论： ①水面宽度OA=60m: ②拱桥的最大高度是9m; ③若每条龙舟赛道宽度为9m,最多可设计龙舟赛道4条. m 一拱桥 3m 2m O龙舟 A x/m 水面 图① 图② 其中，正确结论的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 10.如图，点P是抛物线y=ar+br+c(a≠0)的顶点.下列结论正确的是() 2/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 A.2a+b=0 3 B.4a< C.对任意实数t,at+bt<4a+2b总成立 D.若点A-m,),B(1+m,)在抛物线上，则< 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若二次函数y=2x2-ax+2a-1的图象经过点（l,4),则a的值为 12.己知抛物线y=r+br+C(a≠0)的对称轴是直线x=1,与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(4,0)， 则方程ax2+bx+c=0的两根是。 13.如图，①②分别对应y=ax2与y=bx2的函数图象，则a,b的大小关系 ① ② 14.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可 以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力），图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流 的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(cm)与水平距离x(cm)近似满足函数关系 y=2+4x(x20).若这只昆虫在点P(20,50,则这次射出的水流一击中昆虫.（填“能”或“不 10 能”) 317 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/cm 0 x/cm 图1 图2 15.如图，二次函数y=(x+2)+m的图像与y轴交于点C,点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称 轴对称，一次函数y=c+b的图像经过该二次函数图像上的点A(-1,0)及点B,则满足(x+2)}+m≥+b 的x的取值范围是 16.若点4小 C(4,)在抛物线y=(x-2+k上，则y’乃，’⅓从小到大的大小关系 为 (用“<”连接) 三、解答题（第17-第22题，每题8分：第23,24题，每题12分；共8小题，共72分） 17.已知函数y=(m2+m)x-m1+(m-3)x+m2-11是关于x的二次函数. (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项。 18.已知二次函数y=x+bx+C(b,c为常数)的图象经过A(-1,6),B(2,3)两点. (1)求该二次函数的表达式： (②)若平移该二次函数的图象，使其经过点C(3,0),且对称轴为直线x=4,求平移后的二次函数的表达式 19.如图，已知二次函数y=a(x-2)'+7(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B 在点C的左侧). 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求该二次函数的解析式： (2)求由A,B,C三点构成的△ABC的面积. 20.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）， 与y轴交于点C. (1)求A、B、C三点的坐标： (2)直接写出抛物线的对称轴. 21.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出抛物线形 的水柱.如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建 立平面直角坐标系.水柱高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间具有函数关系 x+2x+9 y=4 2x+4: y/m Bx/m (1)求抛物线形水柱的最高点A到地面的距离： (2)求抛物线形水柱落地处点B与池中心的距离 2.在平面直角坐标系中，抛物线C:y=4-2x+3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y 1 5/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抽交于点C,挞物线Cy=言+c经过8，C两点 (1)求点A,B的坐标： (2)求抛物线C2的函数表达式： (3)在抛物线C?上是否存在一点M,使以点C,A,B,M为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，若存 在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 23.2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场)举 行.在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线.以德保罗传 球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：(0,1)： ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米： ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点38m~42m,球门高度0m~2.44m. 最高点 球 传球点 模拟头球点、门 射门点主 现场射门画面 (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式： (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离 是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离38≤x≤42的范围内，能否飞 入球门？ 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-8mr+4m+2(m>0)与y轴的交点为A,与x轴的交点 分别为B(x,O),C(x,0),且x-,=4.直线AD‖x轴，交抛物线于点D. 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② (1)求抛物线的解析式。 (2)如图①，点P是x轴下方抛物线上一动点，连接AP,PC,CD,求四边形APCD面积的最大值及此时 点P的坐标 (3)如图②，点P是点B右侧抛物线上一动点，过点P作直线‖y轴，交直线AD于点Q,是否存在点P, 使以A,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 7/7